Свойства функций: возрастание, убывание и нули функции
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться по формуле, таблице или графику функции определять промежутки её возрастания и убывания, находить нули функции и применять эти умения при выполнении типовых заданий формата ОГЭ.
- Актуализировать понятия функции, аргумента, значения функции, области определения и способы задания функции.
- Сформировать умение распознавать промежутки возрастания и убывания функции по графику и таблице.
- Сформировать умение находить нули функции по формуле, таблице и графику, связывая их с решением уравнения f(x)=0.
- Развивать умение объяснять ход рассуждений, проверять ответ по графику и снижать тревожность перед заданиями ОГЭ через работу с понятным алгоритмом.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность анализа функций для решения задач, встречающихся в ОГЭ и прикладных ситуациях.
- Проявляют ответственное отношение к самостоятельной работе и проверке результата.
- Развивают уверенность в своих силах благодаря пошаговому алгоритму и возможности исправить ошибку.
- Понимают значение точности математической речи и записи ответа.
Метапредметные
- Извлекают информацию из формулы, таблицы и графика и переводят её из одного представления в другое.
- Планируют решение по алгоритму, выполняют самопроверку и корректируют ошибочные действия.
- Сравнивают способы задания функции, выделяют существенные признаки возрастания, убывания и нулей.
- Аргументируют ответ в паре и участвуют в обсуждении типичных ошибок формата ОГЭ.
Предметные
- Знать определения возрастающей и убывающей функции на промежутке.
- Знать, что нулём функции называют значение аргумента, при котором $f(x)=0$.
- Уметь определять промежутки возрастания и убывания функции по графику и таблице.
- Уметь находить нули функции по формуле, таблице и графику и записывать ответ с учётом области определения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться уверенно читать график функции.
- Соотносят изучаемое свойство функции с практической и экзаменационной задачей.
- Формируют готовность спокойно анализировать ошибку вместо отказа от решения.
- Оценивают собственную готовность к выполнению задания по теме.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе проблемного вопроса.
- Планируют последовательность действий при анализе функции.
- Сверяют промежуточный результат с эталоном и исправляют неточности.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки и выходному билету.
Познавательные УУД
- Выделяют признаки возрастания, убывания и нулей функции.
- Сравнивают графическое, табличное и аналитическое задание функции.
- Моделируют ситуацию изменения величины с помощью графика.
- Устанавливают связь между нулём функции и корнем уравнения $f(x)=0$.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают решение в парах по алгоритму «Подумай — обсуди в паре — поделись».
- Формулируют полный ответ с использованием математических терминов.
- Задают уточняющие вопросы о границах промежутков.
- Сверяют решения с партнёром и корректно объясняют найденную ошибку.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с определением функции, способами её задания, графиками возрастающей и убывающей функций и графиком с несколькими нулями.
- Распечатать лист повторения с заданиями на область определения, значение функции и чтение таблицы — по одному на каждого ученика.
- Распечатать карточки трёх уровней для самостоятельной работы — по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить карточки с графиками функций для парной работы — по одной на парту, всего 15 карточек.
- Вывести на доску памятку: «Если при увеличении $x$ значения $f(x)$ увеличиваются — функция возрастает; если уменьшаются — убывает».
- Подготовить отдельный слайд с алгоритмом поиска нулей: записать $f(x)=0$, решить уравнение, проверить область определения.
- Подготовить лист самооценки и билет на выход — по одному на каждого ученика.
- Подготовить проектор или интерактивную доску, маркеры двух цветов и таймер.
- Заранее начертить на доске координатные оси и оставить место для общей схемы свойств функции.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (5 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу и показать практическую значимость темы для анализа графиков и заданий ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране два графика: один поднимается слева направо, другой сначала поднимается, а затем опускается. «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем читать график не только как рисунок, но и как сообщение о поведении величины. Представьте, что график показывает стоимость товара, скорость автомобиля или температуру. Как по нему понять, где величина растёт, а где уменьшается?» | Рассматривают графики, формулируют предположения: «Нужно смотреть, поднимается или опускается график при движении слева направо». Записывают дату и тему урока. |
3 мин | Учитель организует приём «Прогноз»: «На уроках и в заданиях ОГЭ вам встретятся вопросы о промежутках возрастания, убывания и нулях функции. Пока не записывайте определения. Предположите, что может означать слово “нуль функции”, если речь идёт о графике». Учитель фиксирует гипотезы на доске и сообщает цель урока. | Обсуждают предположение в парах 30 секунд, затем называют варианты: «Точка, где график пересекает ось $Ox$»; «Значение $x$, при котором значение функции равно нулю». Формулируют цель: научиться определять свойства функции по разным представлениям. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что один график может сообщить, как изменяется величина. Теперь восстановим язык, на котором этот график описывается: вспомним, что такое функция и как она задаётся».
Этап 2. Подробная актуализация знаний о функции (18 мин)
Цель этапа: систематизировать знания о функции, её аргументе, значении, области определения и способах задания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель выводит на экран схему: «Функция — зависимость, при которой каждому допустимому значению $x$ соответствует единственное значение $y$. Давайте восстановим термины. В записи $y=f(x)$ что называют аргументом, а что — значением функции? Как обозначают область определения?» | Отвечают: «$x$ — аргумент, $y$ или $f(x)$ — значение функции, $D(f)$ — область определения». Заполняют пропуски в листе повторения. |
5 мин | Учитель показывает три записи: $y=2x-3$, таблицу значений и график. «Функция может быть задана формулой, таблицей и графиком. Что можно узнать из формулы? Что удобно читать по таблице? Какую информацию сразу даёт график?» | Называют: «По формуле можно вычислить значение и решить уравнение; по таблице — увидеть соответствия между $x$ и $y$; по графику — определить значения, промежутки изменения и точки пересечения с осями». |
5 мин | Учитель предлагает устную тренировку: «Для функции $f(x)=3x+1$ найдите $f(0)$, $f(2)$ и значение $x$, при котором $f(x)=7$. Не просто называйте ответ, проговаривайте действие». Учитель записывает решения на доске. | Решают: $f(0)=1$, $f(2)=7$; для $f(x)=7$ составляют $3x+1=7$, получают $x=2$. Объясняют: «Чтобы найти значение функции, подставляем аргумент; чтобы найти аргумент по значению, решаем уравнение». |
4 мин | Учитель раздаёт карточки «Верно — неверно»: «Функция может одному значению $x$ сопоставлять два значения $y$; график функции пересекает вертикальную прямую не более одного раза; точка $(2;5)$ означает $f(2)=5$». Просит обосновать каждый выбор. | Отмечают утверждения. Исправляют первое: «Одному $x$ соответствует только одно $y$». Объясняют правило вертикальной прямой и смысл точки $(2;5)$. |
Запись в тетрадях
Функция — зависимость, при которой каждому значению аргумента $x$ соответствует единственное значение $y=f(x)$. Функцию можно задать формулой, таблицей, графиком и словесным описанием. $D(f)$ — область определения функции.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, как читать формулу, таблицу и график. Теперь проверим, достаточно ли этих знаний, чтобы описать направление изменения функции и найти особые значения, где её график встречается с осью $Ox$».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (7 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно построить план открытия новых понятий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает график функции, которая возрастает на одном промежутке и убывает на другом. «Посмотрите на график. Какие фразы можно использовать, чтобы описать его движение слева направо? Можно ли сказать, что функция возрастает на всей изображённой области? Где она меняет направление?» | Отвечают: «Слева направо график сначала поднимается, затем опускается»; «На разных промежутках свойства разные». Показывают на графике точку смены направления. |
2 мин | Учитель показывает второй график с пересечениями оси $Ox$. «Что общего у всех отмеченных точек? Какая координата у них равна нулю? Что нужно решить, если функция задана формулой?» | Отвечают: «У точек на оси $Ox$ координата $y$ равна нулю»; «Нужно решить уравнение $f(x)=0$». |
2 мин | Учитель применяет «Снежный ком»: «Сначала каждый запишите план действий, затем сравните его в паре, после этого одна-две пары предложат общий вариант». | Составляют план: определить направление изменения по графику или таблице; найти точки пересечения с осью $Ox$; для формулы решить $f(x)=0$; записать ответ с промежутками. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Проблема ясна: нам нужны точные определения и алгоритмы, чтобы вместо интуитивного “график идёт вверх” дать математически правильный ответ. Открываем эти определения и сразу проверяем их на примерах».
Этап 4. Открытие нового знания (18 мин)
Цель этапа: сформировать понятия возрастания, убывания и нуля функции и научить применять их к графику и формуле.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель выводит памятку и обращается к графику. «Возьмём два значения $x_1$ и $x_2$, причём $x_1<x_2$. Если при этом $f(x_1)<f(x_2)$, функция возрастает на данном промежутке. Если $f(x_1)>f(x_2)$, функция убывает. Важно сравнивать значения слева направо, а не высоту отдельных точек». Учитель демонстрирует стрелками движение по графику. | Записывают определения. На графике выбирают две точки на возрастающем участке и проговаривают: «$x_1<x_2$, но $f(x_1)<f(x_2)$». На убывающем участке формулируют противоположное сравнение. |
5 мин | Учитель показывает таблицу: $x$: $-3,-1,1,3$; $f(x)$: $7,4,4,1$. «На каком участке значения уменьшаются? Можно ли по этой таблице утверждать строгий рост между $-1$ и $1$?» | Сравнивают соседние значения. Отвечают: «На промежутках от $-3$ до $-1$ и от $1$ до $3$ значения уменьшаются; между $-1$ и $1$ значение не изменяется, поэтому строгого возрастания или убывания не утверждаем». |
4 мин | Учитель записывает функцию $f(x)=x-4$. «Нуль функции — это значение аргумента, при котором значение функции равно нулю. Найдём его по алгоритму: составим $x-4=0$, решим уравнение, проверим ответ». Затем показывает на графике точку пересечения с осью $Ox$. | Записывают алгоритм и решение: $x-4=0$, $x=4$. Называют нуль функции $x=4$ и точку пересечения с осью $Ox$: $(4;0)$. |
3 мин | Учитель предлагает функцию $f(x)=x^2-9$. «Найдите нули функции и объясните, почему график пересечёт ось $Ox$ в двух точках». Учитель напоминает формулу разности квадратов. | Решают: $x^2-9=0$, $(x-3)(x+3)=0$, $x=3$ или $x=-3$. Формулируют: «График пересекает ось $Ox$ в точках $(-3;0)$ и $(3;0)$». |
Запись в тетрадях
Функция возрастает на промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает на промежутке, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Нуль функции — значение аргумента, при котором $f(x)=0$. Геометрически нули функции — абсциссы точек пересечения графика с осью $Ox$.
Эталон решения
Для $f(x)=x^2-9$: 1) приравнять функцию к нулю: $x^2-9=0$; 2) разложить на множители: $(x-3)(x+3)=0$; 3) применить правило произведения: $x-3=0$ или $x+3=0$; 4) получить $x=3$ и $x=-3$; 5) записать нули функции: $-3$ и $3$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь у нас есть точный язык: направление движения графика описывается возрастанием и убыванием, а пересечения с осью $Ox$ связаны с нулями функции. Переходим к тренировке, где будем проговаривать каждый шаг».
Этап 5. Первичное закрепление в парах (10 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритмы чтения графика и нахождения нулей через взаимное объяснение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам карточки с графиками и объясняет приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Сначала каждый самостоятельно отметьте на графике возрастающие и убывающие участки. Затем сравните ответы и обязательно объясните, где вы начали и закончили каждый промежуток». | Индивидуально отмечают участки на графике, затем обсуждают в паре 1 минуту. Формулируют ответы: «Функция возрастает на ... и убывает на ...». |
4 мин | Учитель предлагает карточку: «По графику определите нули функции и промежутки её возрастания и убывания. Ответ оформите словами и интервалами, если границы видны на рисунке». Обходит пары и задаёт вопросы: «Как вы поняли, что это нуль? Почему этот участок не включён?» | Находят точки пересечения с осью $Ox$, записывают их абсциссы и интервалы. Объясняют: «Нуль — это абсцисса точки с ординатой ноль». |
3 мин | Учитель организует взаимопроверку по эталону на экране: «Проверьте не только число, но и форму записи. Если нашли расхождение, используйте “Две звезды и пожелание”: назовите два верных действия и одно, которое нужно уточнить». | Сверяют решения, отмечают два удачных шага партнёра и одну неточность. Исправляют запись и задают вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы уже умеете читать свойства по графику и объяснять ответ. Теперь каждый выполнит самостоятельную работу, чтобы проверить, насколько алгоритм работает без подсказки партнёра».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (12 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение нового материала и отработать задания, близкие к формату ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. «Обязательный минимум выполняют все. Если закончили раньше и уверены в ответе, переходите к повышенному заданию. Работайте самостоятельно, записывайте промежуточные действия и не угадывайте ответ по рисунку». | Читают инструкцию, выбирают рабочий темп и готовят отдельную часть тетради для решения. |
7 мин | Учитель наблюдает и адресно помогает вопросами. Задания: 1) для $f(x)=2x-6$ найти нуль; 2) по графику назвать промежутки возрастания и убывания; 3) для $f(x)=x^2-4$ найти нули. Для повышенного уровня: по таблице $x:-2,0,2,4$, $f(x):5,1,-1,3$ описать изменение функции на соседних промежутках и найти значения аргумента, при которых $f(x)=1$. | Решают индивидуально. Получают: для $2x-6=0$ значение $x=3$; для $x^2-4=0$ значения $x=-2$ и $x=2$; по таблице определяют убывание от $-2$ до $2$ и возрастание от $2$ до $4$, значение $f(x)=1$ при $x=0$. |
3 мин | Учитель выводит эталон и проводит самопроверку: «Поставьте плюс за верный шаг, вопрос — за место сомнения. Не исправляйте молча: подчеркните ошибку и рядом запишите правильное действие». | Сверяют решения с эталоном, подсчитывают количество верных заданий, исправляют ошибки и записывают вопрос, который остался. |
Эталон решения
Задание 1: $2x-6=0$, $2x=6$, $x=3$. Задание 3: $x^2-4=0$, $(x-2)(x+2)=0$, поэтому $x=-2$ или $x=2$. В табличном задании сравнивают соседние значения функции при увеличении $x$: $5>1>-1$, затем $-1<3$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что основная трудность обычно возникает не в вычислении, а в точной записи промежутка и различении нуля функции со значением функции. Сейчас объединим свойства в одну систему и проверим, что они означают на графике».
Этап 7. Включение знаний в систему и разбор ошибок (6 мин)
Цель этапа: связать три способа задания функции и предупредить типичные ошибки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель заполняет на доске таблицу «Формула — таблица — график». «Один и тот же факт можно увидеть тремя способами. Нуль по формуле находится из $f(x)=0$, в таблице — как строка со значением функции $0$, на графике — как пересечение с осью $Ox$. Возрастание и убывание по таблице определяем сравнением значений, по графику — движением слева направо». | Заполняют схему в тетради и приводят примеры для каждого представления. |
3 мин | Учитель разбирает ошибки: «Ошибка первая: назвать координату точки $(3;0)$ нулём функции как пару чисел. Ошибка вторая: читать график справа налево. Ошибка третья: писать “функция возрастает в точке”. Как исправить эти формулировки?» | Отвечают: «Нуль функции — число $x=3$»; «График читаем слева направо»; «Возрастание и убывание рассматривают на промежутках». Исправляют формулировки в тетради. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы связали формулу, таблицу и график в единую систему. Осталось оценить собственное понимание, зафиксировать результат урока и получить домашнее задание с выбором уровня сложности».
Этап 8. Рефлексия, выходной билет и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: осознать результат обучения, выявить оставшиеся затруднения и объяснить порядок выполнения домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт выходной билет: «Запишите: 1) что называют нулём функции; 2) как определить возрастание по графику; 3) один вопрос, который требует повторения. Поднимите зелёную карточку, если можете выполнить все три действия, жёлтую — если нужна тренировка, красную — если нужна помощь учителя». | Письменно отвечают на три вопроса, выбирают цвет самооценки и сдают билет при выходе. |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: «Выберите обязательный уровень, а затем при желании добавьте повышенный или дополнительный. В каждом решении показывайте алгоритм, а не только ответ. На следующем уроке начнём с разбора наиболее частых вопросов по выходным билетам». | Записывают выбранный уровень домашней работы, уточняют непонятные требования и формулируют личную цель на закрепление. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все основные задания, правильно определены промежутки возрастания и убывания, найдены нули функции, решения содержат необходимые преобразования и корректную математическую запись.
- «4» — выполнено не менее 75% заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, но алгоритм определения свойств функции применён верно.
- «3» — выполнено не менее 50% заданий, ученик различает нули функции и значения функции, но допускает ошибки при чтении промежутков или решении уравнения $f(x)=0$.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о возрастании и убывании функции? | Выявление осознания определения и направления чтения графика. |
Как найти нуль функции, если она задана формулой? | Проверка понимания связи нуля функции с уравнением $f(x)=0$. |
Какая ошибка сегодня оказалась для вас наиболее вероятной? | Выявление индивидуальных точек затруднения и типичных ошибок. |
Насколько уверенно вы готовы выполнить аналогичное задание ОГЭ: уверенно, с подсказкой, пока неуверенно? | Субъективная оценка готовности и планирование последующей поддержки. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились описывать поведение функции тремя способами: по формуле, таблице и графику. Запомните главное: нуль функции — это не точка и не значение $y$, а такое значение аргумента, при котором $f(x)=0$. При чтении графика всегда двигайтесь слева направо и называйте именно промежуток, на котором меняется функция. На следующем уроке мы продолжим применять свойства функций при решении более сложных задач и ещё раз потренируем формат ОГЭ».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: по двум формулам найти нули функции, по двум графикам определить промежутки возрастания и убывания; в каждом ответе записать краткое обоснование. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке смотреть на правильность уравнения $f(x)=0$ и границы промежутков. |
Средний (повышающий) | Решить 5 смешанных заданий формата ОГЭ: два задания по таблице, два по графику и одно по формуле; для каждой функции указать нули и направление изменения на заданном промежутке. | Формирует перенос навыка между разными способами задания функции; проверять полноту ответа и математическую терминологию. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственный пример функции, имеющей два нуля и разные промежутки возрастания и убывания, построить её эскиз и письменно объяснить, как проверяются все названные свойства. | Развивает создание математической модели и аргументацию; при проверке смотреть на согласованность формулы, графика и описания свойств. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что сравнивают, когда определяют возрастание функции? Что называют нулём функции? Как найти нули функции, заданной формулой? Где на графике находятся нули функции? Почему ответ о возрастании нельзя формулировать для отдельной точки?»
