Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся решат не менее четырёх квадратных уравнений с помощью дискриминанта, объяснят каждый шаг алгоритма, выполнят проверку корней и самостоятельно без существенных ошибок решат тренировочный вариант задания экзаменационного типа.
- Закрепить алгоритм решения квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$ через вычисление дискриминанта $D=b^2-4ac$ и формулу корней.
- Научить различать случаи $D>0$, $D=0$ и $D<0$, определять количество действительных корней и применять это знание при проверке ответа.
- Развивать умение анализировать условие, выбирать способ действия, работать в паре и аргументированно объяснять решение.
- Формировать уверенность при выполнении заданий экзаменационного типа, навыки самоконтроля и снижения тревожности перед ОГЭ.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение точного и последовательного выполнения математического алгоритма для успешного решения учебных и экзаменационных задач.
- Проявляют ответственное отношение к самостоятельной работе и проверке полученного результата.
- Понимают, что ошибка в вычислении дискриминанта является исправимой учебной трудностью, а не показателем неспособности к математике.
- Развивают положительную мотивацию к подготовке к ОГЭ через достижимые промежуточные результаты.
Метапредметные
- Планируют последовательность решения, сопоставляют полученный результат с условием и корректируют ошибочные действия.
- Выделяют существенные данные в записи квадратного уравнения и преобразуют их в математическую модель.
- Используют смысловое чтение условия, таблицу алгоритма и критерии самопроверки.
- Взаимодействуют в паре, задают уточняющие вопросы и аргументируют согласие или несогласие с решением одноклассника.
Предметные
- Знать формулу дискриминанта $D=b^2-4ac$ и формулы корней квадратного уравнения.
- Уметь определять коэффициенты $a$, $b$, $c$ в приведённых и неприведённых квадратных уравнениях.
- Уметь устанавливать количество действительных корней по знаку дискриминанта.
- Уметь решать квадратные уравнения с помощью дискриминанта и выполнять проверку корней подстановкой.
- Уметь оформлять решение в последовательности, соответствующей требованиям заданий базового уровня ОГЭ.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят учебную задачу с личной целью подготовки к ОГЭ и дальнейшему профессиональному обучению.
- Оценивают собственную готовность решать квадратные уравнения без подсказки.
- Проявляют настойчивость при повторной проверке вычислений.
- Принимают конструктивную помощь партнёра и используют её для улучшения результата.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель повторения и составляют план решения квадратного уравнения.
- Контролируют знаки и арифметические вычисления на каждом шаге.
- Сверяют решение с эталоном, находят место ошибки и исправляют его.
- Оценивают результат по заданным критериям и планируют дальнейшую тренировку.
Познавательные УУД
- Воспроизводят и применяют алгоритм вычисления дискриминанта.
- Сравнивают решения уравнений с положительным, нулевым и отрицательным дискриминантом.
- Анализируют типичные ошибки: неверное определение коэффициента $b$, пропуск скобок и ошибку в знаке.
- Моделируют решение в виде краткой схемы: коэффициенты — дискриминант — корни — проверка.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: решающий и проверяющий, затем меняются ролями.
- Формулируют вопросы по конкретному шагу решения, не подменяя объяснение готовым ответом.
- Аргументированно объясняют, почему число корней зависит от знака дискриминанта.
- Согласовывают исправления и представляют классу краткое обоснование выбранного решения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с формулами $D=b^2-4ac$, $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}$ и таблицей случаев для $D>0$, $D=0$, $D<0$.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на каждую пару, всего по числу пар в классе, с тремя уравнениями разного типа.
- Распечатать индивидуальные листы самостоятельной работы трёх уровней: базовый, повышающий и дополнительный — по одному на каждого ученика.
- Подготовить листы с образцами типичных ошибок для этапа анализа: неверная запись коэффициента $b$, ошибка при раскрытии скобок и неверный знак перед $4ac$.
- Подготовить карточки зелёного, жёлтого и красного цвета для приёма «Светофор» — по одному комплекту на ученика.
- Разместить на доске проблемный вопрос: «Как по одному числу определить количество корней и выбрать правильную формулу?»
- Подготовить таймер на 3 минуты для парной работы и на 6 минут для самостоятельной работы.
- Подготовить эталон решения для демонстрации после самостоятельной работы.
- Предусмотреть калькуляторы только как средство проверки после решения, а не вместо записи вычислений; основная работа выполняется без калькулятора.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу, связать тему с форматом ОГЭ и создать спокойную установку на достижение результата.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы не открываем новый способ, а превращаем уже известный алгоритм в устойчивый навык. Это особенно важно перед ОГЭ: квадратное уравнение нельзя решить угадыванием, но его можно решить по понятному плану. Проверьте, что на столе есть тетрадь, ручка и линейка для аккуратной записи." | Проверяют готовность рабочего места, открывают тетради, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на доске уравнение $x^2-5x+6=0$ и говорит: "Посмотрите на уравнение. Оно похоже на задания, которые встречаются в экзаменационной тренировке. Поднимите руку, кто уверен, что сможет решить его по алгоритму; кто сомневается, пока руку не поднимает. Сегодня наша задача — сделать так, чтобы уверенность появилась после последовательной тренировки, а не после случайного угадывания." | Фиксируют исходную уверенность, называют ожидаемый результат: "решить уравнение и не ошибиться в знаках". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы проверим, насколько надёжно умеем решать квадратные уравнения, найдём типичные ошибки и потренируемся в формате, близком к ОГЭ. Начнём с восстановления алгоритма."
Этап 2. Актуализация знаний. Приём «Шпаргалка-напоминание» (6 мин)
Цель этапа: восстановить формулы, значения коэффициентов и связь знака дискриминанта с количеством корней.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске схему: «1. $a,b,c$; 2. $D$; 3. число корней; 4. корни; 5. проверка» и спрашивает: "Какой шаг выполняем первым? Что нельзя делать, пока мы не определили коэффициенты? Назовите формулу дискриминанта." | Отвечают: "Сначала определяем коэффициенты"; записывают $D=b^2-4ac$. |
2 мин | Учитель предлагает три коротких вопроса: "Сколько действительных корней, если $D>0$? Что происходит при $D=0$? Можно ли получить действительные корни при $D<0$?" Учитель фиксирует ответы в таблице на доске. | Отвечают: "При $D>0$ два корня; при $D=0$ один корень; при $D<0$ действительных корней нет". Заполняют пропуски в таблице. |
2 мин | Учитель показывает уравнение $2x^2-7x+3=0$ и спрашивает: "Назовите коэффициенты, особенно обратите внимание на коэффициент $b$. Почему нельзя назвать $b=7$?" | Называют $a=2$, $b=-7$, $c=3$ и объясняют: "Коэффициент берётся вместе со своим знаком". |
Запись в тетрадях: учащиеся записывают краткий алгоритм: «Определить $a$, $b$, $c$; вычислить $D$; установить число корней; применить нужную формулу; проверить ответ».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Формулы мы восстановили, но одна и та же ошибка — потерянный знак коэффициента — может изменить весь ответ. Сейчас выясним, умеем ли мы замечать такие ошибки и объяснять их причину."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить типичные затруднения и сформулировать критерии качественного решения.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует решение: $x^2-6x+8=0$, затем намеренно записывает ошибочную строку $D=(-6)^2+4\cdot1\cdot8=68$. Учитель спрашивает: "На каком шаге появилась ошибка? Как изменится ответ? Какой знак в формуле дискриминанта мы должны сохранить?" | Находят ошибку, отвечают: "В формуле стоит минус $4ac$, а не плюс"; предлагают правильную запись $D=(-6)^2-4\cdot1\cdot8$. |
2 мин | Учитель говорит: "Сформулируйте цель урока одним предложением. Какие признаки покажут, что цель достигнута?" На доске записывает ответы: правильные коэффициенты, аккуратный дискриминант, верные корни, проверка. | Формулируют цель: "Научиться решать уравнения без потери знаков и проверять результат"; называют критерии успеха. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы определили главный риск — ошибку в коэффициентах и знаках. Теперь будем решать по единому плану, а партнёр поможет проверить не только ответ, но и ход рассуждений."
Этап 4. Парная работа. Приём «Подумай — обсуди в паре — поделись» (8 мин)
Цель этапа: закрепить полный алгоритм решения и научить проверять запись партнёра по критериям.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с уравнениями: $x^2-5x+6=0$, $2x^2+x-3=0$, $3x^2-12x+12=0$. Инструктирует: "В каждой паре один ученик сначала решает первое уравнение, второй проверяет коэффициенты и дискриминант. Затем поменяйтесь ролями. Не называйте только ответ — проверяющий просит объяснить каждый шаг." | Распределяют роли «решающий» и «проверяющий», читают критерии на карточке. |
3 мин | Учитель напоминает: "Сначала работайте самостоятельно внутри пары, не переписывайте решение партнёра. Для каждого уравнения должны быть видны коэффициенты, дискриминант, число корней и итоговая запись. Если получили сомнительный результат, задайте вопрос: «На каком шаге ты это получил?»" | Решают первое и второе уравнения, подчёркивают коэффициенты, сравнивают вычисления, задают друг другу вопросы. |
3 мин | Учитель предлагает парам выбрать одно уравнение для представления: "Объясните классу не только решение, но и место, где могла возникнуть ошибка. Одна пара покажет случай $D=0$, другая — случай $D>0$." | Представляют решения: для $x^2-5x+6=0$ получают $D=1$, $x_1=2$, $x_2=3$; для $3x^2-12x+12=0$ получают $D=0$, $x=2$. |
1 мин | Учитель проводит быструю проверку: "Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно выполнить алгоритм; жёлтую — если нужна проверка знаков; красную — если необходимо разобрать формулу ещё раз." | Поднимают карточки, фиксируют индивидуальную потребность в помощи. |
Эталон решения
Для уравнения $2x^2+x-3=0$: $a=2$, $b=1$, $c=-3$. $D=1^2-4\cdot2\cdot(-3)=1+24=25$. Так как $D>0$, два корня: $x_1=\frac{-1-5}{4}=-\frac{3}{2}$, $x_2=\frac{-1+5}{4}=1$. Проверка: $2\cdot(-\frac{3}{2})^2-\frac{3}{2}-3=0$; $2\cdot1^2+1-3=0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В паре вы проверяли не только конечное число, но и логику решения. Сейчас каждый покажет, может ли выполнить алгоритм самостоятельно, без подсказки партнёра."
Этап 5. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное владение алгоритмом на заданиях базового и повышающего уровня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки и говорит: "Выберите базовый уровень, если хотите закрепить последовательность действий, или повышающий, если готовы работать с неприведённым уравнением. Выбор уровня не является оценкой ваших способностей. Важно выполнить решение полностью и аккуратно." | Выбирают уровень, подписывают лист, читают условия. |
6 мин | Учитель предлагает задания. Базовый уровень: решить $x^2-7x+10=0$ и $x^2+4x+4=0$. Повышающий уровень: решить $3x^2-2x-1=0$ и $2x^2-5x+2=0$. Учитель наблюдает, отмечает типичные ошибки и индивидуально задаёт наводящие вопросы без сообщения ответа. | Самостоятельно записывают $a$, $b$, $c$, вычисляют $D$, находят корни и выполняют хотя бы одну подстановку для проверки. |
2 мин | Учитель открывает эталон на доске: "Сверяйте не только ответы. Отметьте галочкой правильные коэффициенты, дискриминант, формулу корней и проверку. Ошибку обведите, рядом напишите, как её исправить." | Сверяют решение с эталоном, отмечают совпадения и ошибки, исправляют одну ошибочную строку. |
Эталон решения
Для $x^2-7x+10=0$: $a=1$, $b=-7$, $c=10$; $D=(-7)^2-4\cdot1\cdot10=9$; $x_1=\frac{7-3}{2}=2$, $x_2=\frac{7+3}{2}=5$. Для $x^2+4x+4=0$: $D=4^2-4\cdot1\cdot4=0$, единственный корень $x=-\frac{4}{2}=-2$. Для $3x^2-2x-1=0$: $D=(-2)^2-4\cdot3\cdot(-1)=16$, $x_1=1$, $x_2=-\frac{1}{3}$. Для $2x^2-5x+2=0$: $D=(-5)^2-4\cdot2\cdot2=9$, $x_1=\frac{1}{2}$, $x_2=2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, на каком именно шаге возникает затруднение. Ошибку важно назвать точно: коэффициент, знак, вычисление дискриминанта или формула корня. Включим теперь этот навык в более широкий способ проверки."
Этап 6. Включение знаний в систему и разбор типичных ошибок (7 мин)
Цель этапа: научить анализировать чужое решение, выбирать корректный способ исправления и переносить алгоритм на экзаменационный формат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает три фрагмента решений: 1) для $-x^2+3x+4=0$ записано $a=1$; 2) в формуле записано $D=b^2+4ac$; 3) при $D=0$ записаны два разных корня. Учитель говорит: "Работаем как эксперты. Определите ошибку, сформулируйте правило и исправьте запись. Не достаточно сказать «неверно»." | В парах анализируют фрагменты, формулируют: "$a=-1$, знак коэффициента сохраняется"; «в формуле дискриминанта стоит минус»; «при $D=0$ один корень». |
2 мин | Учитель задаёт вопрос: "В каких жизненных и учебных ситуациях полезно сначала определить количество возможных результатов, а потом выполнять вычисления? Почему такой порядок снижает риск ошибки на ОГЭ?" | Приводят объяснения: «по знаку дискриминанта заранее понятно, сколько корней записывать»; «можно заметить, что два корня при $D=0$ невозможны». |
2 мин | Учитель предлагает мини-задачу: "Не решая уравнение полностью, определите число действительных корней у $4x^2+4x+1=0$ и $x^2+2x+5=0$. Запишите вычисление дискриминанта." | Вычисляют: для первого $D=0$, один корень; для второго $D=4-20=-16$, действительных корней нет. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь вы умеете не только решать, но и проверять чужое решение по математическим основаниям. Осталось оценить собственный результат и определить, что именно нужно повторить дома."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (8 мин)
Цель этапа: осмыслить результаты урока, зафиксировать индивидуальные затруднения и сообщить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт небольшие листы для приёма «Билет на выход» и говорит: "Ответьте кратко на три вопроса: 1) Какой шаг алгоритма теперь выполняете уверенно? 2) На каком шаге ещё нужна проверка? 3) Как вы объясните смысл знака дискриминанта?" | Письменно отвечают на три вопроса, формулируют личную точку роста. |
2 мин | Учитель предлагает завершить фразы: "Сегодня я понял…", "Чтобы не ошибаться, я буду…", "Перед ОГЭ мне важно повторить…". Несколько учащихся по желанию зачитывают ответы. | Заполняют фразы, называют конкретные действия: «проверять знак $b$», «не пропускать подстановку», «выписывать все этапы решения». |
3 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите уровень осознанно. Обязательный уровень выполняют все; повышающий и дополнительный выбирают по готовности. Перед сдачей проверьте каждое уравнение по пяти пунктам алгоритма." Учитель отвечает на уточняющие вопросы и собирает билеты на выход. | Записывают домашнее задание, задают вопросы по критериям, сдают «Билет на выход». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы закрепили полный алгоритм решения квадратного уравнения и научились находить не только неправильный ответ, но и причину ошибки. Возьмите с собой на домашнюю работу схему: коэффициенты, дискриминант, корни, проверка. На следующем уроке продолжим тренировку и рассмотрим, как выбирать наиболее рациональный способ решения квадратных уравнений."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все два уравнения выбранного уровня, правильно определены коэффициенты, без ошибок вычислен дискриминант, указано количество корней, выполнена проверка хотя бы одного корня; запись последовательная и аккуратная.
- «4» — решены оба уравнения, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не повлиявшая на понимание алгоритма, либо проверка выполнена не полностью.
- «3» — правильно определены коэффициенты и начат алгоритм хотя бы для двух уравнений, но допущены ошибки в вычислении дискриминанта или формуле корней; после разбора ученик может исправить решение.
- «2» — не определены коэффициенты или отсутствует понимание связи между дискриминантом и количеством корней; требуется индивидуальная отработка алгоритма по образцу.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
«Какой шаг алгоритма решения квадратного уравнения вы теперь можете выполнить без подсказки?» | Выявление осознанного освоения отдельных этапов алгоритма. |
«Где сегодня возникла или могла возникнуть ошибка: в коэффициентах, дискриминанте, формуле корней или проверке?» | Выявление конкретных точек затруднения, а не общей самооценки. |
«Как знак дискриминанта помогает проверить ответ ещё до нахождения корней?» | Проверка понимания связи между вычислением $D$ и количеством действительных корней. |
«Что вы сделаете на следующем тренировочном задании, чтобы снизить вероятность ошибки?» | Формирование навыка самоконтроля и личной стратегии подготовки к ОГЭ. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы закрепили не отдельную формулу, а полный алгоритм решения квадратного уравнения: определили коэффициенты, вычислили дискриминант, нашли корни и проверили результат. Самая частая ошибка — потеря знака коэффициента $b$ или неверный знак перед $4ac$, поэтому именно эти места нужно контролировать особенно внимательно. Если решение пока занимает много времени, это нормально: скорость появится после нескольких аккуратных повторений. На следующем уроке мы продолжим подготовку к ОГЭ и будем выбирать наиболее удобный способ решения квадратных уравнений."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 квадратных уравнения с целыми коэффициентами: два с $D>0$, одно с $D=0$ и одно с $D<0$. Для каждого записать коэффициенты, дискриминант, число корней и итоговый ответ. | Закрепляет обязательную последовательность алгоритма; при проверке обратить внимание на знаки коэффициентов и правильное определение числа корней. |
Средний (повышающий) | Решить 5 уравнений, включая два неприведённых уравнения и одно уравнение с отрицательным коэффициентом $a$; выполнить проверку подстановкой для двух найденных корней. | Формирует перенос алгоритма на разные виды записи; при проверке смотреть, сохранены ли знаки $a$, $b$, $c$ и верно ли применена формула корней. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить два квадратных уравнения: одно с одним действительным корнем и одно без действительных корней; решить их и кратко объяснить, как выбранный дискриминант обеспечивает требуемое число корней. | Развивает понимание обратной задачи и уровень создания; при проверке оценить корректность коэффициентов, вычисления $D$ и объяснения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как определить коэффициенты квадратного уравнения? Какова формула дискриминанта? Сколько корней при $D=0$? Почему при $D<0$ нет действительных корней? Какие два шага нужно обязательно проверить перед сдачей решения?»
