Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными
Цели и задачи
- Цель: за 45 минут научиться выбирать и применять рациональный приём решения системы уравнений второй степени с двумя переменными — подстановку, разложение на множители или введение новой переменной — и проверять полученные пары чисел.
- Закрепить алгоритм решения систем с выделением квадрата переменной и систем, сводящихся к произведению двух выражений, на практических заданиях.
- Развивать умение анализировать структуру системы, устанавливать область допустимых значений и объяснять выбор способа решения.
- Формировать навыки самоконтроля при выполнении заданий экзаменационного типа и снижать тревожность через работу с заданиями трёх уровней сложности.
- Воспитывать ответственность за точность вычислений, настойчивость при поиске решения и готовность обращаться к рациональному способу, а не выполнять лишние преобразования.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность умения выбирать способ решения алгебраической задачи, в том числе при подготовке к ОГЭ.
- Проявляют готовность спокойно анализировать ошибку и корректировать решение без отказа от выполнения задания.
- Развивают ответственное отношение к записи преобразований и проверке результата.
Метапредметные
- Познавательные: анализируют структуру системы, выделяют общий множитель, строят математическую модель и выбирают алгоритм.
- Регулятивные: планируют последовательность решения, сверяют промежуточные результаты с условием и исправляют вычислительные ошибки.
- Коммуникативные: объясняют партнёру выбор способа, задают уточняющие вопросы и сопоставляют разные решения.
- Используют смысловое чтение условия и таблицу критериев для самооценки выполненной работы.
Предметные
- Знать основные приёмы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными: подстановку, разложение на множители и введение новой переменной.
- Уметь выразить одну переменную через другую и подставить выражение во второе уравнение системы.
- Уметь решать полученное квадратное уравнение и находить соответствующие значения второй переменной.
- Уметь проверять найденные пары чисел в обоих уравнениях системы и записывать ответ.
- Уметь выбирать рациональный способ решения системы по её виду и объяснять этот выбор.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель практической работы: научиться распознавать приём и применять его без потери корней.
- Соотносят результат работы с требованиями к математической записи и экзаменационной проверке.
- Формируют позитивное отношение к исправлению ошибок как к части обучения.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную задачу и составляют план решения системы.
- Контролируют знаки, область допустимых значений и количество найденных решений.
- Оценивают работу по критериям и выполняют коррекцию решения после самопроверки.
Познавательные УУД
- Сравнивают системы по структуре и классифицируют их по подходящему приёму решения.
- Преобразуют выражения, раскладывают многочлен на множители и решают квадратное уравнение.
- Моделируют связь между корнями полученного уравнения и парами решений исходной системы.
- Проверяют математическое утверждение подстановкой и находят ошибочный шаг в готовом решении.
Коммуникативные УУД
- Работают в парах по алгоритму «Подумай — обсуди в паре — поделись».
- Формулируют объяснение выбора способа решения с использованием математических терминов.
- Сравнивают решения одноклассников и корректно предлагают исправление неточности.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить карточки трёх уровней сложности: обязательный уровень — по одной системе на каждого ученика, базовый — по одной карточке на пару, повышенный — по одной карточке на группу из четырёх человек.
- Вывести на доску или экран алгоритм: анализ вида системы → выбор приёма → преобразование → решение → обратная подстановка → проверка.
- Подготовить краткую памятку с формулами разложения на множители: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ и $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$.
- Распечатать лист самооценки и билет на выход — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить четыре карточки с системами для этапа актуализации и одну карточку с намеренно ошибочным решением.
- Подготовить таймер на 5 минут для самостоятельной работы и маркеры для доски.
- Организовать рабочие места парами; обеспечить возможность вывода решений на интерактивную доску.
- Определить задания из используемого учебника, соответствующие трём уровням: подстановка, разложение на множители, введение новой переменной; номера и страницы на уроке не фиксировать.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую работу и обозначить связь темы с заданиями ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня у нас не урок длинного объяснения, а практикум. Мы будем решать системы, сравнивать способы и учиться быстро видеть, какой путь короче. Откройте тетради, запишите дату и тему урока." | Открывают тетради, записывают дату и тему урока. |
2 мин | Учитель показывает на экране три слова: "подстановка", "множители", "новая переменная" и говорит: "Эти слова будут нашими инструментами. В заданиях экзамена важно не только получить ответ, но и не потерять решение из-за необязательных преобразований. Сегодня каждый выберет удобный уровень, а к концу урока проверит, какой приём уже получается уверенно." | Формулируют личную цель: "научиться выбирать способ", "не терять корни", "проверять ответ"; отмечают ожидаемый уровень сложности. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы работаем как специалисты: сначала диагностируем задачу, затем выбираем инструмент и только после этого выполняем вычисления. Начнём с проверки опорных знаний."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить навыки преобразования выражений, решения квадратных уравнений и проверки пары чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки с тремя короткими заданиями: "Разложите на множители $x^2-25$; решите уравнение $t^2-5t+6=0$; проверьте, является ли пара $(2;3)$ решением системы $x+y=5$, $xy=6$. Работайте индивидуально две минуты, затем сравните ответы с соседом." | Выполняют три задания; записывают $x^2-25=(x-5)(x+5)$, корни $t=2$ и $t=3$; подставляют пару в оба уравнения и делают вывод. |
3 мин | Учитель организует приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Сначала назовите действие, которое выполняли. Почему одной подстановки иногда недостаточно? Что обязательно сделать после нахождения корней?" Учитель фиксирует на доске ответы: "обратная подстановка", "проверка в исходной системе", "выбор подходящего способа". | Обсуждают в парах, затем формулируют: "Нужно найти соответствующую переменную и проверить пару в обоих уравнениях". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили разложение на множители, квадратное уравнение и проверку пары. Теперь выясним, как эти действия объединяются в разных системах."
Этап 3. Постановка проблемы и выбор алгоритма (4 мин)
Цель этапа: научить распознавать структуру системы и связывать её с рациональным способом решения.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит две системы: $\begin{cases}y=x+1\x^2+y^2=25\end{cases}$ и $\begin{cases}x+y=5\xy=6\end{cases}$. Учитель спрашивает: "Посмотрите на первые уравнения. В какой системе переменная уже выражена? Где можно использовать сумму и произведение корней? Не решайте пока полностью — назовите план." | Сравнивают системы и отвечают: "В первой удобно подставить $y=x+1$; во второй сумма и произведение позволяют ввести переменную, корнями будут $x$ и $y$." |
2 мин | Учитель показывает ошибочное решение: из условия $xy=6$ ученик сразу записал $x=6$, $y=1$. Учитель спрашивает: "На каком основании сделан вывод? Как исправить рассуждение?" Затем формулирует правило: "Нельзя выбирать одну пару без проверки всех условий." | Находят ошибку, объясняют: "У произведения 6 есть несколько пар; нужно использовать сумму $x+y=5$ и решить задачу системно." |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что вид системы подсказывает метод. Сейчас разберём образец с подстановкой, а затем вы примените алгоритм самостоятельно."
Этап 4. Практикум по образцу: подстановка и разложение на множители (8 мин)
Цель этапа: отработать последовательность решения системы с последующей проверкой и обратить внимание на появление двух случаев.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель записывает на доске систему: $\begin{cases}y=x+1\x^2+y^2=25\end{cases}$ и говорит: "Сначала выражение $y=x+1$ подставляем во второе уравнение. Получаем $x^2+(x+1)^2=25$. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые. После переноса получаем $2x^2+2x-24=0$, то есть $x^2+x-12=0$. Разложите квадратный трёхчлен на множители и назовите корни." | Записывают преобразования: $x^2+(x+1)^2=25$; $2x^2+2x-24=0$; $x^2+x-12=0$; $(x+4)(x-3)=0$. Получают $x=-4$ или $x=3$. |
3 мин | Учитель продолжает: "Теперь для каждого значения $x$ найдите $y$ по формуле $y=x+1$. Не объединяйте два случая в одну строку. Полученные пары проверьте в исходной системе." | Находят пары $(-4;-3)$ и $(3;4)$, подставляют их в оба уравнения и записывают ответ. |
Эталон решения
$y=x+1$. Подставим во второе уравнение: $x^2+(x+1)^2=25$. После преобразований: $2x^2+2x-24=0$, $x^2+x-12=0$, $(x+4)(x-3)=0$. Поэтому $x=-4$ или $x=3$. При $x=-4$ имеем $y=-3$; при $x=3$ имеем $y=4$. Проверка даёт пары $(-4;-3)$ и $(3;4)$. Ответ: $(-4;-3)$, $(3;4)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы не просто решили систему, а сохранили оба случая и проверили их. В самостоятельной работе особое внимание уделите именно переходу от корней квадратного уравнения к парам решения."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (8 мин)
Цель этапа: закрепить приёмы разложения на множители и введения новой переменной в заданиях базового и повышенного уровня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки по выбору: "Вариант А — базовый: система $\begin{cases}y=x^2-1\y=3x+3\end{cases}$. Вариант Б — повышенный: система $\begin{cases}x+y=5\xy=6\end{cases}$. Выберите вариант, который соответствует вашей цели, и решайте в паре, проговаривая каждый шаг." | Выбирают карточку и распределяют роли: один выполняет преобразования, второй контролирует запись и проверку. |
4 мин | Учитель консультирует: "Для варианта А приравняйте выражения для $y$ и получите квадратное уравнение. Для варианта Б обозначьте числа $x$ и $y$ корнями уравнения с суммой 5 и произведением 6. Не записывайте ответ без проверки." | Решают выбранную систему, проговаривают способ и оформляют проверку. |
3 мин | Учитель приглашает представителей двух пар к доске и задаёт вопросы: "Почему вы выбрали этот приём? Где могли появиться лишние решения? Какая запись является обязательной перед ответом?" | Представляют решения; отвечают: "Мы приравняли выражения", "использовали теорему Виета", "проверили пары в исходной системе". |
Эталон решения
Для системы $\begin{cases}y=x^2-1\y=3x+3\end{cases}$: $x^2-1=3x+3$, поэтому $x^2-3x-4=0$, $(x-4)(x+1)=0$. При $x=4$ получаем $y=15$; при $x=-1$ получаем $y=0$. Ответ: $(4;15)$, $(-1;0)$. Для системы $\begin{cases}x+y=5\xy=6\end{cases}$ числа $x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2-5t+6=0$. Получаем $t=2$ и $t=3$, поэтому решения: $(2;3)$ и $(3;2)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парной работе вы увидели два разных маршрута. Теперь каждый выполнит короткую самостоятельную работу: это позволит понять, какой шаг уже стал устойчивым, а какой требует дополнительной тренировки."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение приёмами решения систем и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет критерии: "Выполните два обязательных задания и одно дополнительное по выбору. В обязательных заданиях важны не только корни, но и запись способа, нахождение второй переменной и проверка. На работу — семь минут." | Записывают задания и критерии: способ — 1 балл, преобразования — 1 балл, пары — 1 балл, проверка — 1 балл. |
7 мин | Учитель раздаёт карточки: обязательное задание 1 — $\begin{cases}y=x-2\x^2+y^2=20\end{cases}$; обязательное задание 2 — $\begin{cases}x+y=7\xy=10\end{cases}$; дополнительное задание — $\begin{cases}y=x^2-4x+3\y=0\end{cases}$. Учитель напоминает: "Если остановились, подчеркните место затруднения и переходите к следующему заданию. Это не потеря времени, а грамотное управление работой." | Индивидуально решают системы, выбирают дополнительное задание, отмечают затруднившийся шаг. |
2 мин | Учитель открывает эталон на экране: "Сверьте не только конечный ответ, но и каждый переход. Ошибку обозначьте условным знаком и рядом запишите, как её исправить." | Проверяют решения по эталону, исправляют одну ошибку, ставят себе количество баллов. |
Эталон решения
1) $y=x-2$: $x^2+(x-2)^2=20$, $2x^2-4x-16=0$, $x^2-2x-8=0$, $(x-4)(x+2)=0$. При $x=4$, $y=2$; при $x=-2$, $y=-4$. Ответ: $(4;2)$, $(-2;-4)$. 2) $x$ и $y$ — корни уравнения $t^2-7t+10=0$, то есть $(t-5)(t-2)=0$. Ответ: $(5;2)$, $(2;5)$. 3) $y=0$, поэтому $x^2-4x+3=0$, $(x-1)(x-3)=0$. Ответ: $(1;0)$, $(3;0)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм работает, если не пропускать промежуточные шаги. Сейчас зафиксируем, какой приём вы выбираете для разных видов систем и что нужно повторить дома."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осмыслить результат практической работы, определить индивидуальное затруднение и получить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт лист самооценки: "Отметьте утверждения: я умею выразить переменную; свести систему к квадратному уравнению; использовать сумму и произведение; проверить пару; выбрать уровень домашнего задания. Затем одним предложением ответьте: какой шаг сегодня оказался самым трудным?" | Заполняют лист самооценки, отмечают зелёный, жёлтый или красный уровень уверенности и называют конкретный затруднившийся шаг. |
1 мин | Учитель проводит мини-приём "Билет на выход": "Запишите ответ на вопрос: какой приём вы выберете для системы $\begin{cases}x+y=8\xy=15\end{cases}$ и почему?" | Записывают: "Введение новой переменной или теорема Виета, потому что известны сумма и произведение переменных". |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень по результату самооценки. Обязательно перепишите ошибочный шаг из сегодняшней работы в исправленном виде. Не стремитесь взять самый сложный уровень: важнее выполнить задание без пропусков и проверить ответ." | Записывают выбранный уровень домашнего задания и контрольный вопрос для самопроверки. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно решены два обязательных задания и дополнительное задание либо оба обязательных задания с полным оформлением; выбран способ, выполнены все преобразования, найдены пары и проведена проверка.
- "4" — верно решены два обязательных задания, но допущена одна вычислительная или оформительская неточность, не повлиявшая на общий ход решения.
- "3" — правильно начато решение хотя бы двух систем, получена минимум одна верная пара или без существенных ошибок выполнено одно обязательное задание; ошибка обозначена и исправлена при самопроверке.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой признак системы помог выбрать способ решения? | Выявление сформированности умения анализировать структуру системы. |
На каком шаге решения возникло затруднение? | Выявление точек затруднения в алгоритме и планирование коррекции. |
Что обязательно нужно проверить перед записью ответа? | Осознание необходимости обратной подстановки и контроля потери решений. |
Какой уровень домашнего задания соответствует вашей готовности и почему? | Формирование адекватной самооценки и ответственности за выбор сложности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы тренировались не угадывать ответ, а выбирать рациональный способ решения системы. Самая частая ошибка — найти корни промежуточного уравнения и забыть восстановить вторую переменную или проверить пару в исходной системе. Если один шаг пока вызывает затруднение, это нормальная точка для тренировки, а не причина отказываться от задания. На следующем уроке мы продолжим решать системы и разберём более сложные случаи, приближенные к формату ОГЭ."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 системы: одну подстановкой, одну с разложением на множители и одну по известным сумме и произведению переменных. В каждой системе записать проверку найденных пар. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на полноту решения, знаки и обратную подстановку. |
Средний (повышающий) | Решить 4 системы смешанного типа, предварительно подписав выбранный приём перед каждым решением. Минимум в двух заданиях выполнить проверку в исходной системе. | Развивает умение распознавать структуру системы и выбирать рациональный способ; проверить обоснованность выбора. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить 2 системы, в которых возможны два разных способа решения, и сравнить способы по количеству преобразований. Составить одну собственную систему с двумя решениями и привести её решение. | Формирует оценку рациональности способа и навыки создания математической модели; проверить корректность системы и наличие всех решений. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как определить, что систему удобно решать подстановкой?», «Как использовать сумму и произведение двух переменных?», «Зачем проверять найденные пары в исходной системе?»
