Графики функций $y=kx$, $y=kx+b$, $y=\frac{k}{x}$ и $y=x^3$
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать графики функций $y=kx$, $y=kx+b$, $y=\frac{k}{x}$ и $y=x^3$, определять по графику основные свойства и строить эскиз каждого графика по заданной формуле.
- Систематизировать знания о коэффициентах $k$ и $b$, влияющих на положение и форму графика линейной функции и гиперболы.
- Научиться выбирать опорные точки и строить графики функций по таблице значений.
- Развивать умение сравнивать графики, находить закономерности, аргументировать ответ и проверять его по координатной сетке.
- Показать связь графиков функций с задачами ОГЭ, физикой движения и компьютерной визуализацией данных.
Планируемые результаты
Личностные
- Ученик осознаёт практическую ценность графического представления зависимости величин при решении задач ОГЭ и жизненных задач.
- Проявляет ответственное отношение к точности построения и проверке результата.
- Снижает тревожность перед экзаменом через понимание алгоритма распознавания графиков.
- Проявляет интерес к применению математики в физике, экономике и цифровых технологиях.
Метапредметные
- Ученик извлекает информацию из формулы, таблицы и графика и переводит её из одной формы в другую.
- Сравнивает объекты по заданным признакам, выявляет закономерности и формулирует вывод.
- Планирует построение графика, контролирует соответствие точек формуле и корректирует ошибки.
- Сотрудничает в паре, формулирует математическое объяснение и использует цифровой графический инструмент.
Предметные
- Знать общий вид и основные свойства функций $y=kx$, $y=kx+b$, $y=\frac{k}{x}$ и $y=x^3$.
- Уметь определять по коэффициентам направление и положение прямой, вид гиперболы, координаты центра симметрии и поведение графика.
- Уметь строить эскизы графиков по формуле и нескольким опорным точкам.
- Уметь сопоставлять формулу с графиком и объяснять выбор признаками функции.
- Владеть алгоритмом выполнения задания на распознавание графика в формате ОГЭ.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель на уроке: научиться быстро распознавать графики без механического заучивания.
- Осознают связь точности математической записи с надёжностью результата.
- Оценивают собственную готовность к заданиям ОГЭ по теме.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель и последовательность действий при построении графика.
- Планируют выбор точек и способ проверки результата.
- Сверяют построение с эталоном, находят и исправляют ошибки.
- Оценивают результат по критериям: правильность формулы, точность точек, соответствие свойствам.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки четырёх видов графиков.
- Устанавливают зависимость положения графика от коэффициентов $k$ и $b$.
- Строят таблицу значений и используют её как математическую модель.
- Анализируют график, формулу и координаты характерных точек.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: вычислитель, построитель, проверяющий.
- Задают уточняющие вопросы и аргументируют выбор графика.
- Согласуют общий ответ и корректно указывают на ошибку партнёра.
- Представляют результат кратко и математически точно.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с четырьмя формулами, координатной сеткой, изображениями графиков и заданием формата ОГЭ на сопоставление.
- Распечатать карточки для пар: 8 комплектов с формулами, графиками и таблицами признаков; подготовить карточки трёх уровней сложности по одной на ученика.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «Я узнаю график», «Я строю график», «Я объясняю влияние коэффициентов».
- Вывести на доску или слайд алгоритм: определить вид функции — найти характерные точки — учесть коэффициенты — проверить симметрию и расположение.
- Подготовить координатную плоскость на доске и маркеры четырёх цветов.
- Проверить работу ноутбука, проектора и цифрового графического сервиса; заранее открыть пустую координатную систему.
- Распечатать мини-лист «Билет на выход» по одному экземпляру на каждого ученика.
- Освободить проход между рядами для короткой физкультминутки с движениями по направлениям координатных осей.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в деятельность и показать практическую значимость распознавания графиков.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и линейки. Сегодня мы будем не просто строить линии, а учиться быстро читать график, как это требуется в заданиях ОГЭ." | Проверяют готовность, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель выводит на экран четыре графика без формул и говорит: "Представьте, что на экзамене вы видите эти рисунки и должны выбрать формулу. Какой график можно узнать сразу? Какие признаки помогут не угадывать? Сегодня мы создадим собственную шпаргалку-напоминание." | Рассматривают рисунки, предполагают: "Прямая проходит через начало координат", "Есть гипербола", "Кубическая функция имеет форму изогнутой линии"; формулируют ожидания. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что форма графика уже содержит подсказки. Теперь проверим, какие свойства мы помним и где возникает затруднение."
Этап 2. Актуализация знаний и парная работа (6 мин)
Цель этапа: актуализировать признаки функций и выявить затруднения при сопоставлении формулы и графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала самостоятельно запишите, что вы помните о графике линейной функции. Затем за минуту сравните записи с соседом и выберите два наиболее важных признака." | Индивидуально записывают признаки, затем обсуждают в парах; называют: "У $k$ определяется наклон, у $b$ — пересечение с осью $Oy$". |
2 мин | Учитель раздаёт карточки с формулами $y=2x$, $y=-3x+1$, $y=\frac{4}{x}$, $y=x^3$ и спрашивает: "Разложите формулы по четырём видам. Какой признак использовали первым?" | В парах распределяют формулы по группам, проговаривают: "Первые две — линейные, третья — обратная пропорциональность, четвёртая — кубическая функция". |
2 мин | Учитель показывает на доске утверждения: «График $y=kx$ всегда проходит через начало координат»; «График $y=\frac{k}{x}$ пересекает оси»; «При $k<0$ у $y=kx$ прямая убывает». Просит отметить верные и исправить неверное. | Отмечают первое и третье утверждения как верные, второе — как неверное; объясняют: "Гипербола не пересекает координатные оси". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили основные виды функций, но пока не для каждого графика можем уверенно объяснить все признаки. Сформулируем учебную задачу и найдём общий алгоритм."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать проблему урока и спланировать открытие способов распознавания графиков.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает два графика прямых и спрашивает: "Обе линии являются графиками линейной функции. Как без построения понять, какая формула имеет вид $y=kx$, а какая — $y=kx+b$? Что изменяет коэффициент $b$?" | Сравнивают графики, отвечают: "График $y=kx$ проходит через начало координат, а $b$ показывает пересечение с осью $Oy$". |
2 мин | Учитель продолжает: "Как по расположению ветвей определить знак $k$ в $y=\frac{k}{x}$? Как отличить $y=x^3$ от прямой? Запишите цель: распознавать четыре графика по формуле и свойствам, а затем проверять себя построением." | Записывают цель и план: определить вид, выделить коэффициенты, выбрать точки, построить или проверить эскиз. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План готов. Сначала откроем признаки каждого графика, затем применим их в паре и проверим себя индивидуально."
Этап 4. Открытие нового знания: свойства и построение графиков (10 мин)
Цель этапа: вывести и систематизировать признаки четырёх графиков через таблицу и цифровую демонстрацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель заполняет на доске таблицу и комментирует: "Для $y=kx$ достаточно двух точек, одна из них — $(0;0)$. При $k>0$ прямая возрастает, при $k<0$ убывает. В функции $y=kx+b$ коэффициент $b$ задаёт пересечение с осью $Oy$, а $k$ задаёт наклон. Если $b$ меняется, прямая сдвигается параллельно самой себе." | Записывают признаки в таблицу, строят по две точки для $y=2x$ и $y=2x+1$, формулируют: "Наклон одинаковый, прямые параллельны, но вторая пересекает ось $Oy$ в точке $(0;1)$". |
3 мин | Учитель показывает цифровое построение гиперболы: "Для $y=\frac{k}{x}$ выберем значения $x=-2,-1,1,2$. При $k=2$ получаем точки $(-2;-1),(-1;-2),(1;2),(2;1)$. Обратите внимание: оси являются асимптотами, а знак $k$ определяет квадранты." | Заполняют таблицу значений, отмечают четыре точки, отвечают: "При $k>0$ ветви расположены в первой и третьей четвертях; при $k<0$ — во второй и четвёртой". |
3 мин | Учитель строит на экране $y=x^3$: "Возьмём точки $(-2;-8),(-1;-1),(0;0),(1;1),(2;8)$. График проходит через начало координат, возрастает на всей области определения и симметричен относительно начала координат. Сравните его с графиком $y=x$." | Строят точки в тетради, сравнивают формы и формулируют: "Оба графика проходят через начало координат и возрастают, но $y=x^3$ имеет кубическую форму и быстрее удаляется от оси $Ox$ при больших $|x|$". |
Запись в тетрадях
- $y=kx$: прямая через начало координат; при $k>0$ возрастает, при $k<0$ убывает.
- $y=kx+b$: прямая пересекает ось $Oy$ в точке $(0;b)$; $k$ определяет наклон.
- $y=\frac{k}{x}$: гипербола, оси — асимптоты; знак $k$ определяет расположение ветвей.
- $y=x^3$: кубическая функция, проходит через $(0;0)$, возрастает и симметрична относительно начала координат.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть четыре набора признаков. Проверим их в движении и закрепим каждый признак коротким действием."
Этап 5. Динамическая пауза и применение графиков (3 мин)
Цель этапа: снять напряжение и закрепить понимание возрастания, убывания и роли коэффициента $k$ через короткое двигательное упражнение и практическую ситуацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель предлагает упражнение «Живой график»: «Если я называю возрастающую функцию, поднимите правую руку вверх; если убывающую — наклоните её вниз. Для горизонтального сдвига покажите движение рукой в сторону». Называет функции $y=2x$, $y=-x+3$, $y=4x+1$. | Показывают направление изменения графика и объясняют, что знак коэффициента $k$ определяет возрастание или убывание прямой. |
2 мин | Учитель предлагает практическую ситуацию: «На графике пути $s$ от времени $t$ одна прямая круче другой. Что можно сказать о скорости? Как изменится график, если к начальному пути добавить постоянное значение?» | Отвечают, что более крутой график соответствует большей скорости, а добавление постоянного значения изменяет свободный член и сдвигает график вверх, не меняя наклон. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Знак $k$ помогает определить направление изменения функции, величина $k$ — крутизну графика, а добавление постоянного значения меняет его положение. Используем эти признаки в самостоятельной работе».
Этап 6. Первичное закрепление и самостоятельная работа (12 мин)
Цель этапа: научить применять алгоритм распознавания графика и проверить индивидуальное понимание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт парные карточки: "Сопоставьте формулы $y=-2x$, $y=3x-2$, $y=\frac{-5}{x}$, $y=x^3$ с описаниями: прямая через начало координат; прямая с пересечением $Oy$ ниже начала; гипербола во второй и четвёртой четвертях; кубическая кривая. Обсудите каждый выбор и запишите признак." | В парах сопоставляют формулы и описания, аргументируют: "$y=-2x$ — прямая через начало координат и убывает; $y=3x-2$ пересекает $Oy$ в $(0;-2)$; $k<0$ у гиперболы даёт вторую и четвёртую четверти". |
3 мин | Учитель разбирает типичную ошибку: "Ученик утверждает, что график $y=2x+3$ проходит через начало координат, потому что коэффициент $k$ положительный. Согласны ли вы? Исправьте объяснение." | Находят ошибку и отвечают: "Нет. При $x=0$ получаем $y=3$, поэтому график проходит через $(0;3)$, а не через начало координат". |
5 мин | Учитель предлагает индивидуальную работу трёх уровней. Минимум: определить вид функций $y=-4x$, $y=\frac{3}{x}$; базовый уровень: построить эскиз $y=x^3$ по пяти точкам; повышенный уровень: определить формулу прямой, проходящей через $(0;-2)$ и $(1;1)$. Через 3 минуты выводит эталон на экран. | Индивидуально выполняют выбранный уровень. Для повышенного задания вычисляют $k=3$, $b=-2$ и получают $y=3x-2$; сверяют решение с эталоном и отмечают ошибку, если она есть. |
Эталон решения
Для прямой $y=kx+b$, проходящей через $(0;-2)$ и $(1;1)$: из первой точки $b=-2$. Подставляем вторую точку: $1=k\cdot1-2$, значит $k=3$. Ответ: $y=3x-2$. Проверка: при $x=0$ получаем $y=-2$, при $x=1$ получаем $y=1$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы применили признаки сначала вместе, затем самостоятельно. Особенно важно помнить: коэффициент $k$ отвечает за наклон, а свободный член $b$ — за положение прямой по вертикали. Осталось оценить собственный результат и зафиксировать, что ещё требует тренировки."
Этап 7. Рефлексия, билет на выход и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осознать способ действия, выявить затруднения и определить содержание дальнейшей самостоятельной работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает лист самооценки: "Поставьте плюс напротив утверждений, которые вы можете выполнить: определить вид функции; объяснить роль $k$ и $b$; построить опорные точки; распознать гиперболу и кубическую функцию. Жёлтым отметьте пункт, который требует повторения." | Заполняют лист самооценки, отмечают сильную сторону и одно затруднение. |
2 мин | Учитель раздаёт «Билет на выход»: "Ответьте письменно на три вопроса: какой график проходит через начало координат обязательно; где расположены ветви $y=\frac{-2}{x}$; что показывает коэффициент $b$ в $y=kx+b$?" | Пишут ответы: "$y=kx$ и $y=x^3$ проходят через начало координат"; «ветви во второй и четвёртой четвертях»; «пересечение с осью $Oy$». |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание и говорит: "Выберите обязательный уровень, а затем при желании добавьте повышающий или дополнительный. Важно не количество, а объяснение каждого построения." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, сдают билет на выход. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились читать график по его форме и коэффициентам. Если вы каждый раз будете начинать с определения вида функции и проверки характерных точек, задания ОГЭ перестанут выглядеть случайным набором рисунков."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня, правильно распознаны не менее четырёх функций, построение содержит опорные точки и дано обоснование роли коэффициентов.
- «4» — допущена одна содержательная ошибка или неточность в построении, но общий алгоритм распознавания и основные свойства функций определены верно.
- «3» — верно выполнено не менее половины заданий обязательного уровня, но имеются ошибки в расположении графика, знаке коэффициента или объяснении роли $b$.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой признак помогает первым отличить $y=kx$ от $y=kx+b$? | Проверка понимания роли свободного члена и точки пересечения с осью $Oy$. |
Как знак $k$ влияет на расположение ветвей графика $y=\frac{k}{x}$? | Выявление понимания связи коэффициента с квадрантами. |
На каком шаге построения графика вы сегодня испытывали затруднение? | Выявление точек затруднения в алгоритме построения. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и почему? | Формирование самооценки и ответственного выбора уровня нагрузки. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы систематизировали графики четырёх функций и увидели, что их можно узнавать по нескольким надёжным признакам. Запомните типичную ошибку: положительный коэффициент $k$ не означает, что прямая обязательно проходит через начало координат — это верно только для $y=kx$. На следующем уроке мы продолжим решать задания на преобразование графиков и отработаем выбор ответа в формате ОГЭ. Если сейчас остались вопросы, отметьте их в листе самооценки и принесите на следующий урок."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на сопоставление формул и графиков для функций $y=kx$, $y=kx+b$, $y=\frac{k}{x}$ и $y=x^3$; построить эскизы двух заданных функций по опорным точкам. | Закрепляет распознавание вида функции и алгоритм построения; при проверке смотреть на знак $k$, значение $b$ и расположение точек. |
Средний (повышающий) | Решить 4–5 задач на определение коэффициентов $k$ и $b$ по графику прямой, а также на определение знака $k$ по расположению ветвей гиперболы. | Развивает чтение графика и переход от изображения к формуле; при проверке учитывать обоснование каждого коэффициента. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить мини-исследование: сравнить графики $y=x$, $y=x^3$ и $y=\frac{1}{x}$, указать общие и отличительные свойства и оформить вывод в виде таблицы или цифрового графика. | Формирует анализ, математическую аргументацию и ИКТ-компетентность; при проверке смотреть на корректность свойств, симметрию и точность терминов. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какая функция задаёт прямую через начало координат? Что показывает $b$ в формуле $y=kx+b$? В каких квадрантах расположены ветви $y=\frac{-3}{x}$? Какие пять точек удобно взять для построения $y=x^3$?»
