Функции и их свойства. Чётность и нечётность функции
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться определять по формуле, таблице или графику, является ли функция чётной, нечётной или функцией общего вида, и обосновывать ответ с использованием равенства f(-x)=f(x) или f(-x)=-f(x).
- Сформировать представление о чётных и нечётных функциях как о функциях с определённой симметрией графика.
- Научиться применять алгоритм исследования функции на чётность и нечётность в учебных заданиях и заданиях, близких к формату ОГЭ.
- Развивать умение анализировать формулу, сравнивать значения функции, работать в паре и аргументированно представлять результат.
- Воспитывать внимательность при записи математических рассуждений, уверенность в собственных действиях и ответственное отношение к подготовке к экзамену.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность умения анализировать функции для дальнейшего изучения математики и подготовки к ОГЭ.
- Проявляют готовность спокойно проверять гипотезу и исправлять ошибку без страха перед сложным заданием.
- Формируют ответственное отношение к индивидуальному результату и результату совместной работы в паре.
- Понимают значение точности математического языка при доказательстве свойств функции.
Метапредметные
- Извлекают информацию из формулы, таблицы значений и графика, сопоставляют разные способы представления функции.
- Планируют решение по алгоритму, выполняют самопроверку и корректируют рассуждение при обнаружении ошибки.
- Формулируют вывод, используют математические термины и аргументируют собственную позицию.
- Работают с интерактивной доской или цифровой демонстрацией графиков, соблюдая инструкцию.
Предметные
- Знать определения чётной и нечётной функции.
- Уметь проверять симметричность области определения относительно нуля.
- Уметь вычислять f(-x), сравнивать её с f(x) и -f(x), делать обоснованный вывод.
- Уметь распознавать чётность и нечётность функции по графику и приводить примеры функций общего вида.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель: научиться быстро распознавать тип функции и уверенно объяснять ответ.
- Осознают связь точности вычислений с успешным выполнением экзаменационного задания.
- Проявляют учебную самостоятельность при выборе способа проверки результата.
- Оценивают собственный прогресс и фиксируют затруднение без отказа от работы.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют учебную цель, сформулированную на основе проблемного примера.
- Планируют последовательность проверки функции на чётность или нечётность.
- Сверяют решение с алгоритмом и эталоном, находят и исправляют ошибку.
- Оценивают степень освоения материала с помощью листа самооценки и выхода-тикета.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки чётной и нечётной функции.
- Преобразуют формулу f(x) в формулу f(-x), сравнивают полученные выражения.
- Моделируют свойства функции с помощью таблицы значений и графика.
- Классифицируют функции по результатам анализа и строят логическое доказательство.
Коммуникативные УУД
- Распределяют действия в паре: один ученик выполняет преобразования, другой контролирует область определения.
- Задают уточняющие вопросы о знаках и последовательности рассуждений.
- Представляют общий вывод пары и реагируют на альтернативные решения.
- Используют математическую речь для аргументации и корректного исправления ошибки партнёра.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с графиками функций $y=x^2$, $y=x^3$, $y=x+1$ и координатными осями.
- Вывести на экран проблемный вопрос: «Как по формуле доказать симметрию графика относительно оси $Oy$ или начала координат?»
- Распечатать карточки для парной работы трёх уровней — по одной карточке на пару, всего на количество пар в классе.
- Подготовить индивидуальные листы самостоятельной работы с тремя функциями и листы с эталоном для самопроверки.
- Распечатать мини-лист самооценки и выход-тикет — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить стикеры двух цветов для фиксации гипотез и затруднений.
- Разместить на доске памятку: «1. Область определения; 2. Найти $f(-x)$; 3. Сравнить с $f(x)$ и $-f(x)$; 4. Сделать вывод».
- Подготовить компьютер, проектор или интерактивную доску; проверить отображение формул и графиков.
- Подготовить таймер на 2–3 минуты для парной и индивидуальной работы.
- Заранее отметить межпредметную связь с информатикой: график функции как визуализация данных, симметрия как способ анализа изображения.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность, связать тему с практикой и форматом ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и листа для работы. Сегодня мы будем не просто строить графики, а учиться быстро видеть важное свойство функции. Это умение встречается в заданиях, похожих на задания ОГЭ, поэтому наша задача — разобраться в алгоритме и снизить количество случайных ошибок." | Проверяют готовность, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на экране три графика и говорит: "Посмотрите на изображения. Первый график симметричен относительно оси $Oy$, второй — относительно начала координат, а третий такой симметрии не имеет. Как одним математическим способом описать эти различия? Запишите первую гипотезу на стикере." | Рассматривают графики, записывают гипотезы: «нужно сравнить значения слева и справа», «надо заменить $x$ на $-x$». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что график может обладать разной симметрией. Теперь проверим, какие знания о функциях помогут нам описать это свойство строго, а не только по рисунку."
Этап 2. Актуализация знаний. Приём «Подумай — обсуди в паре — поделись» (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия функции, области определения и значения функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: "Вспомним основу. Что называют функцией? Что обозначает запись $f(x)$? Почему при проверке чётности нам важно знать область определения? Сначала подумайте самостоятельно, затем обсудите ответы с соседом." | Индивидуально записывают определения, затем обсуждают их в паре. Формулируют: «функция каждому допустимому значению $x$ ставит в соответствие единственное значение $y$». |
2 мин | Учитель выводит таблицу значений для $f(x)=x^2$: $x=-2,-1,0,1,2$; $f(x)=4,1,0,1,4$. Спрашивает: "Какие пары значений совпадают? Что можно заметить о точках графика с противоположными абсциссами?" | Сравнивают пары $f(-2)$ и $f(2)$, $f(-1)$ и $f(1)$, отвечают: «значения совпадают». |
1 мин | Учитель уточняет: "А всегда ли совпадение нескольких значений доказывает свойство всей функции? Что нужно сделать для строгого вывода?" | Отвечают: «нужно выполнить преобразование для произвольного $x$ и проверить область определения». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что отдельные значения помогают выдвинуть гипотезу, но доказательство строится для произвольного аргумента. Теперь найдём точную формулировку свойства и алгоритм его проверки."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает две функции: $f(x)=x^2$ и $g(x)=x^2+1$, затем спрашивает: "Обе формулы похожи. Можно ли сразу сказать, что их графики обладают одним и тем же свойством? Какие вычисления нужно выполнить?" | Предполагают: «нужно найти $f(-x)$ и $g(-x)$», «нужно сравнить результат с исходной формулой». |
2 мин | Учитель фиксирует на доске ответы и говорит: "Сформулируйте цель урока одним предложением. Какие действия помогут определить, является ли функция чётной, нечётной или не относится ни к одному виду?" | Формулируют цель: «научиться исследовать функцию на чётность и нечётность по формуле и графику». Записывают цель в тетрадь. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема определена: нам нужен универсальный алгоритм, который будет работать не только для одного графика. Перейдём к открытию этого алгоритма."
Этап 4. Открытие нового знания и межпредметная связь с информатикой (9 мин)
Цель этапа: сформировать определения чётной и нечётной функции и связать их с симметрией графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске: "Функция называется чётной, если область её определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется $f(-x)=f(x)$. График чётной функции симметричен относительно оси $Oy$." Затем разбирает $f(x)=x^2$: "Найдём $f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$. Следовательно, функция чётная." | Записывают определение и вычисление в тетрадь, проговаривают: «область определения симметрична, значения при противоположных аргументах равны». |
3 мин | Учитель продолжает: "Функция называется нечётной, если область её определения симметрична относительно нуля и выполняется $f(-x)=-f(x)$. График нечётной функции симметричен относительно начала координат. Проверим $g(x)=x^3$: $g(-x)=(-x)^3=-x^3=-g(x)$." | Записывают определение, проверяют равенство для $g(x)=x^3$, формулируют вывод: «функция нечётная». |
3 мин | Учитель устанавливает межпредметную связь: "В информатике график можно рассматривать как визуализацию набора данных. Если при смене знака аргумента данные сохраняются, это отражается симметрией относительно оси; если меняется знак значения, возникает симметрия относительно начала координат. Проверим это на экране для трёх функций." | Сопоставляют формулы и графики, отмечают в таблице: $x^2$ — чётная, $x^3$ — нечётная, $x+1$ — общего вида. |
Запись в тетрадях
1. Чётная функция: область определения симметрична относительно нуля, $f(-x)=f(x)$. График симметричен относительно оси $Oy$. 2. Нечётная функция: область определения симметрична относительно нуля, $f(-x)=-f(x)$. График симметричен относительно начала координат. 3. Алгоритм: проверить область определения; найти $f(-x)$; сравнить с $f(x)$ и $-f(x)$; сформулировать вывод.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть определения, геометрический смысл и алгоритм. Следующий шаг — применить его вместе, чтобы не потерять ни одного условия."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: научить применять алгоритм исследования функции на чётность и нечётность с проговариванием каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку и объясняет: "В паре один ученик выполняет преобразования, второй проверяет область определения и задаёт контрольные вопросы по алгоритму. Через три минуты поменяйтесь ролями. На карточке нужно не только написать ответ, но и привести доказательство." | Распределяют роли, читают условие карточки. |
3 мин | Учитель предлагает базовое задание: "Исследуйте на чётность функцию $f(x)=3x^4-2x^2+5$. Запишите область определения, найдите $f(-x)$ и сравните выражения." Повышающим парам предлагает $g(x)=x^5-4x^3$. | Выполняют преобразования, обсуждают: $f(-x)=3(-x)^4-2(-x)^2+5=3x^4-2x^2+5=f(x)$; $g(-x)=-x^5+4x^3=-g(x)$. |
3 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками с соседней парой. Проверьте три позиции: область определения, вычисление $f(-x)$, итоговый вывод. Поставьте две отметки: «верно» или укажите конкретное место ошибки." | Проверяют карточку соседней пары, формулируют замечание: «пропущена проверка области определения» или «знак при нечётной степени изменён неверно». |
Эталон решения
Для $f(x)=3x^4-2x^2+5$: область определения — все действительные числа, она симметрична относительно нуля. $f(-x)=3(-x)^4-2(-x)^2+5=3x^4-2x^2+5=f(x)$. Следовательно, функция чётная. Для $g(x)=x^5-4x^3$: $g(-x)=(-x)^5-4(-x)^3=-x^5+4x^3=-(x^5-4x^3)=-g(x)$, поэтому функция нечётная.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы применили алгоритм к многочленам и увидели, что чётность степеней помогает предсказать результат, но доказательство всё равно нужно записать. Теперь каждый проверит себя самостоятельно в формате, близком к экзаменационному."
Этап 6. Физкультминутка и смена позы (2 мин)
Цель этапа: снять напряжение, сохранить работоспособность и закрепить математические признаки через движение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: "Встаньте рядом с партой. Если я называю чётную функцию, поднимите обе руки симметрично; если нечётную — вытяните левую и правую руки в противоположные стороны; если общего вида — сделайте шаг на месте. $x^2$, $x^3$, $x+1$, $x^4-2x^2$, $2x^3+x$." | Выполняют движения и одновременно называют: «чётная», «нечётная», «общего вида», возвращаются к рабочему месту. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы освежили внимание и ещё раз связали три вида ответа с их признаками. Садимся и переходим к индивидуальной проверке."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом и сформировать навык самоконтроля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт три варианта карточек: "Выполните задания самостоятельно. Для функции $f(x)=2x^6-x^2+1$ определите вид и запишите доказательство. Для функции $g(x)=x^4+x$ укажите, почему она не является чётной или нечётной. Для функции $h(x)=\frac{1}{x}$ проверьте нечётность с учётом области определения." | Решают индивидуально, записывают область определения и вычисление значения при $-x$. Формулируют выводы. |
3 мин | Учитель выводит эталон: "Проверьте не только итоговый ответ, но и обязательные элементы решения. Если нашли ошибку, зачеркните неверный фрагмент одной чертой и рядом запишите исправление." | Сверяют решение с эталоном, отмечают количество верных пунктов, исправляют ошибки. |
Эталон решения
Для $f(x)=2x^6-x^2+1$: $f(-x)=2(-x)^6-(-x)^2+1=2x^6-x^2+1=f(x)$, функция чётная. Для $g(x)=x^4+x$: $g(-x)=x^4-x$, это не равно ни $g(x)=x^4+x$, ни $-g(x)=-x^4-x$, поэтому функция общего вида. Для $h(x)=\frac{1}{x}$ область определения $x\ne0$ симметрична относительно нуля; $h(-x)=\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}=-h(x)$, функция нечётная.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что главный источник ошибок — пропуск области определения или неверное раскрытие степени с отрицательным основанием. В завершение проверим, как вы сами оцениваете результат и можете ли объяснить алгоритм без подсказки."
Этап 8. Рефлексия, выход-тикет и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осмыслить освоенный способ действия, выявить затруднения и определить дальнейшую работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт лист самооценки и говорит: "Отметьте уровень по трём утверждениям: я могу проверить область определения; я могу найти $f(-x)$; я могу обосновать итоговый вывод. Зелёный цвет означает «могу самостоятельно», жёлтый — «нужна тренировка», красный — «нужна помощь»." | Заполняют лист самооценки, отмечают конкретное затруднение. |
2 мин | Учитель предлагает выход-тикет: "Перед выходом ответьте письменно на вопрос: определите вид функции $p(x)=x^3-2x$ и объясните ответ двумя равенствами или одним развёрнутым вычислением." | Решают: $p(-x)=-x^3+2x=-(x^3-2x)=-p(x)$; функция нечётная. |
2 мин | Учитель объявляет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень, а затем при желании добавьте повышающий или дополнительный. Важно записывать не только ответ, но и проверку области определения и сравнение с $f(x)$ или $-f(x)$." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, формулируют личный шаг для закрепления. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились отличать чётные и нечётные функции не по внешнему впечатлению, а с помощью строгого алгоритма. Этот алгоритм пригодится при анализе графиков и выполнении экзаменационных заданий. На следующем уроке мы продолжим исследовать свойства функций и будем связывать несколько свойств в единую характеристику."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания самостоятельной работы, корректно проверена область определения, без ошибок найдены $f(-x)$ и сделан обоснованный вывод для каждой функции.
- «4» — верно выполнены не менее двух заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не нарушающая общего понимания алгоритма.
- «3» — правильно определён вид хотя бы двух функций при наличии неполного доказательства или одной существенной ошибки в преобразовании.
- Ниже базового уровня — ответ не содержит проверки области определения и сравнения $f(-x)$ с $f(x)$ или $-f(x); работа требует повторного выполнения по памятке.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о чётной и нечётной функции? | Выявление осознания определений и геометрического смысла свойства. |
Какой шаг алгоритма оказался самым сложным? | Выявление точек затруднения: область определения, преобразование или сравнение выражений. |
Как вы объясните различие условий $f(-x)=f(x)$ и $f(-x)=-f(x)$? | Проверка понимания, а не механического запоминания формул. |
Насколько уверенно вы выполните подобное задание на ОГЭ? Что нужно повторить? | Субъективная оценка готовности и планирование индивидуальной коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились исследовать функцию на чётность и нечётность по точному алгоритму. Помните: нельзя ограничиваться видом формулы или несколькими точками графика — нужно проверить область определения и вычислить $f(-x)$. Ошибки со знаками при нечётных степенях особенно часто встречаются в экзаменационных заданиях, поэтому всегда выполняйте преобразование последовательно. На следующем уроке мы продолжим исследование свойств функций и научимся использовать несколько характеристик одновременно."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на определение чётности или нечётности многочленов и дробно-рациональных функций: для каждой функции записать область определения, найти $f(-x)$ и сделать вывод. | Закрепляет основной алгоритм; при проверке обратить внимание на область определения и корректность знаков. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3 задания по графикам и формулам: определить вид функции, объяснить симметрию графика и составить таблицу значений для двух противоположных аргументов. | Развивает умение связывать формулу, таблицу и графическое представление функции. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить два собственных примера: одну чётную и одну нечётную функцию, а затем доказать выбранное свойство. Дополнительно привести пример функции общего вида и объяснить, почему она не является ни чётной, ни нечётной. | Развивает создание математической модели и умение строить полное доказательство. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какое равенство характеризует чётную функцию? Какое равенство характеризует нечётную функцию? Почему необходимо проверять симметричность области определения? Как по графику распознать чётность и нечётность?»
