Биквадратное уравнение: сведение к квадратному
Цели и задачи
- Цель: к концу урока ученики смогут распознавать биквадратные уравнения, сводить их заменой $t=x^2$ к квадратным и решать с проверкой всех допустимых значений $x$ не менее чем в трёх заданиях из четырёх.
- Образовательная задача: сформулировать вид биквадратного уравнения и освоить алгоритм его решения через замену переменной.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать структуру уравнения, выбирать способ решения, проверять корни и находить ошибки в рассуждениях.
- Коммуникативная задача: аргументированно объяснять ход решения партнёру, задавать уточняющие вопросы и согласовывать общий ответ.
- Воспитательная задача: формировать уверенность при решении экзаменационных заданий и ответственное отношение к самопроверке.
Планируемые результаты
Личностные
- Ученик осознаёт, что пошаговый алгоритм помогает справляться с незнакомой на вид задачей и снижает тревожность перед заданиями ОГЭ.
- Проявляет готовность проверить решение, а не ограничиваться первым найденным ответом.
- Принимает ответственность за собственный вклад в парную работу и уважительно относится к иному способу рассуждения.
- Видит практическую ценность алгебраических моделей для расчётов в технических и экономических задачах.
Метапредметные
- Извлекает из записи уравнения информацию о его структуре и отличает биквадратное уравнение от произвольного уравнения четвёртой степени.
- Планирует решение по алгоритму, фиксирует промежуточную замену и возвращается от $t$ к $x$.
- Сопоставляет полученные значения с исходным уравнением и выявляет посторонние или потерянные корни.
- Устно объясняет решение партнёру, использует математические обозначения и аргументирует вывод.
- Оценивает результат по заданным критериям и определяет шаг, который требует дополнительной тренировки.
Предметные
- Знать стандартный вид биквадратного уравнения $ax^4+bx^2+c=0$, где $a\ne0$.
- Уметь выполнять замену $t=x^2$ и получать квадратное уравнение относительно $t$.
- Уметь решать полученное квадратное уравнение и учитывать условие $t\ge0$ при возвращении к переменной $x$.
- Уметь находить все действительные корни исходного уравнения и проверять ответ подстановкой.
- Уметь распознавать типичные ошибки: потерю отрицательного корня при $x^2=t$ и включение отрицательного значения $t$.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят учебную задачу с личной целью уверенно решать алгебраические задания формата ОГЭ.
- Осознают, что ошибка в одном шаге — повод уточнить алгоритм, а не основание отказываться от решения.
- Проявляют настойчивость при проверке нескольких возможных значений переменной.
- Соблюдают нормы доброжелательной обратной связи при парной проверке.
Регулятивные УУД
- Совместно формулируют цель урока после выявления затруднения в уравнении четвёртой степени.
- Планируют решение: замена, решение квадратного уравнения, отбор $t\ge0$, возврат к $x$, проверка.
- Сверяют ход решения с памяткой и эталоном, отмечая пропущенные шаги.
- Корректируют решение после обнаружения неверно отобранного значения или неполного набора корней.
Познавательные УУД
- Анализируют степени переменной и выделяют повторяющееся выражение $x^2$.
- Моделируют уравнение заменой переменной, сохраняя связь $t=x^2$.
- Применяют формулы решения квадратного уравнения и логические ограничения на значение $t$.
- Сравнивают решения с разными коэффициентами и объясняют, почему в ответе могут появиться пары противоположных корней.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: один предлагает шаг решения, другой проверяет обоснование и вычисления.
- Формулируют математически точные вопросы: «Почему это значение $t$ не подходит?» и «Какие значения $x$ соответствуют положительному $t$?».
- Объясняют партнёру переход от $t$ к $x$ и выслушивают альтернативное обоснование.
- Представляют общий ответ классу, аргументируя полный набор корней.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске: вид $ax^4+bx^2+c=0$, памятка из пяти шагов и напоминание $t=x^2\Rightarrow t\ge0$.
- Распечатать карточки для парной работы с двумя уравнениями — по одной карточке на пару, ориентировочно 15 карточек на класс из 30 учеников.
- Распечатать индивидуальную карточку с двумя заданиями трёх уровней сложности — по одной на каждого ученика.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «выполнил замену», «отобрал $t\ge0$», «вернулся к $x$», «проверил корни» — по одному на ученика.
- Подготовить цветные карточки или сигналы зелёный, жёлтый, красный — по одному комплекту на ученика либо предусмотреть жесты рукой.
- Вывести на экран условие прикладной задачи о расчёте площади квадратной детали и пояснение связи площади квадрата со стороной: $S=x^2$.
- Подготовить маркеры для доски и таймер; отдельное оборудование для эксперимента не требуется.
- На доске заранее оставить место для темы, алгоритма решения, эталона и ответов учеников.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс и заинтересовать учеников задачей, связанной с экзаменационной практикой и реальным расчётом.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, что на парте есть тетрадь, ручка и черновик. Сегодня мы будем разбирать тип уравнений, который внешне выглядит сложнее квадратного, но решается знакомым способом. В конце урока вы сможете проверить себя по короткому алгоритму и понять, какой шаг требует внимания». | Готовят тетради и ручки, записывают дату; настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на экране условие: «Сторона квадратной детали равна $x$, а её площадь входит в расчёт по формуле $S=x^2$. В инженерных расчётах иногда получают уравнение, где встречаются и $x^4$, и $x^2$. Как думаете, можно ли использовать знакомый способ решения квадратного уравнения?» Учитель добавляет: «Похожая структура встречается в заданиях на преобразование и решение уравнений. Не нужно угадывать ответ — будем последовательно искать знакомую часть». | Читают условие, предполагают: «Можно заменить $x^2$ новой переменной»; называют, что квадратное уравнение решать уже умеют. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы заметили повторяющееся выражение $x^2$. Сначала вспомним, как решается квадратное уравнение, а затем выясним, как этот навык поможет нам».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать решение квадратного уравнения и свойства квадратов, необходимые для отбора корней.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Решите устно уравнение $t^2-5t+4=0$. Какие способы вы можете использовать? Назовите корни и объясните, как убедиться, что оба найдены». Учитель фиксирует на доске разложение на множители и просит не забывать обозначение переменной $t$. | Решают: $(t-1)(t-4)=0$, отвечают: «$t=1$ и $t=4$»; называют проверку подстановкой или произведением множителей. |
2 мин | «Теперь вспомним свойство квадрата. Может ли квадрат действительного числа быть отрицательным? Если $x^2=9$, сколько значений $x$ подходят? Запишите оба значения и объясните, почему нельзя оставить только положительное». | Отвечают: «Квадрат неотрицателен»; записывают $x=3$ и $x=-3$, поясняют, что оба числа при возведении в квадрат дают 9. |
2 мин | Приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «За полминуты самостоятельно ответьте: если обозначить $x^2$ буквой $t$, какое ограничение появится для $t$? Обсудите ответ с соседом минуту; затем несколько пар назовут формулировку». Учитель записывает общий вывод на доске. | Сначала обдумывают ответ, затем обсуждают в паре; формулируют: «Так как $t=x^2$, то $t\ge0$»; записывают вывод в черновик. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили решение квадратного уравнения и установили важное ограничение $t\ge0$. Теперь посмотрим, что именно затрудняет решение уравнения с четвёртой степенью».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при решении уравнения четвёртой степени и совместно определить план выхода из него.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске $x^4-5x^2+4=0$ и спрашивает: «Перед нами не обычное квадратное уравнение относительно $x$: старшая степень равна четырём. Что мешает сразу применить привычный алгоритм? Какие части записи повторяются?» Учитель принимает гипотезы и уточняет: «Можно ли представить $x^4$ как квадрат выражения $x^2$?» | Анализируют запись; отвечают: «Есть $x^2$ и $(x^2)^2$»; затруднение формулируют так: «Не умеем напрямую решать уравнение четвёртой степени». |
2 мин | «Сформулируйте цель урока и предложите порядок действий. Какую букву введём для повторяющегося выражения? Что обязательно проверим, когда решим новое уравнение?» Учитель помогает собрать план на доске: замена, решение, отбор неотрицательных значений, возврат к $x$, проверка. | Предлагают цель: «Научиться решать такие уравнения заменой»; называют шаги алгоритма и отмечают необходимость не потерять отрицательные корни по $x$. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы определили затруднение: неизвестна прямая процедура для четвёртой степени. Проверим гипотезу о замене и вместе построим полный алгоритм».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм решения биквадратного уравнения через замену $t=x^2$ и разобрать полный пример.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель преобразует запись на доске: «Положим $t=x^2$. Тогда $x^4=(x^2)^2=t^2$, а исходное уравнение становится $t^2-5t+4=0$. Это обычное квадратное уравнение. Решите его знакомым способом и не забывайте, что $t$ обозначает квадрат действительного числа». | Записывают замену $t=x^2$, преобразуют уравнение, получают $(t-1)(t-4)=0$ и значения $t=1$, $t=4$. |
3 мин | «Теперь вернёмся к исходной переменной. Если $t=1$, то $x^2=1$; если $t=4$, то $x^2=4$. Сколько решений даёт каждое равенство? Запишите все значения и объясните, почему для каждого положительного $t$ получаются два противоположных числа». Учитель подчёркивает связь замены с исходной переменной. | Записывают $x=\pm1$ и $x=\pm2$, объясняют: «Положительное значение квадрата имеет два действительных квадратных корня». |
2 мин | Учитель записывает памятку: «1. Сделать замену $t=x^2$. 2. Решить квадратное уравнение. 3. Оставить только $t\ge0$. 4. Решить уравнения $x^2=t$. 5. Проверить корни». «Посмотрите на второй шаг возврата: если получилось $t<0$, действительных $x$ нет. Если $t=0$, будет только один корень $x=0$». | Переносят алгоритм в тетрадь, подчёркивают условие $t\ge0$ и задают уточняющие вопросы. |
2 мин | «Проверим крайний случай. Если квадратное уравнение дало $t=-2$, можно ли извлечь действительный $x$ из $x^2=-2$? А если $t=0$? Сформулируйте правило отбора до перехода к $x$». Учитель связывает вывод с записью памятки. | Отвечают: «При $t=-2$ действительных решений нет; при $t=0$ получаем $x=0$». Дополняют алгоритм словами об отборе неотрицательных $t$. |
Эталон решения
Решить $x^4-5x^2+4=0$. Введём $t=x^2$, тогда $t\ge0$ и $t^2-5t+4=0$. Разложим: $(t-1)(t-4)=0$, поэтому $t=1$ или $t=4$; оба значения допустимы. Возвращаемся к $x$: при $x^2=1$ получаем $x=\pm1$, при $x^2=4$ получаем $x=\pm2$. Ответ: $-2,-1,1,2$. Подстановка любого из этих чисел в исходное уравнение даёт ноль.
Запись в тетрадях: ученики фиксируют вид $ax^4+bx^2+c=0$, условие $a\ne0$, алгоритм решения и эталонный пример.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы свели уравнение четвёртой степени к квадратному и получили четыре корня. Особенно важно не спутать значения $t$ со значениями $x$. Теперь применим алгоритм вдвоём и проверим каждый переход».
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм решения и взаимную проверку всех переходов в парной работе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки на пару и объясняет роли: «Первый ученик выполняет замену и решает уравнение относительно $t$, второй следит за ограничением $t\ge0$ и возвратом к $x$. Через три минуты поменяетесь ролями на втором примере. Каждое решение должно содержать замену и ответ». | Получают карточку; распределяют роли; записывают фамилии обоих участников. |
3 мин | «Задание первое: решите $x^4-13x^2+36=0$. Я включаю таймер на три минуты. Не переписывайте только ответ: обозначьте замену, решите квадратное уравнение и перечислите корни по $x$». Учитель наблюдает за работой пар, задаёт вопрос: «Какие значения $t$ допустимы?» | Решают в паре: получают $t^2-13t+36=0$, значения $t=4$ и $t=9$, затем корни $x=\pm2$, $x=\pm3$; проверяют, что оба значения $t$ неотрицательны. |
3 мин | «Поменяйтесь ролями. Второе задание: решите $x^4-4x^2=0$. Обратите внимание: свободный член равен нулю. Обсудите, почему значение $t=0$ нельзя отбросить и сколько корней оно даёт». Учитель просит одну пару объяснить ход решения, а другую — проверить полноту ответа. | Решают $t^2-4t=0$, получают $t=0$ или $t=4$; находят $x=0$ и $x=\pm2$; объясняют, что нулевое значение даёт один корень. |
Эталон решения
Для $x^4-13x^2+36=0$: $t=x^2$, $t^2-13t+36=0$, $(t-4)(t-9)=0$, откуда $t=4$ или $t=9$. Следовательно, $x=\pm2$ или $x=\pm3$. Ответ: $-3,-2,2,3$. Для $x^4-4x^2=0$: $t^2-4t=0$, $t(t-4)=0$, значит $t=0$ или $t=4$. Тогда $x=0$ либо $x=\pm2$. Ответ: $-2,0,2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы увидели, что нулевое значение новой переменной тоже нужно учитывать, а оно даёт один корень. Теперь каждый проверит свой способ самостоятельно и определит, насколько уверенно владеет алгоритмом».
Этап 6. Самостоятельная работа и самопроверка (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом и предоставить ученикам возможность исправить ошибки по эталону.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки и показывает критерии: «Базовое задание выполняют все. Если закончили и проверили ответ, переходите к повышенному. За оформление ставится отдельный плюс: должны быть видны замена, отбор $t$ и ответ по $x$». | Получают карточки, читают задания и критерии; выбирают порядок выполнения. |
4 мин | «Самостоятельно решите $x^4-10x^2+9=0$. Затем, если готовы, выполните дополнительное уравнение $x^4+x^2-2=0$. Работайте без подсказки соседа; если сомневаетесь, поставьте знак вопроса возле шага, к которому нужно вернуться». Учитель наблюдает и отмечает типичные затруднения. | Решают первое уравнение; желающие решают второе. В первом получают $t=1,9$ и $x=\pm1,\pm3$; во втором получают $t=1,-2$, отбрасывают $-2$ и находят $x=\pm1$. |
3 мин | Учитель выводит эталон: «Сверьте не только ответы, но и каждый шаг. Подчеркните место, где у вас совпало решение, и исправьте расхождение другим цветом. Если в дополнительном задании получили $t=-2$, вспомните: $t=x^2$ не может быть отрицательным». | Сверяют записи с эталоном, исправляют ошибки и ставят отметку в листе самооценки напротив выполненных шагов. |
Эталон решения
Для $x^4-10x^2+9=0$: положим $t=x^2$, тогда $t^2-10t+9=0$, $(t-1)(t-9)=0$, откуда $t=1$ или $t=9$. Следовательно, $x=\pm1$ или $x=\pm3$. Ответ: $-3,-1,1,3$. Для дополнительного уравнения $x^4+x^2-2=0$: $t^2+t-2=0$, $(t+2)(t-1)=0$, поэтому $t=-2$ или $t=1$. Так как $t\ge0$, значение $-2$ не подходит; из $x^2=1$ получаем $x=\pm1$. Ответ: $-1,1$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Большинство ошибок сегодня связано не с квадратным уравнением, а с переходом между $t$ и $x$. Мы потренировали этот переход. Теперь оценим, где алгоритм может пригодиться за пределами алгебры и экзаменационного задания».
Этап 7. Межпредметное применение и анализ ошибки (4 мин)
Цель этапа: связать замену $x^2$ с прикладным моделированием и научиться находить ошибку в решении.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает условие: «В техническом расчёте величина площади квадратной детали обозначена $S=x^2$, где $x$ — длина стороны. После объединения зависимостей для безразмерной величины $S$ получено уравнение $S^2-5S+4=0$. Найдите допустимые значения $S$ и соответствующие длины стороны $x$». Учитель поясняет межпредметную связь с геометрией и техническим моделированием: площадь не может быть отрицательной. | Решают $S^2-5S+4=0$, находят $S=1$ или $S=4$; затем из $x^2=S$ получают возможные положительные длины $x=1$ или $x=2$, отмечая, что длина стороны положительна. |
2 мин | «На доске ошибочное решение: $x^4-5x^2+4=0$; $t=x^2$; $t=1$ или $t=4$; ответ $x=1,4$. Найдите две ошибки и объясните их соседу. Какая ошибка связана с возвращением к переменной, а какая — с прикладным смыслом длины?» | Указывают: «Числа 1 и 4 — значения $t$, а не $x$; из $x^2=1$ и $x^2=4$ следует $x=\pm1,\pm2$». Для длины выбирают положительные значения $1$ и $2$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «В алгебре учитываем все действительные корни, а в задаче о длине выбираем положительные значения по смыслу. Завершим урок самооценкой и коротким билетом на выход».
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осмыслить освоение алгоритма, выявить оставшиеся затруднения и зафиксировать домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель просит заполнить билет на выход: «За одну минуту письменно ответьте: какой шаг нельзя пропустить при замене $t=x^2$? Запишите один пример типичной ошибки и исправьте её». Затем предлагает сигнал «Светофор»: «Зелёный — могу решить сам, жёлтый — нужен ещё пример, красный — пока путаюсь при возврате к $x$». | Пишут индивидуальный ответ, сдают билет; показывают сигнал уверенности и отмечают в листе самооценки, какой шаг освоен лучше всего. |
1 мин | «Запишите домашнее задание по выбранному уровню. Базовый уровень обязателен для всех; повышенный и дополнительный помогут подготовиться к заданиям, где нужно не только решить, но и объяснить выбор корней. На следующем уроке разберём более сложные уравнения и типичные экзаменационные формулировки». | Записывают выбранный уровень и домашние задания; задают уточняющие вопросы по формату выполнения. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно решены оба задания парной работы либо индивидуальное базовое и повышенное задания; верно выполнена замена, учтено условие $t\ge0$, указаны все корни $x$ и проведена проверка.
- «4» — правильно решено базовое уравнение и в основном верно выполнен алгоритм; допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не приводящая к потере ключевого шага.
- «3» — ученик распознаёт замену $t=x^2$ и получает квадратное уравнение, но допускает ошибку при отборе $t$ или возвращении к $x$; после сверки с эталоном исправляет решение.
- Формирующая обратная связь: отдельная отметка или комментарий за аргументированное объяснение партнёру и корректное обнаружение ошибки в прикладном примере.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое выражение мы обозначали буквой $t$ и почему для него обязательно $t\ge0$? | Проверить осознание смысла замены и ограничения, связанного с квадратом действительного числа. |
На каком шаге решения вы чаще всего сомневались: при решении уравнения относительно $t$ или при возвращении к $x$? | Выявить конкретную точку затруднения для планирования следующего объяснения. |
Как изменится ответ, если допустимое значение $t$ равно нулю? | Проверить понимание числа корней уравнения $x^2=t$ в особом случае. |
Насколько уверенно вы сможете решить такое задание самостоятельно: уверенно, с памяткой или пока нужна помощь? | Получить самооценку освоения темы и снизить тревожность через конкретизацию следующего шага. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились превращать биквадратное уравнение в квадратное с помощью замены $t=x^2$. Запомните две проверки: значение $t$ не может быть отрицательным, а положительное значение $t$ обычно даёт два значения $x$. Частая ошибка — принять корни уравнения относительно $t$ за готовый ответ исходного уравнения. Если вы увидели эту ошибку и смогли её исправить, значит, алгоритм уже работает. На следующем уроке потренируемся распознавать структуру уравнений в более разнообразных заданиях, в том числе экзаменационного формата».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 биквадратных уравнения вида $ax^4+bx^2+c=0$: два с двумя положительными значениями $t$, одно с нулевым значением $t$ и одно, где среди корней уравнения для $t$ есть отрицательное значение; в каждом показать замену и полный ответ по $x$. | Закрепить все основные шаги алгоритма; при проверке смотреть на ограничение $t\ge0$ и полноту набора корней. |
Средний (повышающий) | Решить 3 уравнения, в том числе одно с неполным квадратным уравнением после замены, и к каждому записать краткое объяснение отбора значений $t$. | Развить самостоятельный выбор способа решения и умение обосновывать, почему некоторые значения новой переменной не дают действительных корней. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственное биквадратное уравнение с четырьмя различными действительными корнями, решить его и проверить, что найденный ответ соответствует условию; дополнительно придумать пример с ровно тремя действительными корнями. | Развить умение конструировать уравнения и исследовать связь между корнями уравнения для $t$ и количеством корней исходного уравнения. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какую замену выполняют в биквадратном уравнении? Почему $t$ не может быть отрицательным? Сколько значений $x$ соответствует $t=4$ и сколько — $t=0$? Как проверить, что ответ относится к исходному уравнению?»
