Арифметическая прогрессия: обобщённые алгоритмы решения задач
Цели и задачи
- Цель урока: к концу урока научиться распознавать арифметическую прогрессию и выбирать обобщённый алгоритм решения задач на нахождение члена прогрессии, разности и суммы первых членов, выполнив не менее трёх из четырёх тренировочных заданий без существенных ошибок.
- Закрепить определения арифметической прогрессии, разности прогрессии и формулы n-го члена и суммы первых n членов.
- Сформировать умение анализировать условие задачи, выделять известные величины и выбирать подходящую формулу.
- Развивать навыки самоконтроля, аргументации выбора алгоритма и проверки полученного ответа.
- Показать связь темы с заданиями ОГЭ и снизить тревожность через пошаговое решение типовых задач.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность алгоритмического подхода при решении математических задач и заданий ОГЭ.
- Проявляют уверенность при пошаговом решении задачи и воспринимают ошибку как источник коррекции способа действия.
- Формируют ответственное отношение к подготовке к государственной итоговой аттестации.
- Оценивают собственный прогресс по теме и определяют шаг для дальнейшей работы.
Метапредметные
- Извлекают из условия задачи известные и неизвестные величины, представляют данные в виде краткой записи или таблицы.
- Выбирают способ решения на основе анализа условия, составляют последовательность действий и проверяют результат.
- Аргументируют выбор формулы в парной и фронтальной работе, корректно задают уточняющие вопросы.
- Используют математическую символику и электронную презентацию для фиксации алгоритма.
Предметные
- Знать определения арифметической прогрессии и её разности, формулы $a_n=a_1+(n-1)d$ и $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$.
- Уметь находить неизвестный член арифметической прогрессии, её разность и сумму первых членов.
- Уметь распознавать арифметическую прогрессию по условию и проверять равенство соседних разностей.
- Владеть обобщёнными алгоритмами решения задач на арифметическую прогрессию и применять их в заданиях, близких к формату ОГЭ.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осмысливают значение точной записи условия для успешного решения экзаменационной задачи.
- Проявляют готовность самостоятельно выбирать уровень сложности тренировочного задания.
- Формируют внутреннюю позицию ученика, ответственно готовящегося к ОГЭ.
- Оценивают эмоциональное состояние и используют алгоритм как средство снижения неопределённости.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель работы с задачей и планируют последовательность решения.
- Сверяют промежуточные результаты с алгоритмом и эталоном.
- Обнаруживают ошибку в выборе формулы или вычислениях и корректируют решение.
- Оценивают результат по предложенным критериям и фиксируют индивидуальное затруднение.
Познавательные УУД
- Сравнивают условия задач на член, разность и сумму арифметической прогрессии.
- Выделяют существенные данные, моделируют условие с помощью буквенных обозначений.
- Устанавливают связь между формулами $a_n=a_1+(n-1)d$ и $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$.
- Обобщают частные способы решения в единый алгоритм.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают в парах ход решения и формулируют объяснение выбора формулы.
- Слушают партнёра, задают уточняющие вопросы и корректно предлагают исправления.
- Представляют решение у доски с проговариванием каждого шага.
- Согласуют общий вариант алгоритма и используют математически точную речь.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с проблемной задачей, формулами, тремя типами заданий и эталонами решений.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Распечатать лист алгоритмов «Член — разность — сумма» по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить мини-карточки для приёма «Светофор»: зелёные, жёлтые и красные — по одной на ученика.
- Вывести на доску или слайд таблицу обозначений: $a_1$, $a_n$, $d$, $n$, $S_n$.
- Подготовить маркеры, стикеры и лист А3 для групповой фиксации общего алгоритма.
- Подготовить таймер для этапов парной работы и самостоятельного выполнения.
- Оборудование: компьютер, проектор или интерактивная доска, доска и раздаточный материал с заданиями, близкими к формату ОГЭ.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность, показать практическую значимость темы и связать её с форматом ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: "Здравствуйте, ребята. Сегодня нам понадобится не только знание формул, но и умение быстро понять, какая формула нужна именно в этой задаче. На партах должны быть тетрадь, ручка, лист алгоритмов и карточка для самопроверки. Проверьте готовность и поставьте в верхнем углу тетради сегодняшнюю дату." | Проверяют наличие материалов, записывают дату, готовят тетради и лист алгоритмов. |
2 мин | Учитель показывает на экране последовательность 4, 7, 10, 13, ... и говорит: "Посмотрите на числа. Представьте, что это не просто ряд, а условие экзаменационной задачи. Что изменяется от числа к числу? Как можно быстро найти, например, десятый член? Сегодня мы не будем заучивать разрозненные действия: наша задача — построить общий алгоритм, который поможет в разных формулировках." | Наблюдают за последовательностью, отвечают: "Каждый следующий член увеличивается на 3"; предполагают: "Нужно прибавлять 3 девять раз или использовать формулу". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели последовательность, в которой изменение между соседними членами постоянно. Сейчас проверим, какие знания уже помогут нам описать её и где возникает затруднение."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: восстановить опорные понятия и обнаружить необходимость обобщённого алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "В течение тридцати секунд определите, какая из последовательностей является арифметической: 5, 8, 11, 14; 2, 4, 8, 16; 10, 7, 4, 1. Затем обсудите ответ с соседом и обязательно назовите разность. Не достаточно сказать только номер последовательности — объясните признак." | Сначала самостоятельно выбирают последовательности, затем обсуждают в парах. Формулируют: "Арифметические прогрессии: 5, 8, 11, 14, разность 3; 10, 7, 4, 1, разность -3. Во второй последовательности разности не равны". |
3 мин | Учитель записывает на доске обозначения и задаёт вопросы: "Как обозначается первый член? Как обозначается разность? Как найти следующий член? Если известны первый член и разность, как найти пятый член? А если требуется сумма первых десяти членов, достаточно ли формулы одного члена? Зафиксируйте место, где появляется сомнение." | Отвечают: "$a_1$ — первый член, $d$ — разность; следующий член находят прибавлением $d$". Для пятого члена предлагают последовательное сложение, а для суммы отмечают затруднение и формулируют: "Нужна отдельная формула". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили признак арифметической прогрессии и обозначения, но увидели, что последовательное прибавление неудобно и приводит к ошибкам. Теперь сформулируем, как превратить это затруднение в понятный план действий."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную задачу и определить последовательность действий для решения задач разных типов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задачу: "Дана арифметическая прогрессия: $a_1=7$, $d=4$. Найдите $a_{20}$. Решите так, как умеете, и сравните два способа: последовательное прибавление и использование формулы. Какой способ надёжнее на экзамене и почему?" Учитель выслушивает два варианта и фиксирует проблему на доске. | Решают или составляют план решения. Объясняют: "Прибавлять 4 девятнадцать раз долго; нужна формула, учитывающая номер члена". |
2 мин | Учитель направляет Сократовский диалог: "Что дано в задаче? Что требуется найти? Какая формула связывает номер члена, первый член и разность? Какой общий алгоритм пригодится, если в условии будут искать не член, а разность или сумму? Запишите цель урока одним предложением." | Выделяют $a_1=7$, $d=4$, $n=20$, искомое $a_{20}$. Формулируют цель: "Научиться по данным задачи выбирать формулу и находить неизвестные элементы арифметической прогрессии". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: не просто вспомнить формулы, а научиться распознавать тип задачи и действовать по алгоритму. Переходим к открытию и оформлению этого алгоритма."
Этап 4. Открытие нового знания. Обобщённые алгоритмы (10 мин)
Цель этапа: вывести и зафиксировать алгоритмы решения задач на член, разность и сумму арифметической прогрессии.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает на доске схему «Алгоритм 1. Найти член прогрессии»: "Шаг 1 — выпишите данные: $a_1$, $d$, $n$. Шаг 2 — выберите формулу $a_n=a_1+(n-1)d$. Шаг 3 — подставьте значения, соблюдая скобки около отрицательной разности. Шаг 4 — вычислите и проверьте, разумен ли ответ. Разберём пример: $a_1=7$, $d=4$, $n=20$." | Записывают алгоритм, подставляют значения и проговаривают: "$a_{20}=7+(20-1)\cdot4=7+76=83$". |
3 мин | Учитель продолжает: "Если неизвестна разность, не нужно восстанавливать всю последовательность. Из формулы $a_n=a_1+(n-1)d$ выразите $d$: перенесите $a_1$, затем разделите на $n-1$. Получаем $d=\frac{a_n-a_1}{n-1}$. Алгоритм тот же: данные, формула, подстановка, вычисление, проверка." Учитель предлагает пример: $a_1=12$, $a_8=33$. | Выводят формулу и решают: "$d=\frac{33-12}{8-1}=\frac{21}{7}=3$". Проверяют: "$12+7\cdot3=33$". |
3 мин | Учитель показывает схему «Алгоритм 2. Найти сумму»: "Если известны число членов и первый и последний члены, используем $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$. Если последнего члена нет, сначала находим $a_n$ по первой формуле. Решим задачу: найдите сумму первых 10 членов прогрессии, если $a_1=3$, $d=2$. Сначала что найдём?" | Отвечают: "Сначала $a_{10}$: $a_{10}=3+9\cdot2=21$. Затем $S_{10}=\frac{10(3+21)}{2}=120$". Формулируют общий вывод: "Сначала определить тип искомой величины, затем выбрать формулу". |
Запись в тетрадях
- Арифметическая прогрессия — последовательность, каждый следующий член которой получается прибавлением одного и того же числа $d$.
- Формула n-го члена: $a_n=a_1+(n-1)d$.
- Формула разности: $d=\frac{a_n-a_1}{n-1}$.
- Формула суммы первых n членов: $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$.
- Общий алгоритм: определить искомую величину → выписать данные → выбрать формулу → подставить значения → вычислить → проверить ответ.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть не набор отдельных формул, а единый маршрут решения. Проверим его сначала вместе, чтобы научиться видеть тип задачи ещё до вычислений."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: отработать выбор алгоритма и проговаривание последовательности действий на типовых задачах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки с тремя задачами и объясняет приём «Алгоритм вслух»: "В каждой паре один ученик читает условие и называет тип задачи, второй проговаривает алгоритм. После этого вы меняетесь ролями. Не начинайте вычисления, пока не назвали искомую величину и формулу." | Распределяют роли, читают условия и называют типы задач: «найти член», «найти разность», «найти сумму». |
3 мин | Учитель предлагает задачи: "1) Найдите $a_{15}$, если $a_1=-2$, $d=5$. 2) Найдите $d$, если $a_1=4$, $a_9=28$. 3) Найдите $S_6$, если $a_1=5$, $a_6=20$. Обращайте внимание на то, какие данные уже есть, а какие нужно сначала получить." | В парах составляют краткую запись и решают: "$a_{15}=-2+14\cdot5=68$"; "$d=(28-4)/(9-1)=3$"; "$S_6=6(5+20)/2=75$". |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь тетрадями. Проверьте не только ответ, но и наличие трёх обязательных элементов: записаны данные, приведена формула, выполнена проверка или указана промежуточная величина. Поставьте две звезды за удачные шаги и одно пожелание, если есть недочёт." | Проверяют решения по трём критериям, отмечают сильные стороны и формулируют одно исправление. |
Эталон решения
1) $a_{15}=a_1+(15-1)d=-2+14\cdot5=68$. 2) $d=\frac{a_9-a_1}{9-1}=\frac{28-4}{8}=3$. 3) Для суммы $S_6=\frac{6(5+20)}{2}=75$. В каждом решении сначала определяются данные и искомая величина, затем выбирается формула.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы проверили, что алгоритм работает для трёх основных типов задач. Теперь каждый самостоятельно покажет, умеет ли он выбрать нужный путь без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное владение алгоритмами и выполнить задание, близкое к формату ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор уровня: "Сейчас каждый получает карточку одного из трёх уровней. Базовый уровень обязателен для всех; желающие могут выбрать повышенный или дополнительный вариант. Работайте самостоятельно, сначала оформите краткую запись, а затем решайте по алгоритму. Если возникло затруднение, поставьте рядом знак вопроса и переходите к следующему шагу, не прекращая работу." | Выбирают или получают вариант, записывают данные и искомую величину, планируют порядок решения. |
5 мин | Учитель выдаёт задания. Базовый вариант: "В арифметической прогрессии $a_1=6$, $d=-2$. Найдите $a_{12}$ и $S_{12}$." Повышенный вариант: "В арифметической прогрессии $a_4=11$, $a_{10}=29$. Найдите $a_1$, $d$ и $S_{10}$." Дополнительный вариант: "Сумма первых 8 членов арифметической прогрессии равна 76, первый член равен 2. Найдите восьмой член и разность, если $d>0$." | Самостоятельно решают выбранный вариант, записывают формулы и промежуточные вычисления. |
3 мин | Учитель выводит эталон на экран: "Сверьте решение по шагам, а не только конечный ответ. Подчеркните место, где ваш ход совпал с алгоритмом, и обведите место возможной ошибки. Затем покажите карточку светофора: зелёная — могу решить сам, жёлтая — нужна тренировка, красная — требуется разбор." | Сверяют решение, исправляют ошибки другим цветом, поднимают карточку самооценки и фиксируют затруднение. |
Эталон решения
Базовый вариант: $a_{12}=6+11\cdot(-2)=-16$; $S_{12}=\frac{12(6+(-16))}{2}=-60$. Повышенный вариант: $a_{10}-a_4=6d$, поэтому $18=6d$, $d=3$; $a_1=a_4-3d=2$; $S_{10}=\frac{10(2+29)}{2}=155$. Дополнительный вариант: $76=\frac{8(2+a_8)}{2}=4(2+a_8)$, поэтому $a_8=17$; $d=\frac{17-2}{7}=\frac{15}{7}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что формула сама по себе не решает задачу: важно правильно определить данные и порядок действий. Осталось связать три алгоритма в единую систему и сформулировать, что поможет вам на ОГЭ."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (6 мин)
Цель этапа: обобщить алгоритмы, проверить понимание ключевого выбора и определить дальнейший шаг обучения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Снежный ком»: "Сначала каждый за тридцать секунд допишите фразу: ‘Чтобы решить задачу на арифметическую прогрессию, я сначала...’. Затем объединитесь в пары и выберите наиболее точную формулировку. Две пары объединяются и составляют общий алгоритм из пяти-шести шагов." | Индивидуально дописывают фразу, в парах и четвёрках согласуют алгоритм: "прочитать условие, определить данные и искомое, выбрать формулу, подставить, вычислить, проверить". |
2 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: "Как понять, что последовательность арифметическая? Когда сначала нужно находить $a_n$? Как проверить ответ для разности? Почему в формуле стоит $n-1$, а не $n$?" | Отвечают: "Разности соседних членов равны"; "Перед суммой, если не известен последний член"; "Подставить найденные данные в формулу"; "От первого члена до n-го переходов на один меньше, чем членов". |
1 мин | Учитель просит заполнить короткий лист самооценки: "Отметьте: я умею находить член; я умею находить разность; я умею находить сумму; я умею объяснить выбор формулы. Один пункт, который пока требует тренировки, запишите отдельно." | Отмечают освоенные умения и записывают индивидуальную трудность. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы объединили формулы в общий алгоритм и потренировались применять его к задачам экзаменационного типа. Дома вы закрепите базовый способ и сможете выбрать задание повышенной сложности."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все задания выбранного варианта, корректно записаны данные и формулы, выполнены вычисления и проверка результата.
- «4» — верно решены основные задания, допущена одна вычислительная ошибка или есть один несущественный недочёт в оформлении алгоритма.
- «3» — правильно определён тип хотя бы двух задач и верно применена основная формула, но допущены ошибки в вычислениях или пропущен отдельный шаг.
- Ниже базового уровня — требуется повторить обозначения и алгоритм выбора формулы, затем выполнить аналогичное задание с опорой на лист-памятку.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нужно определить в условии задачи до выбора формулы? | Проверка понимания первого шага обобщённого алгоритма. |
Какое задание оказалось самым сложным: на член, разность или сумму? Почему? | Выявление точек затруднения в выборе способа действия. |
Как вы проверяете найденную разность или член прогрессии? | Проверка сформированности навыка самоконтроля. |
Насколько уверенно вы сейчас решите аналогичную задачу ОГЭ по шкале от 1 до 5? | Получение субъективной оценки освоения темы и уровня тревожности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что задачи на арифметическую прогрессию решаются по единому маршруту: данные, искомая величина, формула, вычисления и проверка. Типичная ошибка — подставить в формулу номер члена вместо количества переходов и забыть множитель $n-1$. Если вы каждый раз будете проговаривать алгоритм, решение станет более уверенным и быстрым. На следующем уроке мы продолжим работу с задачами, где данные о прогрессии представлены не напрямую, а через условия и уравнения."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи: две на нахождение n-го члена арифметической прогрессии и две на нахождение суммы первых n членов; в каждой задаче записать данные, формулу и проверку. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на правильное использование $n-1$ и аккуратную запись отрицательной разности. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на нахождение разности и первого члена по двум известным членам прогрессии, а также одну задачу на сумму, где сначала требуется найти последний член. | Формирует умение преобразовывать формулу и выбирать последовательность действий; проверять подстановкой найденные значения. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу из жизненного контекста, в которой величины образуют арифметическую прогрессию, например о накоплениях или изменении количества изделий; оформить условие, решение и краткое объяснение выбора формулы. | Развивает создание математической модели и функциональную грамотность; при проверке смотреть на реалистичность условия, корректность модели и полноту обоснования. |
Контрольные вопросы перед выходом: «По какому признаку распознаётся арифметическая прогрессия? Как найти $a_n$? Как найти $d$ по двум членам? Какую формулу применить для суммы первых n членов? Почему перед вычислением важно выписать данные задачи?»
