Функция: область определения, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремальные значения
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться по формуле, таблице или графику функции определять область определения и множество значений, находить нули функции, устанавливать промежутки знакопостоянства и монотонности, а также наибольшее и наименьшее значения с точностью не менее 80% при выполнении практических заданий.
- Установить смысл понятий «область определения», «множество значений», «нуль функции», «промежуток знакопостоянства», «возрастание», «убывание», «наибольшее» и «наименьшее значение».
- Научиться извлекать свойства функции из её графика и обосновывать ответ координатами характерных точек.
- Применить алгоритм анализа функции к заданиям, близким к формату ОГЭ, используя парную и индивидуальную работу.
- Развивать математическую речь, самоконтроль, умение работать с цифровым графиком и сотрудничать при проверке решений.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность анализа графиков для дальнейшего обучения, технических и экономических профессий.
- Снижают тревожность перед заданиями ОГЭ благодаря пошаговому алгоритму и возможности самопроверки.
- Проявляют ответственность за собственный результат и готовность корректировать ошибочное решение.
- Понимают значение точности, аргументированности и проверки математического ответа.
Метапредметные
- Извлекают информацию из графика, таблицы, формулы и цифровой модели.
- Планируют последовательность анализа функции и контролируют выполнение каждого шага.
- Сравнивают различные способы представления функции и формулируют выводы.
- Работают в паре, задают уточняющие вопросы и аргументируют выбранный ответ.
- Используют интерактивный график как средство исследования и проверки гипотез.
Предметные
- Знать определения области определения, множества значений, нуля функции и промежутков знакопостоянства.
- Уметь по графику находить область определения и множество значений функции.
- Уметь определять нули функции и промежутки, на которых функция положительна или отрицательна.
- Уметь устанавливать промежутки возрастания и убывания функции.
- Уметь находить наибольшее и наименьшее значения функции на заданном промежутке и записывать ответ с использованием математической символики.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться уверенно читать графики функций.
- Связывают точность анализа графика с качеством решения практической задачи.
- Проявляют готовность спокойно исправлять ошибки после сравнения с эталоном.
- Оценивают собственную готовность к заданиям ОГЭ по данной теме.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования графика и составляют порядок действий.
- Планируют решение задания по алгоритму анализа функции.
- Сверяют ответ с цифровым эталоном и исправляют найденные неточности.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют координаты характерных точек и интерпретируют их значение.
- Сравнивают положение графика относительно оси абсцисс с знаками значений функции.
- Устанавливают причинно-следственную связь между направлением движения графика и монотонностью функции.
- Моделируют свойства функции в таблице и на координатной прямой.
- Используют электронный ресурс для проверки гипотез и поиска закономерности.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: аналитик графика и проверяющий записи.
- Формулируют полный ответ с указанием промежутков и обоснованием.
- Задают вопросы о границах промежутков и уточняют смысл знаков.
- Согласуют общий ответ и корректно объясняют расхождения.
- Используют математические термины в устном обсуждении.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с графиком функции, таблицей значений и координатной сеткой.
- Открыть ЭОР с возможностью изменять масштаб графика и перемещать точки по кривой.
- Распечатать индивидуальные карточки трёх уровней: по одной на каждого ученика.
- Подготовить карточки для парной работы с двумя различными графиками — по одной карточке на пару.
- Распечатать лист самооценки и «билет на выход» — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Вывести на доску памятку: область определения — проекция графика на ось Ox; множество значений — проекция на ось Oy.
- Подготовить слайд с алгоритмом: 1) D(f); 2) E(f); 3) нули; 4) знаки; 5) монотонность; 6) максимум и минимум.
- Обеспечить проектор, компьютер, интерактивную доску и устойчивое подключение к ЭОР.
- Подготовить маркеры, стикеры двух цветов и таймер на 2–3 минуты.
- Предусмотреть задания базового, повышенного и исследовательского уровня для дифференциации.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и показать практическую значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто повторять определения, а исследовать функцию как математический объект. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и карточки. На уроке нам понадобится внимательное чтение графика и спокойная проверка каждого вывода." | Проверяют готовность, записывают дату и тему урока. |
2 мин | Учитель показывает на экране график изменения температуры воздуха в течение суток и задаёт проблемный вопрос: "В какой промежуток температура была выше нуля? Когда она возрастала? Какую максимальную температуру показывал график? Можно ли ответить на эти вопросы, не вычисляя значения по формуле?" Учитель объявляет приём "Проблемный диалог". | Рассматривают график, формулируют предположения: "Да, свойства можно определить по графику"; называют предполагаемые промежутки и максимальное значение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что один график позволяет ответить сразу на несколько вопросов о зависимости. Теперь выясним, какие математические свойства нужно искать и в каком порядке это делать."
Этап 2. Актуализация знаний. Работа в парах (6 мин)
Цель этапа: актуализировать координаты точек, чтение графика и понятие функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам карточку с координатной плоскостью и пятью отмеченными точками: "Вспомните, как определяется функция и как считываются координаты точки. В паре один ученик называет абсциссу, второй — ординату, затем поменяйтесь ролями." | В парах определяют координаты точек, проговаривают: "Первая координата — x, вторая — y". |
2 мин | Учитель предлагает утверждения: "Точка с координатами (−2; 3) принадлежит графику. Что означает число 3? Что означает число −2? Если x=4, а y=0, какое свойство можно предположить?" | Отвечают: "3 — значение функции при x=−2; −2 — аргумент; точка на оси Ox может быть нулём функции". |
2 мин | Учитель организует приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "За 30 секунд назовите признаки графика функции. Затем сравните ответы с соседом и предложите классу одну точную формулировку." | Индивидуально формулируют признак, обсуждают в парах и сообщают: "Каждому значению x соответствует единственное значение y". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили координаты и смысл записи y=f(x). Теперь проверим, достаточно ли этих знаний, чтобы полностью описать предложенный график."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать алгоритм исследования функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает график с несколькими участками и спрашивает: "Попробуйте описать этот график одним предложением. Что в нём можно узнать? Какие вопросы пока вызывают затруднение? Почему ответа «график идёт вверх» недостаточно?" | Называют свойства: область определения, значения, нули, знаки, возрастание и убывание, максимум и минимум. Формулируют затруднение: "Нужно точно указать промежутки и границы". |
2 мин | Учитель фиксирует предложения на доске и направляет Сократовский диалог: "С чего логично начать анализ? Где находятся нули? Как понять, положительна функция или отрицательна? Как отличить возрастание от убывания?" | Предлагают алгоритм и записывают цель: "Научиться определять основные свойства функции по её графику". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы сформулировали задачу исследования и порядок действий. Теперь применим его к конкретному графику и проверим каждое свойство с помощью ЭОР."
Этап 4. Открытие нового знания. Исследование графика (10 мин)
Цель этапа: вывести способы определения основных свойств функции по графическому представлению.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на интерактивную доску график функции, заданный на отрезке [−4; 5], с максимальной точкой (2; 4), минимальной точкой (−1; −3) и пересечениями с осью Ox в точках −3, 1 и 4. Учитель говорит: "Сначала мысленно спроецируем график на ось Ox. Какие значения x используются? Теперь спроецируем его на ось Oy. Какие значения y встречаются?" | Находят и записывают: "D(f)=[−4;5]", "E(f)=[−3;4]". Объясняют, что область определения — значения аргумента, а множество значений — значения функции. |
2 мин | Учитель выделяет точки пересечения с осью Ox: "Вспомните: в точках на оси Ox ордината равна нулю. Как называются соответствующие значения x?" | Отвечают: "Это нули функции"; записывают x=−3, x=1, x=4. |
2 мин | Учитель проводит указкой по графику: "На каких промежутках график расположен выше оси Ox? Ниже оси Ox? Обратите внимание: границы промежутков знакопостоянства — нули функции, но сами нули в промежутки строгой положительности и отрицательности не входят." | Формулируют: f(x)>0 на (−3;1) и (4;5]; f(x)<0 на [−4;−3) и (1;4). Обсуждают включение конечных точек области определения. |
2 мин | Учитель перемещает электронную точку слева направо: "Если при увеличении x значения y увеличиваются, функция возрастает. Если значения y уменьшаются, функция убывает. Назовите промежутки движения графика." | Определяют по графику промежутки возрастания: (−1;2), и убывания: [−4;−1) и (2;5]. Уточняют, что на точках перелома направление меняется. |
1 мин | Учитель спрашивает: "Где график достигает самой высокой и самой низкой точки? Как записать ответ не только словами, но и числом?" | Называют: максимальное значение 4 при x=2; минимальное значение −3 при x=−1. |
Запись в тетрадях
- Область определения D(f) — множество допустимых значений аргумента x.
- Множество значений E(f) — множество значений функции y.
- Нули функции — значения x, при которых f(x)=0.
- На промежутках, где график выше оси Ox, f(x)>0; ниже оси Ox — f(x)<0.
- Наибольшее и наименьшее значения определяются по самой высокой и самой низкой точкам графика.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили полный алгоритм чтения графика: область определения, множество значений, нули, знаки, монотонность и экстремальные значения. Сейчас проверим его на коротких заданиях, где каждый шаг нужно проговорить."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм анализа функции и научиться аргументированно оформлять ответ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам карточки с графиком кусочной функции и инструкцией: "Работаем по ролям. Аналитик читает свойства графика, проверяющий следит за границами промежутков и полнотой записи. Определите D(f), E(f), нули и промежутки знакопостоянства." | В парах выполняют четыре пункта, отмечают нули на координатной прямой, формулируют полный ответ. |
2 мин | Учитель предлагает продолжение: "Теперь определите промежутки возрастания и убывания, а также наибольшее и наименьшее значения. Если в паре возникло расхождение, поставьте рядом знак вопроса и объясните, какая точка вызывает сомнение." | Определяют свойства, выделяют спорные места, задают уточняющие вопросы. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Поменяйтесь карточками с соседней парой. Проверьте решение по памятке: есть ли все шесть свойств, правильно ли использованы круглые и квадратные скобки, указаны ли единицы ответа? Поставьте две звезды и одно пожелание." | Проверяют работу другой пары, отмечают два достоинства и одну конкретную рекомендацию, исправляют свою запись. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм работает только тогда, когда мы внимательно относимся к границам промежутков. Теперь каждый выполнит аналогичное задание самостоятельно, чтобы проверить личную готовность."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией и самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение материала и подготовить учащихся к заданиям экзаменационного формата.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор уровня: "Базовый вариант обязателен для всех. Те, кто уверенно выполняет базовые пункты, могут перейти к повышенному. Продвинутый пункт предназначен для тех, кто готов обосновать свойства по формуле и графику. Ошибка — это сигнал для коррекции, а не причина прекращать работу." | Выбирают карточку базового, повышенного или продвинутого уровня и записывают номер варианта. |
6 мин | Учитель раздаёт задания. Базовый уровень: по графику определить D(f), E(f), нули и знак функции. Повышенный: дополнительно определить интервалы монотонности и экстремальные значения. Продвинутый: по формуле f(x)=x²−4x−5 найти нули, определить знак функции и сопоставить результат с эскизом графика. Учитель консультирует вопросами: "Какие точки пересечения с Ox нужно найти? Что происходит со знаком произведения на каждом промежутке?" | Индивидуально решают задания, записывают промежуточные рассуждения и ответы с интервалами. |
3 мин | Учитель открывает на экране эталон и говорит: "Проверьте не только итог, но и способ. Обведите зелёным верный шаг, жёлтым — шаг, который нужно уточнить. Сравните границы промежутков и исправьте ошибки другим цветом." | Сверяют решение с эталоном, исправляют ошибки и выставляют себе предварительный результат. |
Эталон решения
Для продвинутого задания: f(x)=x²−4x−5=(x−5)(x+1). Нули: x₁=−1, x₂=5. Так как коэффициент при x² положителен, знак функции положителен вне корней и отрицателен между корнями: f(x)>0 при x∈(−∞;−1)∪(5;+∞), f(x)<0 при x∈(−1;5). В точках x=−1 и x=5 значение функции равно нулю. Вершина параболы имеет абсциссу x=−b/(2a)=4/2=2; f(2)=4−8−5=−9, поэтому наименьшее значение равно −9, а наибольшего значения на всей числовой прямой нет.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы проверили себя в условиях, близких к экзаменационным. Наиболее частые ошибки связаны с путаницей между x и y и неправильным включением нулей в промежутки знакопостоянства. Осталось обобщить результат и определить, какой шаг уже стал уверенным, а какой требует тренировки."
Этап 7. Рефлексия, физкультминутка и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить способы анализа функции, снять напряжение и определить дальнейшую индивидуальную работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель проводит короткую физкультминутку: "Встаньте. Если я называю свойство, которое связано с осью Ox, наклонитесь вправо; если с осью Oy — влево. Область определения, множество значений, нули, максимум, промежуток возрастания." | Выполняют движения по правилам, называют: "Область определения — Ox; множество значений — Oy; нули — пересечения с Ox". |
2 мин | Учитель раздаёт «билет на выход»: "Ответьте письменно на три вопроса: что означает нуль функции; как по графику определить промежуток убывания; какой шаг алгоритма оказался самым трудным? Затем покажите цвет карточки: зелёная — могу выполнить самостоятельно, жёлтая — нужна тренировка, красная — нужна помощь." | Заполняют билет на выход, показывают цвет самооценки, формулируют личный затрудняющий вопрос. |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание и завершает урок: "Выберите уровень с учётом сегодняшней самооценки. Важно не просто получить ответ, а записать, по какому признаку вы его нашли." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, формулируют один личный учебный шаг. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все пункты выбранного варианта, корректно определены область определения, множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремальные значения; интервалы записаны с правильными скобками, рассуждение понятно.
- «4» — правильно выполнено не менее 80% задания, допущена одна неточность в записи промежутка или формулировке свойства, но общий алгоритм применён верно.
- «3» — правильно выполнена базовая часть: определены область определения, множество значений и хотя бы два нуля либо один из промежутков знакопостоянства; имеются отдельные ошибки в границах или терминологии.
- «2» — не определены основные свойства функции, перепутаны координаты или отсутствует обоснование ответа; ученику необходима работа по памятке с учителем.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о способах анализа функции по графику? | Выявление осознания ключевых понятий и последовательности алгоритма. |
Как отличить область определения от множества значений? | Проверка понимания связи свойств функции с осями координат. |
Какое задание оказалось самым сложным и на каком шаге возникло затруднение? | Выявление точек затруднения для последующей коррекции. |
Насколько уверенно вы готовы решать подобное задание в формате ОГЭ? | Определение субъективной оценки готовности и уровня тревожности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились читать график функции как систему математической информации. Вы определяли область определения и множество значений, находили нули, промежутки знакопостоянства и монотонности, а также наибольшее и наименьшее значения. Помните: самая частая ошибка — перепутать значения x и y или включить нуль в промежуток строгого знака. На следующем уроке мы продолжим применять этот алгоритм к формулам и заданиям, близким к формату ОГЭ. У каждого из вас уже есть понятный способ проверки себя."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания по готовым графикам: определить область определения, множество значений, нули и промежутки знакопостоянства. | Закрепить чтение графика и правильное использование скобок; при проверке обратить внимание на различие координат x и y. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3 задания по графикам, в каждом определить все основные свойства: область определения, множество значений, нули, знаки, промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения. | Закрепить полный алгоритм анализа функции и оформление ответа в экзаменационном формате. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать функцию f(x)=x²−6x+5: найти нули, определить промежутки знакопостоянства, координаты вершины, наименьшее значение и построить схематичный график. | Связать аналитический и графический способы исследования; при проверке оценить обоснованность каждого вывода. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называют нулём функции?», «По какой оси определяют область определения?», «Как по графику понять, что функция убывает?», «Где находится наибольшее значение функции?»
