Решение нелинейных неравенств с двумя переменными
Цели и задачи
- Цель: к концу урока ученики смогут построить множество решений нелинейного неравенства с двумя переменными, определить включение граничной линии и проверить принадлежность заданной точки области.
- Образовательная задача: понять, что графическим решением неравенства служит множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих ему.
- Развивающая задача: научиться выбирать контрольную точку и обосновывать закрашивание одной из областей.
- Развивающая задача: сравнивать множества решений неравенств со строгим и нестрогим знаком, обнаруживать ошибки в графическом изображении.
- Воспитательная задача: развивать ответственность за аргументацию и доброжелательное взаимодействие при парной проверке.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность графического способа решения неравенств при анализе ограничений и областей допустимых значений.
- Проявляют готовность проверять собственный результат, а не полагаться только на внешний вид рисунка.
- Снижают тревожность перед заданиями ОГЭ, воспринимая незнакомую запись как последовательность освоенных действий.
- Уважают аргументированную позицию одноклассника при обсуждении выбора области.
- Проявляют самостоятельность, выбирая контрольную точку и объясняя ход проверки.
Метапредметные
- Извлекают информацию из алгебраической записи и графического изображения на координатной плоскости.
- Планируют алгоритм решения: строят границу, выбирают контрольную точку, проверяют знак, оформляют ответ.
- Сопоставляют результат ручного построения с изображением на экране и объясняют возможные различия.
- Формулируют выводы и аргументируют их математическими рассуждениями.
- Осуществляют самоконтроль по критериям и корректируют построение после обнаружения ошибки.
Предметные
- Знают, что решением неравенства с двумя переменными является множество пар чисел, координаты которых удовлетворяют неравенству.
- Умеют строить границу области для неравенства вида $x^2+y^2<25$ и распознавать окружность как границу.
- Умеют определять, включается ли граничная линия в решение, по знаку неравенства.
- Умеют проверять принадлежность точки области подстановкой координат в исходное неравенство.
- Умеют изображать область решений и записывать ответ словами или на координатной плоскости.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят учебную цель с личной потребностью уверенно выполнять графические задания алгебры.
- Оценивают собственную готовность объяснять решение, замечая, какая часть алгоритма требует тренировки.
- Проявляют настойчивость при проверке построения и не считают первую ошибку признаком неуспеха.
- Соблюдают уважительный тон при обсуждении разных способов выбора контрольной точки.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока после обнаружения затруднения при выборе области решений.
- Планируют последовательность действий при решении нелинейного неравенства.
- Сверяют чертёж с критериями: верная граница, тип линии, правильная область.
- Исправляют ответ, если подстановка контрольной точки противоречит выбранной области.
Познавательные УУД
- Преобразуют неравенство в уравнение границы и связывают его с известным геометрическим графиком.
- Проверяют гипотезу о выборе области подстановкой координат контрольной точки.
- Сравнивают строгие и нестрогие неравенства и устанавливают роль граничных точек.
- Моделируют множество решений с помощью координатного чертежа и цифрового графического инструмента.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: один строит границу, второй проверяет контрольную точку, затем меняются.
- Задают уточняющие вопросы о выборе штриховки и включении границы.
- Обосновывают вывод с опорой на вычисление и выслушивают альтернативный способ проверки.
- Формулируют краткую обратную связь однокласснику по критериям точности и обоснованности.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить компьютер учителя, проектор и открытый графический инструмент для отображения координатной плоскости и окружности.
- Проверить, что на экране можно показать графики уравнений и неравенств, а при отсутствии интернета открыть заранее сохранённую иллюстрацию.
- Распечатать карточки «Математический детектив» с тремя неравенствами — по одной на пару, всего 15 карточек для класса из 30 учеников.
- Подготовить индивидуальные мини-листы с координатными плоскостями и заданиями для самостоятельной работы — по одному на ученика.
- Заранее вывести на доску или слайд памятку: «граница → контрольная точка → проверка → область → ответ».
- Подготовить цветные маркеры или мел двух цветов: для границы и для области решений.
- Приготовить зелёные, жёлтые и красные карточки для быстрой проверки понимания — по одному комплекту на ученика.
- Разместить на экране условие общего задания: $x^2+y^2<25$, а также точку $O(0;0)$ для проверки.
- Подготовить таймер на видном месте и стикеры для рефлексии — по одному на ученика.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и игровая мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить класс в учебную работу через короткую игровую задачу и обозначить практическую ценность нового способа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, ребята. Сегодня вы — команда математических детективов. На экране появится условие, а ваша задача — не угадать ответ, а доказать, где находятся все подходящие точки. Проверьте, что у вас есть тетрадь, линейка и ручка. На доске уже приготовлена игровая шкала: за точный чертёж и объяснение команда получает отметку маршрута». | |
2 мин | «Посмотрите на экран: точка должна удовлетворять условию $x^2+y^2<25$. Пока не решайте его вычислениями для всех точек. Подумайте, можно ли показать сразу целую совокупность подходящих пар чисел. В заданиях ОГЭ важно понимать, что означает множество решений, а не только выполнять знакомые преобразования. Какой рисунок мог бы помочь нам быстрее увидеть ответ?» | Ученики называют предположения: «Можно отметить точки на координатной плоскости», «Нужна окружность». Записывают тему после объявления учителя. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «У нас есть задача найти не одно число, а целую область точек. Чтобы построить её надёжно, сначала вспомним координатную плоскость и знакомые графики».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать навыки работы с координатами, окружностью и подстановкой чисел в выражение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Начнём с приёма “Подумай — обсуди в паре — поделись”. Сначала самостоятельно за 30 секунд вспомните, как называется множество точек, равноудалённых от центра на одно и то же расстояние. Затем одну минуту обсудите ответ с соседом. Я запишу на доске точное определение и формулу, которую вы предложите. Что означает уравнение $x^2+y^2=25$?» | Индивидуально обдумывают ответ, затем обсуждают его в парах. Предполагаемый ответ: «Это окружность с центром в начале координат и радиусом 5». |
3 мин | «Теперь проверим вычислительный способ. Подставим в выражение $x^2+y^2$ координаты точки $A(1;2)$, а затем точки $B(4;0)$. Не торопитесь: квадрат относится к каждой координате. Какая точка удовлетворяет условию $x^2+y^2<25$? Назовите не только результат, но и вычисление. Запишу на доске: $1^2+2^2=5$ и $4^2+0^2=16$». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили окружность и умеем проверять отдельную точку подстановкой. Но одной проверки недостаточно, если нужно найти все подходящие точки; сейчас точно сформулируем, что именно пока не умеем делать».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при переходе от проверки отдельной точки к изображению всего множества решений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Перед вами две точки: $C(0;0)$ и $D(5;0)$. Для какой из них верно $x^2+y^2<25$? Как вы это проверили? А теперь представьте, что точек бесконечно много. Как показать их все, не перечисляя по одной? Что в записи неравенства подсказывает нам возможную границу решения?» | Подставляют координаты: для $C$ получается $0<25$, для $D$ — $25<25$, что неверно. Формулируют затруднение: «Можем проверить точки, но не знаем, какую часть плоскости закрашивать». |
2 мин | «Сформулируйте цель урока так, чтобы в конце можно было проверить, достигли ли мы её. Нам нужно не просто нарисовать окружность, а решить неравенство. Какие действия для этого понадобятся? Я фиксирую ваш план: построить границу, выбрать точку, проверить знак и определить область. В конце каждый выполнит такое задание самостоятельно». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Затруднение найдено: уравнение границы построить можем, а выбор области ещё надо обосновать. Проверим, поможет ли контрольная точка превратить догадку в доказанный алгоритм».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 4. Открытие нового знания с использованием ИКТ (10 мин)
Цель этапа: открыть и зафиксировать алгоритм графического решения нелинейного неравенства с двумя переменными.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Выведу на экран координатную плоскость и график уравнения $x^2+y^2=25$. Это окружность с центром $O(0;0)$ и радиусом 5. Сейчас она разделяет плоскость на внутреннюю и внешнюю части. Условие исходной задачи строгое: $x^2+y^2<25$. Граничные точки дают равенство, поэтому они не подходят. Как тогда изобразить окружность: сплошной или пунктирной линией? Почему?» | Рассматривают график на экране и отвечают: «Пунктирной, потому что точки окружности не входят в решение». В тетради строят координатную плоскость, окружность пунктиром и отмечают центр. |
3 мин | «Теперь выберем удобную контрольную точку, которая не лежит на границе. Возьмём начало координат $O(0;0)$. Подставим её в неравенство: $0^2+0^2<25$, то есть $0<25$. Неравенство верно, значит, точка подходит, а вместе с ней подходит внутренняя область окружности. На экране включаю отображение области; сравните его с вашим предположением. Почему внешнюю часть не закрашиваем?» | Записывают проверку точки $O(0;0)$ и штрихуют внутренность окружности. Объясняют: «Внутри выражение меньше 25, а снаружи оно больше 25». |
4 мин | «Сформулируем общий алгоритм. Сначала заменяем знак неравенства на равенство и строим границу. Затем определяем, входит ли сама граница: строгие знаки дают пунктир, нестрогие — сплошную линию. Выбираем точку не на границе, подставляем координаты и по истинности неравенства выбираем нужную часть плоскости. Запишите алгоритм; теперь проверим его на примере $x^2+y^2\geq 9$. Как изменятся радиус, линия и область?» | Записывают алгоритм из четырёх действий. Отвечают: «Радиус 3, окружность сплошная, потому что знак нестрогий; подходит внешняя область вместе с окружностью». Проверяют начало координат: $0\geq 9$ неверно. |
Запись в тетрадях
Решение неравенства с двумя переменными — множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству. Алгоритм: 1) построить границу, заменив знак неравенства на равенство; 2) определить тип линии по строгому или нестрогому знаку; 3) проверить точку, не лежащую на границе; 4) выбрать подходящую область.
Эталон решения
Для $x^2+y^2<25$: граница задаётся уравнением $x^2+y^2=25$, это окружность радиуса 5 с центром в начале координат. Знак строгий, поэтому окружность изображается пунктиром. Проверяем точку $(0;0)$: $0^2+0^2<25$, то есть $0<25$ — верно. Ответ: внутренняя область окружности без самой окружности.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы получили алгоритм и увидели, почему контрольная точка определяет нужную сторону границы. Теперь применим его в командной игре и проверим решения друг друга».
Этап 5. Первичное закрепление: игра «Математический детектив» (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм в парной работе и научиться находить ошибку в графическом решении.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Каждая пара получает карточку “Математический детектив”. В игре нужно не только построить решение, но и предъявить улику — подстановку контрольной точки. Один участник пары строит границу, второй проверяет точку; затем вы поменяетесь ролями. За правильный вывод и ясное объяснение команда получает балл». | Получают карточку, распределяют роли и читают условие. |
4 мин | «На карточке записано неравенство $y>x^2$. Постройте границу $y=x^2$ минимум по точкам с абсциссами $-2,-1,0,1,2$. Изобразите тип линии и выберите контрольную точку $(0;1)$ либо $(0;-1)$. Проверьте подстановкой, где неравенство истинно. Не ограничивайтесь фразой “выше параболы”: объясните, как это следует из проверки». | |
2 мин | «Сверьте построение с парой рядом. Найдите возможную ошибку: сплошная ли линия соответствует строгому знаку, верно ли выбрана область, не лежит ли контрольная точка на границе. Одна пара покажет решение, а другая задаст вопрос или назовёт улику, подтверждающую ответ». | Сверяют чертежи, дают обратную связь: «Граница должна быть пунктирной», «Точка $(0;1)$ удовлетворяет неравенству, поэтому выбираем область над параболой». |
Эталон решения
Граница: $y=x^2$, парабола. Поскольку знак строгий $>$, границу изображают пунктиром. Для точки $(0;1)$: $1>0$ — верно, поэтому выбирают область выше параболы. Точка $(0;-1)$ не подходит, так как $-1>0$ неверно.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы доказали выбор области проверкой точки и заметили, что пунктирная граница связана со строгим знаком. Теперь каждый самостоятельно покажет, что может применить алгоритм без подсказки пары».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение построения границы, выбора области и проверки принадлежности точки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «На индивидуальном листе три задания по выбору уровня. Обязательное для всех: решить графически $x^2+y^2\leq 16$ и проверить точку $(0;0)$. Базовое: решить $y\leq x^2-1$. Дополнительное: определить, удовлетворяет ли точка $(2;3)$ неравенству $y>x^2-1$. Выполняйте сначала обязательное; таймер поставлен на пять минут». | Выбирают порядок выполнения; записывают номера выполненных заданий. |
5 мин | «Работайте самостоятельно и подпишите на чертеже, почему выбрана именно эта область. В первом задании помните: равенство входит в решение. Во втором проверьте точку, например $(0;0)$. В третьем не обязательно строить полный график: подстановка координат позволит обосновать ответ. Если закончили, проверьте, что в каждом рисунке отмечены граница и выбранная область». | |
1 мин | «Показываю на экране эталонные ориентиры: в первом задании сплошная окружность радиуса 4 и круг с границей; во втором пунктирная парабола и область ниже; в третьем получаем $3>2^2-1$, то есть $3>3$, это неверно. Отметьте зелёным то, что совпало, и исправьте одну обнаруженную ошибку». |
Эталон решения
Для $x^2+y^2\leq16$ граница — окружность радиуса 4, линия сплошная; точка $(0;0)$ подходит, значит, ответ — круг вместе с границей. Для $y\leq x^2-1$ граница — парабола $y=x^2-1$, линия сплошная. Точка $(0;0)$ не подходит, поскольку $0\leq-1$ неверно, поэтому выбирается область ниже параболы. Для точки $(2;3)$ в неравенстве $y>x^2-1$ имеем $3>3$, что неверно.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что важно учитывать не только форму графика, но и знак у границы. Перенесём алгоритм в более житейскую ситуацию: как описать набор допустимых вариантов с помощью двух условий?»
Этап 7. Включение в систему знаний и практический контекст (6 мин)
Цель этапа: применить графическое представление области к модели допустимых пар значений и сопоставить несколько условий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Представьте, что координаты $x$ и $y$ описывают два измеряемых параметра модели, а допустимость пары ограничена условием $x^2+y^2\leq 9$. Наша задача — быстро увидеть все допустимые сочетания, а не проверять их по одному. Постройте окружность и отметьте область. Что означает нахождение точки внутри круга? Что означает точка на самой границе?» | Строят окружность радиуса 3 сплошной линией и штрихуют круг. Объясняют: «Внутри выполняется строго меньше, на границе выражение равно 9, и она тоже включена». |
3 мин | «Добавим ограничение $y\geq0$. На доске и на экране выделим общую область двух условий: круг не выходит за границу $x^2+y^2=9$, а точки должны находиться на оси или выше неё. Как выглядит пересечение? Проверьте точку $(0;2)$ и точку $(2;2)$. Назовите, какая подходит одновременно обоим условиям». | Показывают верхнюю половину круга с включёнными границами. Проверяют: $(0;2)$ удовлетворяет обоим условиям; $(2;2)$ не удовлетворяет $x^2+y^2\leq9$, так как $8\leq9$ — подходит; ученики замечают, что обе точки подходят, и объясняют это вычислением. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Область можно ограничить сразу несколькими условиями, а ответом становится их пересечение. Осталось оценить, какой шаг алгоритма стал понятнее и где ещё нужна тренировка».
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: организовать самооценку освоения алгоритма и зафиксировать индивидуальную потребность в дальнейшей тренировке.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Проведём рефлексию “Светофор”. Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно построить область и обосновать её выбор; жёлтую — если алгоритм в целом понятен, но остался вопрос; красную — если нужна ещё одна пошаговая тренировка. Цвет не является отметкой: он поможет мне подобрать следующий разбор. Теперь завершите фразу на стикере: “Чтобы решить неравенство с двумя переменными, я сначала…”» | Поднимают карточки и индивидуально записывают продолжение фразы на стикере. |
2 мин | «Сдайте стикеры у выхода. Перед тем как завершить урок, ответьте устно: почему при строгом знаке границу изображают пунктиром? Как проверить, какую часть плоскости выбирать? Запишите домашнее задание по одному из трёх уровней; обязательный уровень подходит каждому, а дополнительный можно выбрать по желанию». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены обязательное и базовое задания самостоятельной работы, правильно построены границы, обоснован выбор областей подстановкой контрольной точки; в объяснении корректно указано включение или исключение границы.
- «4» — верно выполнено обязательное задание и не менее одного задания базового уровня; построения в основном правильные, допущена не более чем одна неточность в оформлении или объяснении.
- «3» — верно построена граница обязательного задания и сделана попытка выбрать область; требуется подсказка при проверке точки или определении типа линии.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг алгоритма решения неравенства с двумя переменными вы теперь можете выполнить самостоятельно? | Выявление осознания последовательности действий и субъективной уверенности. |
Почему для выбора области мы подставляем точку, не лежащую на границе? | Проверка понимания роли контрольной точки. |
В каком случае граничная линия входит в решение? | Диагностика понимания связи между знаком неравенства и типом линии. |
Что осталось трудным: построение границы, проверка точки или оформление ответа? | Определение конкретной точки затруднения для последующей коррекции. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились находить не отдельные решения, а целые области на координатной плоскости. Запомните главный порядок: построить границу, определить, входит ли она, проверить контрольную точку и выбрать область. Типичная ошибка — закрасить сторону графика на глаз, не проверив координаты точки. В заданиях ОГЭ такой короткий шаг проверки помогает сделать ответ обоснованным. На следующем уроке мы продолжим решать системы условий и находить области, удовлетворяющие нескольким неравенствам одновременно».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить графически 3 неравенства с двумя переменными: одно с окружностью, одно с параболой и одно с линейной границей; для каждого указать, входит ли граница, и привести проверку контрольной точки. | Закрепляет базовый алгоритм; проверить правильность границ, выбора области и подстановки. |
Средний (повышающий) | Решить графически 4 неравенства, среди которых должны быть строгие и нестрогие знаки; к двум решениям подобрать по одной точке внутри выбранной области и проверить её координаты. | Тренирует сравнение типов границ и самостоятельный контроль результата. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственное нелинейное неравенство с двумя переменными, построить его область решений и придумать две контрольные точки: одну подходящую и одну неподходящую; записать проверку обеих. | Развивает умение создавать математический пример и аргументировать принадлежность точек. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как построить границу неравенства? Как определить, включается ли граница? Как выбрать область решений, не полагаясь на рисунок на глаз?»
