Системы уравнений с двумя переменными: графическое исследование и алгебраическое решение
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться исследовать систему двух уравнений с двумя переменными по её графику, определять количество решений и решать систему, содержащую линейное уравнение и уравнение второй степени, с проверкой результата.
- Научиться распознавать график уравнения с двумя переменными и связывать координаты точки пересечения графиков с решением системы.
- Закрепить алгоритм решения системы двух линейных уравнений способом подстановки или сложения и применить его к системе с уравнением второй степени.
- Развивать исследовательские, коммуникативные и регулятивные умения через работу в парах, выдвижение гипотез и проверку выводов.
- Показать практическую и экзаменационную значимость систем уравнений при решении текстовых задач и заданий ОГЭ.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать значение точного математического рассуждения для учебного и профессионального самоопределения.
- Проявлять настойчивость при поиске способа решения и спокойно относиться к ошибке как к источнику информации.
- Понимать практическую ценность математических моделей в задачах о движении, стоимости и производительности.
- Снижать тревожность перед экзаменационными заданиями благодаря использованию понятного алгоритма проверки.
Метапредметные
- Извлекать информацию из формул, таблиц, графиков и условия текстовой задачи.
- Формулировать гипотезу о числе решений системы и проверять её вычислением или построением.
- Планировать последовательность действий, оценивать промежуточный результат и исправлять ошибку.
- Аргументированно представлять решение в паре и использовать цифровые средства для проверки графической модели.
Предметные
- Знать, что решением уравнения с двумя переменными является упорядоченная пара чисел, обращающая уравнение в верное равенство.
- Уметь строить график линейного уравнения с двумя переменными и читать координаты точек пересечения.
- Уметь решать систему двух линейных уравнений способом подстановки или сложения.
- Уметь решать систему, в которой одно уравнение линейное, а второе имеет вторую степень, сведением к квадратному уравнению.
- Уметь составлять и решать математическую модель несложной текстовой задачи, записывая ответ с учётом смысла условия.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться видеть общий алгоритм решения системы.
- Соотносят математическое действие с практической задачей и будущей профессиональной деятельностью.
- Осознают ответственность за достоверность вычислений и оформление ответа.
- Проявляют готовность просить помощь и оказывать её партнёру.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования и составляют план проверки гипотезы.
- Контролируют соответствие полученной пары исходной системе.
- Оценивают число решений по взаимному расположению графиков.
- Обнаруживают причину ошибки и корректируют выбранный способ решения.
Познавательные УУД
- Преобразуют уравнение в вид, удобный для построения графика.
- Сравнивают аналитическое и графическое представление системы.
- Устанавливают причинно-следственную связь между точкой пересечения и решением системы.
- Моделируют условие текстовой задачи с помощью двух переменных и системы уравнений.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: вычислитель, чертёжник, проверяющий и докладчик.
- Формулируют вопросы к способу решения партнёра.
- Доказывают вывод, ссылаясь на формулу, график или проверку.
- Согласовывают общий ответ и корректно обсуждают различия в решениях.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с координатной плоскостью, графиками прямой и параболы, алгоритмом исследования системы и примером текстовой задачи.
- Распечатать карточки трёх уровней по одной на каждого ученика: базовые системы, системы с квадратным уравнением, текстовая задача.
- Подготовить мини-листы исследования для каждой пары с полями «гипотеза», «вычисления», «графическая проверка», «вывод».
- Вывести на доску памятку: «Решение системы — общие точки графиков; проверить обе координаты в обоих уравнениях».
- Подготовить проектор или интерактивную доску и приложение для построения графиков; при отсутствии техники использовать миллиметровую бумагу.
- Подготовить таймер на 3 минуты для парной работы и зелёные, жёлтые, красные карточки для самооценки.
- Распечатать по одному листу с критериями взаимопроверки на парту и по одному билету на выход каждому ученику.
- Освободить безопасное пространство у доски для физкультминутки, подготовить слайд с короткой инструкцией для разминки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и обозначить практическую значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто решать системы, а исследовать их. Представьте, что вы проверяете математическую модель движения или стоимости. Ваша задача — установить, какие данные согласуются друг с другом и как это увидеть на графике." | Готовят тетради и инструменты, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на экране две прямые и параболу: "Посмотрите на рисунок. Как вы думаете, что может означать точка пересечения двух графиков? Почему иногда пересечений бывает несколько, одно или ни одного? Сегодня мы проверим ваши гипотезы аналитически и графически." | Предполагают: "Точка пересечения имеет координаты, подходящие обоим уравнениям"; формулируют вопросы о числе решений. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что график может не только иллюстрировать решение, но и помогать его находить и проверять. Сначала вспомним необходимые способы преобразований."
Этап 2. Актуализация знаний и парная работа (6 мин)
Цель этапа: восстановить алгоритмы построения прямой и решения системы линейных уравнений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки с заданиями: "Выполните первое задание индивидуально: выразите $y$ из уравнения $2x+y=5$ и назовите две точки его графика. Затем сравните ответ с соседом." | Выражают $y=5-2x$, выбирают точки $(0;5)$ и $(1;3)$, сверяют вычисления. |
2 мин | Учитель предлагает: "Решите в паре систему $x+y=7$, $x-y=1$. Один из вас применяет подстановку, другой — сложение. Сравните ход решения, а не только ответ." | Решают систему двумя способами и получают $(4;3)$; объясняют, почему оба способа дают один результат. |
2 мин | Учитель организует приём «Светофор»: "Покажите цвет, который отражает вашу уверенность: зелёный — готов объяснить, жёлтый — нужна проверка, красный — требуется помощь. Ошибка сейчас не оценивается отметкой." | Показывают карточки, формулируют затруднение: построение графика, выбор способа или проверка. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, как получить точки прямой и решить линейную систему. Теперь проверим, что изменится, если второе уравнение будет второй степени."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать исследовательскую проблему и план открытия нового способа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает систему: $\begin{cases}y=x+1,\\ y=x^2-3x+1.\end{cases}$ и спрашивает: "Какой график задаёт первое уравнение? Какой — второе? Можно ли найти их общие точки, не угадывая координаты? Предложите план исследования." | Отвечают: "Первое уравнение задаёт прямую, второе — параболу"; предлагают построить графики, приравнять правые части и проверить найденные точки. |
2 мин | Учитель фиксирует на доске план: "1) определить вид графиков; 2) получить одно уравнение с одной переменной; 3) найти координаты; 4) построить или проверить графически; 5) сформулировать вывод о числе решений." | Записывают план, формулируют цель: "Научиться решать систему с линейным и квадратным уравнениями и объяснять результат через графики". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена, план исследования есть. Перейдём к открытию алгоритма и проверим его на конкретной системе."
Этап 4. Открытие нового знания: исследовательский метод (9 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм решения системы с линейным и квадратным уравнениями и связать его с графической интерпретацией.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель обращается к классу: "Работаем в парах. Для системы $\begin{cases}y=x+1,\\ y=x^2-3x+1\end{cases}$ обе правые части равны одному и тому же $y$. Что можно сделать? Запишите равенство, получите квадратное уравнение и решите его. В листе исследования зафиксируйте гипотезу о количестве точек пересечения." | Приравнивают: $x+1=x^2-3x+1$, получают $x^2-4x=0$, находят $x=0$ и $x=4$, предполагают две точки пересечения. |
3 мин | Учитель задаёт наводящие вопросы: "Как найти $y$ для каждого корня? Почему нельзя остановиться на значениях $x$? Как проверить пару?" Учитель демонстрирует на доске подстановку в первое уравнение. | Вычисляют пары $(0;1)$ и $(4;5)$, записывают их как решения системы, подставляют каждую пару в оба уравнения. |
3 мин | Учитель строит на экране прямую $y=x+1$ и параболу $y=x^2-3x+1$: "Сравните вычисленные пары с рисунком. Что означает каждая общая точка? Как изменился бы вывод, если бы корней квадратного уравнения не было?" | Сопоставляют точки с графиками, формулируют: "Решения системы — координаты общих точек графиков; число решений равно числу общих точек"; называют варианты: две, одна или ни одной. |
Запись в тетрадях
Алгоритм: 1) выразить одну переменную из линейного уравнения; 2) подставить выражение во второе уравнение; 3) решить полученное уравнение второй степени; 4) найти значения второй переменной; 5) записать пары и проверить их в исходной системе. Графически решение системы — координаты общих точек графиков.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы сами вывели алгоритм и подтвердили его графиком. Теперь выполним короткую разминку, чтобы переключить внимание перед закреплением."
Этап 5. Физкультминутка (2 мин)
Цель этапа: снять статическое напряжение и восстановить внимание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель говорит: "Встаньте рядом с партами. На слово «прямая» вытяните руки в стороны, на слово «парабола» поднимите их дугой, на слово «точка» соедините ладони перед собой. Выполняем спокойно, без резких движений." | Выполняют движения по математическим сигналам, сохраняют безопасную дистанцию. |
1 мин | Учитель продолжает: "Сделаем два глубоких вдоха и выдоха. Сядьте, проверьте положение тетради и приготовьтесь к самостоятельной проверке алгоритма." | Выполняют дыхательное упражнение, садятся и готовят ручки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили работоспособность и готовы проверить алгоритм на новых примерах."
Этап 6. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить решение систем разных типов и развить умение объяснять выбранный способ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки: "Решите систему $\begin{cases}x+y=5,\\ y=x^2-1\end{cases}$. Обсудите, какое уравнение удобнее использовать первым. Один ученик объясняет, второй записывает, затем поменяйтесь ролями." | Подставляют $y=5-x$ во второе уравнение: $5-x=x^2-1$, получают $x^2+x-6=0$, находят $x=2$ и $x=-3$, вычисляют пары $(2;3)$ и $(-3;8)$. |
2 мин | Учитель предлагает взаимопроверку по критериям: "Проверьте наличие двух координат, подстановку в оба уравнения и соответствие графику. Поставьте партнёру две звезды и одно пожелание." | Проверяют решение партнёра, отмечают два достоинства и одну конкретную рекомендацию. |
2 мин | Учитель обсуждает типичную ошибку: "Почему ответом не может быть только $x=2$? Что произойдёт, если найденный корень не подставить обратно?" | Объясняют, что решение системы — пара $(x;y)$, а непроверенный корень может быть ошибочным. |
Эталон решения
Из $x+y=5$ получаем $y=5-x$. Подставляем: $5-x=x^2-1$, поэтому $x^2+x-6=0$. Разложение: $(x+3)(x-2)=0$, значит, $x=-3$ или $x=2$. При $x=-3$ имеем $y=8$, при $x=2$ имеем $y=3$. Ответ: $(-3;8)$ и $(2;3)$. Подстановка в оба исходных уравнения подтверждает пары.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Важный результат закреплён: сначала получаем корни для одной переменной, затем восстанавливаем вторую и проверяем пару. Теперь каждый покажет, насколько самостоятельно владеет алгоритмом."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой и ИКТ (7 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное понимание алгоритма и умение интерпретировать график.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель предлагает выбрать уровень: "Базовый вариант: определить число решений системы по описанию двух пересекающихся прямых. Повышенный вариант: решить систему $\begin{cases}y=2x-1,\\ y=x^2-4x+3\end{cases}$. Продвинутый вариант: объяснить графически, почему система может иметь одну общую точку. Работайте индивидуально." | Выбирают вариант, решают задачу. Для повышенного варианта получают $2x-1=x^2-4x+3$, то есть $x^2-6x+4=0$, находят $x=3\pm\sqrt5$ и соответствующие значения $y=5\pm2\sqrt5$. |
2 мин | Учитель показывает на экране построенный график и говорит: "Сверьте не только ответ, но и расположение точек. Если есть расхождение, найдите шаг, на котором оно возникло. Используйте зелёную, жёлтую или красную карточку." | Сверяют вычисления и график, исправляют ошибку, показывают цвет самооценки. |
1 мин | Учитель кратко комментирует: "Для ОГЭ важно записать не только корни квадратного уравнения, но и полный ответ системы. График помогает обнаружить пропущенную пару." | Отмечают в работе место, где нужно было найти вторую координату или выполнить проверку. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм переносится на новые коэффициенты. Осталось связать его с реальной ситуацией и увидеть, зачем нужны две переменные."
Этап 8. Включение в систему знаний: текстовая задача и межпредметная связь (4 мин)
Цель этапа: применить системы уравнений для моделирования жизненной ситуации и показать связь алгебры с физикой и экономикой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задачу: "Два автомобиля одновременно выехали навстречу друг другу из пунктов, расстояние между которыми 300 км. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго. Через 2 часа расстояние между ними стало 80 км. Найдите скорости автомобилей. Обозначьте скорость второго через $x$, первого через $y$ и составьте систему." | Обозначают скорости $x$ и $y$, составляют $y=x+10$ и $2x+2y=220$, объясняют, что за 2 часа автомобили вместе прошли 220 км. |
2 мин | Учитель спрашивает: "Решите систему и объясните смысл ответа. Почему отрицательная скорость не подходит? Где ещё встречается такая модель?" | Находят $x=50$, $y=60$, отвечают: "Скорости автомобилей 50 км/ч и 60 км/ч"; связывают модель с физикой движения и планированием маршрута. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что система переводит условие задачи на язык равенств, а проверка смысла отбрасывает невозможные значения. Завершим урок рефлексией."
Этап 9. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осознать освоенные способы, выявить затруднения и зафиксировать индивидуальную траекторию дальнейшей работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт билеты на выход: "Запишите одним предложением, что означает точка пересечения графиков, и одним пунктом назовите шаг, который нельзя пропускать при решении системы." | Пишут: "Точка пересечения задаёт пару, являющуюся решением обоих уравнений"; называют проверку или восстановление второй координаты. |
1 мин | Учитель спрашивает: "Какой способ сегодня стал понятнее — графический, подстановка или составление модели? Где возникло затруднение? Поднимите соответствующую карточку." | Выбирают способ, формулируют затруднение, сдают билет на выход. |
1 мин | Учитель объясняет домашнюю работу: "Выберите обязательный уровень и, при желании, один повышающий. Записывайте полные пары и проверяйте их в исходной системе." | Записывают домашнее задание и задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены базовая система и система с уравнением второй степени, записаны полные пары, выполнена проверка и дано корректное графическое объяснение.
- «4» — способ решения выбран верно, но допущена одна вычислительная неточность или неполно оформлена проверка; смысл результата понятен.
- «3» — правильно выполнена часть алгоритма: составлено уравнение или найден хотя бы один корень, однако отсутствует полное восстановление второй координаты либо есть две существенные ошибки.
- Ниже отметки «3» — решение не доведено до ответа, не различены корень уравнения и решение системы, отсутствует связь с исходными уравнениями.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что означает точка пересечения двух графиков системы? | Проверка понимания графической интерпретации решения. |
Какой шаг алгоритма решения системы с уравнением второй степени нельзя пропускать? | Выявление понимания необходимости восстановить вторую координату и проверить пару. |
Что оказалось сложнее: составить модель, решить квадратное уравнение или прочитать график? | Выявление индивидуальных точек затруднения. |
Где такой способ может пригодиться вне урока или на ОГЭ? | Осознание практической и экзаменационной значимости материала. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили, что система — это не набор разрозненных вычислений, а модель общих условий. Мы научились видеть решение как точку пересечения графиков, решать систему с линейным и квадратным уравнениями и проверять полученную пару. Самая частая ошибка — записать только значение $x$ и забыть найти $y$. На следующем уроке мы продолжим исследовать системы и будем сравнивать разные способы решения более сложных задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки или сложения; для одной системы построить графики и отметить точку пересечения. | Закрепляет алгоритм решения и связь между аналитическим и графическим способами; проверить полноту записи пар. |
Средний (повышающий) | Решить 2 системы, в каждой из которых одно уравнение линейное, а другое второй степени, и выполнить проверку подстановкой. | Закрепляет сведение системы к квадратному уравнению; проверить правильность всех корней и восстановление второй координаты. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить одну текстовую задачу на движение, стоимость или производительность, моделируемую системой двух уравнений; дополнительно описать, что означает каждая переменная. | Развивает математическое моделирование и функциональную грамотность; проверить соответствие ответа смыслу условия и единицы измерения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что является решением системы? Как по графику определить число решений? Зачем выполнять проверку в обоих исходных уравнениях? Как отличить корень уравнения для одной переменной от полной пары решения системы?»
