Уравнения, сводящиеся к квадратным. Замена переменной
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать биквадратные уравнения и другие уравнения, сводящиеся к квадратным, выполнять замену переменной, находить все корни исходного уравнения и проверять результат.
- Познакомить учащихся с алгоритмом решения уравнений вида $ax^4+bx^2+c=0$ с помощью замены $t=x^2$.
- Сформировать умение решать полученное квадратное уравнение, учитывать ограничения на новую переменную и выполнять обратную замену.
- Развивать логическое мышление, умение анализировать структуру уравнения, планировать решение и находить ошибки в готовом рассуждении.
- Показать связь нового способа с заданиями ОГЭ, снизить тревожность за счёт пошагового алгоритма и формирующей проверки.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность алгоритма для успешного выполнения заданий ОГЭ и дальнейшего изучения алгебры.
- Проявляют готовность спокойно анализировать сложное уравнение по шагам, не подменяя решение угадыванием.
- Формируют ответственное отношение к записи решения и проверке найденных корней.
- Развивают уверенность в собственных силах через выполнение заданий с постепенным повышением сложности.
Метапредметные
- Выделяют существенную структуру уравнения и моделируют её с помощью новой переменной.
- Планируют последовательность действий, сопоставляют полученный результат с условием и корректируют решение.
- Работают с математической информацией, объясняют выбор способа решения и аргументируют количество корней.
- Сотрудничают в паре, сравнивают решения, находят и исправляют типичные ошибки.
Предметные
- Знать признаки биквадратного уравнения и смысл замены переменной $t=x^2$.
- Уметь сводить уравнение $ax^4+bx^2+c=0$ к квадратному уравнению относительно $t$.
- Уметь учитывать условие $t\geq 0$, выполнять обратную замену и находить корни исходного уравнения.
- Уметь проверять найденные корни подстановкой и оформлять решение в последовательности, принятой при выполнении заданий ОГЭ.
- Владеть алгоритмом решения уравнений, содержащих выражения $x^2$ и $x^4$.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл учебной деятельности: освоение приёма, который позволяет решать ранее трудное уравнение понятным алгоритмом.
- Соотносят учебную цель с личной целью подготовки к ОГЭ.
- Проявляют настойчивость при пошаговом решении и готовность проверить собственный результат.
- Оценивают эмоциональное состояние и выбирают способ дальнейшей тренировки.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Планируют решение: замена переменной, решение квадратного уравнения, проверка допустимых значений, обратная замена.
- Осуществляют самопроверку по эталону и фиксируют место ошибки.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки и определяют дальнейший шаг.
Познавательные УУД
- Распознают повторяющиеся элементы $x^4$ и $x^2$ как основание для моделирования.
- Сравнивают исходное и преобразованное уравнения, устанавливают соответствие между их корнями.
- Применяют формулы решения квадратного уравнения и исследуют условие существования корней.
- Анализируют неверное решение и объясняют, на каком шаге нарушен алгоритм.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопрос о причине введения новой переменной и дают развёрнутый ответ.
- Работают в парах по распределённым ролям: решающий и проверяющий.
- Аргументируют, почему отрицательное значение новой переменной нельзя использовать при замене $t=x^2$.
- Корректно сообщают партнёру об ошибке и предлагают способ её исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с проблемным уравнением $x^4-5x^2+4=0$, алгоритмом замены и заданиями для самопроверки.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовые биквадратные уравнения, задания с анализом ошибок и повышенное уравнение; по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «распознаю», «выполняю замену», «учитываю $t\geq0$», «нахожу все корни», «проверяю ответ» — по одному на ученика.
- Распечатать мини-эталон решения для самостоятельной работы — по одному на ученика или вывести его на экран после выполнения.
- Подготовить сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета — по одному комплекту на парту.
- Вывести на доску памятку: $t=x^2$, $t\geq0$; после решения уравнения относительно $t$ выполнить обратную замену.
- Подготовить таймер на 3–5 минут для парной и самостоятельной работы.
- Обеспечить рабочие тетради, ручки, проектор или интерактивную доску; заранее разделить доску на части «Алгоритм», «Решение», «Ошибки».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность, показать связь темы с заданиями ОГЭ и создать ситуацию посильного интеллектуального вызова.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и организует проверку готовности: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовы ли тетрадь, ручка и карточка самооценки. Сегодня мы будем разбирать уравнения, которые сначала выглядят громоздко, но после одного точного шага превращаются в знакомое квадратное уравнение. Наша задача — не запомнить отдельный пример, а освоить способ, который можно уверенно применить в экзаменационной работе." | Готовят тетради и материалы, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на экране уравнение $x^4-5x^2+4=0$: "Представьте, что такое уравнение встретилось вам в тренировочном варианте ОГЭ. Что мешает решить его обычным способом? Какие части выражения повторяются? Подумайте 30 секунд, затем обсудите ответ с соседом. Приём называется «Подумай — обсуди в паре — поделись»." | Индивидуально выделяют $x^4$ и $x^2$, обсуждают в парах и формулируют: «Уравнение не является обычным квадратным относительно $x$, но степени связаны: $x^4=(x^2)^2$». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже заметили главное повторение. Сейчас проверим, какие знания помогут нам разобраться с таким уравнением, а затем сами выведем удобный способ решения."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать свойства степеней, формулу решения квадратного уравнения и ограничение для квадрата числа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: $x^4=(x^2)^2$, $x^2\geq0$, $t^2+pt+q=0$. "Назовите, чем является выражение $x^4$ по отношению к $x^2$. Какое значение не может принимать квадрат действительного числа?" Учитель фиксирует ответы в колонке «Алгоритм». | Отвечают: «$x^4$ — квадрат выражения $x^2$»; «$x^2$ не бывает отрицательным». Записывают свойство $x^2\geq0$. |
2 мин | Учитель предлагает устно решить квадратное уравнение $t^2-5t+4=0$: "Вычислите дискриминант, назовите корни и объясните, какой шаг вы выполняете после нахождения $t_1$ и $t_2$." | Вычисляют $D=25-16=9$, получают $t_1=1$, $t_2=4$, называют необходимость проверить допустимость значений и выполнить обратную замену. |
2 мин | Учитель проводит быстрый приём «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если уверенно решаете квадратное уравнение, жёлтую — если нужна подсказка, красную — если затрудняетесь. Это не оценка, а сигнал, на каком шаге мне остановиться." | Поднимают карточки, формулируют вопросы: «Как вернуться от $t$ к $x$?» или «Нужно ли брать отрицательное значение $t$?» |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили два опорных факта: квадрат выражения неотрицателен и квадратное уравнение можно решить по известному алгоритму. Теперь найдём способ связать эти факты с исходным уравнением."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при прямом решении и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращает внимание к уравнению $x^4-5x^2+4=0$: "Попробуйте назвать неизвестную, относительно которой это уравнение выглядит квадратным. Можно ли временно обозначить повторяющееся выражение одной буквой? Что получится, если взять $t=x^2$?" | Формулируют предположение: «Если $t=x^2$, то $x^4=t^2$, и получится $t^2-5t+4=0$». Записывают предлагаемую замену. |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Достаточно ли решить только новое уравнение? Какие сведения о $t$ мы обязаны сохранить? Как из найденных значений $t$ вернуться к $x$? Сформулируйте цель урока одним предложением." | Обсуждают в парах и предлагают цель: «Научиться сводить уравнение к квадратному заменой переменной, решать его и находить все допустимые корни исходного уравнения». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена. Дальше мы построим алгоритм так, чтобы в нём не потерять ни одного корня и не принять недопустимое значение за ответ."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести и осознанно применить алгоритм решения биквадратного уравнения с заменой переменной.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель пошагово записывает на доске решение: "Рассмотрим уравнение $x^4-5x^2+4=0$. Видим выражения $x^4$ и $x^2$, поэтому вводим замену $t=x^2$. Тогда $x^4=(x^2)^2=t^2$, и получаем $t^2-5t+4=0$. Решаем его: $D=9$, $t_1=1$, $t_2=4$. Но мы помним: $t=x^2$, значит $t\geq0$; оба найденных значения допустимы." | Записывают преобразования в тетрадь, проговаривают цепочку: «замена — квадратное уравнение — его корни — проверка условия». |
3 мин | Учитель продолжает: "Выполним обратную замену. При $t_1=1$ имеем $x^2=1$, поэтому $x=\pm1$. При $t_2=4$ имеем $x^2=4$, поэтому $x=\pm2$. Ответ: $-2,-1,1,2$. Обратите внимание: из одного положительного значения $t$ обычно получаются два значения $x$." | Записывают $x^2=1$, $x=\pm1$; $x^2=4$, $x=\pm2$; оформляют ответ и называют четыре корня. |
3 мин | Учитель предлагает разобрать мини-пример: $x^4-9x^2=0$. "Какая замена здесь естественна? Решите новое уравнение и объясните, почему при обратной замене для $t=0$ получается только один корень." Учитель подчёркивает отличие $x^2=0$ от $x^2=a$, где $a>0$. | Выполняют замену $t=x^2$: $t^2-9t=0$, $t(t-9)=0$, $t_1=0$, $t_2=9$. Получают $x=0$ и $x=\pm3$, объясняют: уравнение $x^2=0$ имеет один корень. |
Запись в тетрадях
- Для уравнения $ax^4+bx^2+c=0$ вводим замену $t=x^2$, где $t\geq0$.
- Получаем квадратное уравнение $at^2+bt+c=0$.
- Решаем его, отбрасываем отрицательные значения $t$, выполняем обратную замену $x^2=t$.
- Записываем все корни исходного уравнения и выполняем проверку.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть не просто пример, а универсальная схема. Проверим её сначала вместе, чтобы каждый шаг был проговорён и ни один корень не потерялся."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм при решении двух уравнений с взаимопроверкой и объяснением каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки с заданиями: $x^4-13x^2+36=0$ и $2x^4-7x^2+3=0$. "Работаем в парах. Один ученик решает первый пример, второй проверяет по алгоритму; затем меняетесь ролями. На карточке обязательно должны быть записаны замена, квадратное уравнение, допустимые значения $t$ и обратная замена." | Распределяют роли, читают критерии выполнения, готовят запись решения. |
4 мин | Учитель напоминает: "Не переходите сразу к ответу. Сначала подчеркните повторяющееся выражение, затем запишите $t=x^2$. Если получили отрицательное значение $t$, объясните, почему оно не даёт действительных корней. Я подойду к парам и проверю именно логику переходов." | Решают в парах. Для первого уравнения получают $t^2-13t+36=0$, $t=4,9$, затем $x=\pm2,\pm3$. Для второго получают $2t^2-7t+3=0$, $t=\frac12,3$, затем $x=\pm\sqrt{\frac12},\pm\sqrt3$. |
2 мин | Учитель выводит на экран эталон и организует приём «Две звезды и пожелание»: "Проверьте решение партнёра по трём признакам: замена записана верно, условие $t\geq0$ учтено, все корни возвращены к $x$. Запишите две сильные стороны и один совет." | Сверяют решения с эталоном, отмечают два верных элемента и одну рекомендацию; исправляют найденные неточности. |
Эталон решения
Для $x^4-13x^2+36=0$: 1) $t=x^2$, $t\geq0$; 2) $t^2-13t+36=0$; 3) $(t-4)(t-9)=0$, поэтому $t_1=4$, $t_2=9$; 4) $x^2=4$, $x=\pm2$; $x^2=9$, $x=\pm3$; 5) ответ: $-3,-2,2,3$. Для $2x^4-7x^2+3=0$: $2t^2-7t+3=0$, $D=49-24=25$, $t_1=\frac12$, $t_2=3$; поэтому $x=\pm\sqrt{\frac12}$ или $x=\pm\sqrt3$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы увидели, что один и тот же алгоритм работает и при целых, и при дробных значениях новой переменной. Теперь каждый самостоятельно покажет, умеет ли применять его без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное владение алгоритмом и научить учащихся самостоятельно находить место затруднения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень по своей готовности. Базовый вариант обязателен для всех, повышенный можно взять после него. Ошибка сейчас — не неудача, а подсказка, какой шаг нужно потренировать." | Выбирают карточку, записывают фамилию и начинают индивидуальную работу. |
5 мин | Учитель предлагает задания. Базовый: $x^4-10x^2+9=0$. Повышенный: $3x^4-10x^2+3=0$. Дополнительное: найти ошибку в решении $x^4-5x^2+4=0$: «Пусть $t=x^2$. Тогда $t^2-5t+4=0$, $t=1$ или $t=4$. Следовательно, $x=1$ или $x=4$». Учитель не сообщает ответ, а задаёт направляющий вопрос: "На каком шаге нужно вернуться к исходной переменной?" | Индивидуально решают выбранное уравнение. В базовом варианте получают $t=1,9$, затем $x=\pm1,\pm3$. В повышенном получают $t=\frac13,3$, затем $x=\pm\sqrt{\frac13},\pm\sqrt3$. В задании на ошибку указывают, что из $x^2=1$ следует $x=\pm1$, а из $x^2=4$ — $x=\pm2$. |
3 мин | Учитель показывает эталон: "Сверьте не только ответ, но и оформление. Если ваш ответ отличается, найдите первую строку, где возникло расхождение, и исправьте её другим цветом. Затем отметьте в листе самооценки те пункты, которые выполнены уверенно." | Сверяют решение построчно, исправляют ошибки, заполняют лист самооценки и показывают зелёную, жёлтую или красную карточку по итогам. |
Эталон решения
Для $x^4-10x^2+9=0$: $t=x^2$, $t^2-10t+9=0$, $(t-1)(t-9)=0$, $t=1$ или $t=9$; следовательно, $x=\pm1$ или $x=\pm3$. Для $3x^4-10x^2+3=0$: $3t^2-10t+3=0$, $D=64$, $t=\frac{10\pm8}{6}$, то есть $t=\frac13$ или $t=3$; поэтому $x=\pm\sqrt{\frac13}$ или $x=\pm\sqrt3$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что решающим является не скорость вычислений, а соблюдение порядка действий. На последнем этапе свяжем алгоритм с типичными ошибками ОГЭ и сформулируем, что именно нужно повторить дома."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: обобщить новый способ, выявить оставшиеся затруднения и определить индивидуальный маршрут закрепления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Незаконченная формула»: "Продолжите цепочку на доске: $ax^4+bx^2+c=0 \rightarrow ... \rightarrow ... \rightarrow$ ответ. Назовите обязательное условие для новой переменной и объясните, почему нельзя остановиться после решения квадратного уравнения относительно $t$." | Формулируют: «$t=x^2$, затем $at^2+bt+c=0$, затем решаем, оставляем $t\geq0$, выполняем обратную замену и проверяем корни». |
2 мин | Учитель задаёт вопросы для рефлексии: "Что сегодня стало понятным? На каком шаге можно потерять корень? Какой цвет светофора вы выберете для умения выполнять обратную замену?" Учитель собирает листы самооценки. | Отвечают устно или письменно: «Можно потерять корни при замене $x^2=t$ обратно»; выбирают цвет, записывают личное затруднение. |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание и завершает урок: "Выберите уровень, ориентируясь не на отметку, а на честную самооценку. В каждом решении сохраняйте четыре обязательные части: замену, квадратное уравнение, условие для $t$, обратную замену. На следующем уроке мы рассмотрим более сложные уравнения, где перед заменой потребуется преобразовать выражение." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, сдают выходной билет с ответом на вопрос: «Какой шаг алгоритма я должен проверить первым?» |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решено выбранное уравнение, записаны замена $t=x^2$, квадратное уравнение, условие $t\geq0$, выполнена обратная замена, указаны все корни и отсутствуют вычислительные ошибки.
- «4» — выбранное уравнение решено в основном верно, но допущена одна неточность в вычислениях или оформлении, не повлиявшая на основную идею; все существенные этапы алгоритма присутствуют.
- «3» — выполнена правильная замена и составлено квадратное уравнение, но допущена ошибка при решении квадратного уравнения, учёте допустимых значений или обратной замене; после подсказки ученик может исправить решение.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как распознать, что уравнение можно решать заменой $t=x^2$? | Проверка понимания структуры биквадратного уравнения и осознанности выбора способа. |
Почему после решения уравнения относительно $t$ нельзя сразу записать найденные числа в ответ? | Выявление понимания необходимости обратной замены и связи корней двух уравнений. |
На каком шаге решения вы сегодня испытывали наибольшее затруднение? | Диагностика точек затруднения в алгоритме для последующей коррекции. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и почему? | Формирование самооценки, ответственности и индивидуального маршрута закрепления. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились превращать уравнение с четвёртой и второй степенями в обычное квадратное уравнение с помощью замены $t=x^2$. Самая частая ошибка — забыть, что после нахождения $t$ нужно вернуться к $x$ и учесть знак «плюс-минус». Вторая важная проверка — отрицательное значение $t$ не может быть квадратом действительного числа. Вы уже владеете алгоритмом, который встречается в экзаменационной практике. На следующем уроке мы потренируем его на более сложных преобразованиях и научимся быстрее распознавать подходящую замену."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 уравнения вида $ax^4+bx^2+c=0$ с целыми коэффициентами и различными наборами корней. В каждом решении записать замену $t=x^2$, условие $t\geq0$ и обратную замену. | Закрепить базовый алгоритм; при проверке смотреть на полноту записи и отсутствие потерянных корней. |
Средний (повышающий) | Решить 3 уравнения, в которых после замены получаются дробные или иррациональные значения $t$, и выполнить проверку хотя бы одного корня подстановкой в исходное уравнение. | Развить аккуратность вычислений и умение работать с допустимыми значениями новой переменной. |
Продвинутый (дополнительный) | Проанализировать 2 готовых решения уравнений, найти ошибку в обратной замене или учёте условия $t\geq0$, исправить их и составить собственное уравнение, сводящееся к квадратному. | Развить анализ, аргументацию и способность конструировать математический пример. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какую замену используем в биквадратном уравнении? Какое условие обязательно для $t$? Сколько корней может дать уравнение $x^2=t$ при $t>0$? Что проверяем после обратной замены?»
