Решение текстовых задач алгебраическим методом
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться составлять математическую модель жизненной ситуации, решать текстовую задачу алгебраическим методом и записывать обоснованный ответ, успешно выполнив не менее двух из трёх тренировочных заданий формата ОГЭ.
- Закрепить алгоритм решения текстовых задач: анализ условия, введение переменной, составление уравнения или системы, решение, проверка и запись ответа.
- Научиться распознавать типичные математические модели задач на движение, совместную работу и проценты, выбирая соответствующую формулу.
- Развивать умение работать в паре, объяснять ход решения, находить и исправлять ошибки в математической записи.
- Формировать спокойное и ответственное отношение к заданиям ОГЭ через понимание алгоритма и самопроверку, а не механическое запоминание готовых решений.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность алгебры для расчётов времени, расстояния, стоимости и производительности.
- Понимают, что последовательное выполнение алгоритма снижает тревожность при решении заданий ОГЭ.
- Проявляют ответственность за точность вычислений и корректность записи ответа.
- Развивают готовность к профессиональному самоопределению через применение математических моделей в бытовых и производственных ситуациях.
Метапредметные
- Выделяют существенные данные из текста и переводят их на математический язык.
- Планируют решение, контролируют промежуточные результаты и корректируют ошибки.
- Сравнивают разные способы составления модели и аргументируют выбор неизвестной.
- Сотрудничают в паре, задают уточняющие вопросы и представляют решение в сжатой форме.
- Используют интерактивную доску или электронную форму для проверки ответа и анализа типичных ошибок.
Предметные
- Знать основные величины и зависимости в задачах на движение, совместную работу и проценты.
- Уметь обозначать неизвестную величину переменной с указанием единицы измерения.
- Уметь составлять линейное, квадратное уравнение или систему по условию текстовой задачи.
- Уметь проверять допустимость найденных корней и соответствие ответа условию.
- Владеть алгоритмом записи краткого, содержательного и проверяемого ответа.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят изучаемый способ решения с личными учебными целями подготовки к ОГЭ.
- Осознают ценность аккуратности, настойчивости и самоконтроля при работе с задачами.
- Оценивают собственную готовность к решению текстовых задач без сравнения себя с одноклассниками.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель решения конкретной задачи и составляют последовательность действий.
- Проверяют единицы измерения, область допустимых значений и полученный ответ.
- Сопоставляют решение с критериями и исправляют найденные недочёты.
- Оценивают степень самостоятельности и выбирают способ дальнейшей тренировки.
Познавательные УУД
- Извлекают из текста числовые данные, условия и вопрос задачи.
- Строят таблицу величин, схему движения или краткую модель производительности.
- Выбирают формулу, составляют уравнение и преобразуют его.
- Анализируют ошибочное решение, выделяя место нарушения логики или вычислительную ошибку.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: один составляет модель, другой контролирует единицы и вычисления.
- Объясняют партнёру смысл каждого слагаемого или множителя в уравнении.
- Задают вопросы по условию и корректно предлагают исправление ошибки.
- Представляют классу решение, используя математические термины и полные фразы.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с алгоритмом решения текстовой задачи: условие — переменная — модель — уравнение — решение — проверка — ответ.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовые задачи на движение, стандартные задачи на совместную работу и повышенная задача с процентами; по одной карточке на пару и несколько запасных.
- Подготовить отдельные карточки с ошибочными решениями для приёма «Найди ошибку» — по одной на пару.
- Вывести на экран таблицу «скорость — время — расстояние» и формулы $s=vt$, $v=\frac{s}{t}$, $t=\frac{s}{v}$, а также формулу производительности $A=pt$.
- Подготовить электронный опрос или интерактивную форму для быстрой проверки трёх ответов; предусмотреть бумажный вариант для учеников при техническом сбое.
- Разложить на парты листы самопроверки с критериями: модель, уравнение, вычисления, проверка, ответ.
- Подготовить стикеры трёх цветов для рефлексии «Светофор» и листы для «Билета на выход» — по одному на каждого ученика.
- Освободить участок класса для короткой физкультминутки с движениями, связанными с величинами «расстояние», «время», «скорость».
- Подготовить часы или таймер на экране, маркеры, доску и калькуляторы только для проверки вычислений после самостоятельного решения.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу, связать тему с форматом ОГЭ и снять избыточное напряжение перед решением задач.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы не будем изучать новый алгоритм, а проверим, насколько уверенно умеем применять уже известный способ. Посмотрите на экран: перед вами жизненная ситуация и несколько чисел. На экзамене важно не угадывать формулу, а спокойно превратить текст в математическую модель. Именно этому мы сегодня потренируемся." | Готовят тетради и ручки, читают ситуацию на экране, формулируют ожидание: "Нужно понять, какие величины связаны и какое уравнение составить". |
2 мин | Учитель показывает задачу: "Автомобиль проехал 180 км. Если увеличить его скорость на 15 км/ч, то поездка займёт на 1 час меньше. Как найти первоначальную скорость? Не решайте пока полностью. Назовите первый шаг и объясните, почему он важен." Учитель фиксирует на доске ответы: переменная, единицы, связь расстояния, скорости и времени. | Отвечают: "Нужно обозначить первоначальную скорость за $x$ км/ч"; "Время выражается как расстояние, делённое на скорость"; оценивают готовность карточкой: зелёная — готов, жёлтая — нужна подсказка. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы увидим, что текстовая задача становится понятной, если разделить её на небольшие шаги. Сначала вспомним общий алгоритм, затем применим его в парах и самостоятельно проверим себя."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить формулы и последовательность действий, необходимые для решения задач разных типов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала 30 секунд каждый самостоятельно восстановит формулы для задач на движение. Затем обсудите их с соседом. Проверьте, одинаково ли вы понимаете величины $s$, $v$ и $t$. После этого несколько пар назовут формулы, а я зафиксирую их на доске." | Записывают в черновике $s=vt$, $v=\frac{s}{t}$, $t=\frac{s}{v}$, обсуждают в парах, формулируют: "Расстояние равно скорости, умноженной на время". |
3 мин | Учитель показывает три короткие ситуации: "Два рабочих выполняют заказ вместе; цена товара сначала увеличилась, а затем уменьшилась; велосипедист догоняет пешехода. Определите, какая модель может понадобиться: сумма производительностей, последовательное изменение процентов или равенство расстояний." Учитель просит обосновать выбор. | Классифицируют ситуации: "Совместная работа — сумма производительностей"; "Проценты — последовательное умножение на коэффициенты"; "Движение — таблица расстояние–скорость–время". Записывают ключевые зависимости в тетрадь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили не только формулы, но и главный вопрос: какая величина неизвестна и как связаны данные условия. Теперь найдём место, где чаще всего возникает затруднение."
Этап 3. Выявление затруднения и постановка цели (4 мин)
Цель этапа: выявить типичные ошибки при составлении математической модели и сформулировать план работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует ошибочное решение задачи о движении: "Пусть $x$ — время поездки. Тогда уравнение записано так: $180x+180(x+1)=15$. Найдите, что здесь не так. Не исправляйте сразу всё решение — назовите конкретные нарушения." | Находят ошибки: "Переменная выбрана неудобно"; "15 км/ч — это разность скоростей, а не расстояние"; "Расстояние нельзя умножать на время в этой записи". |
2 мин | Учитель спрашивает: "Какой план поможет не повторить эти ошибки? Сформулируйте его в виде последовательности из пяти–шести шагов. Что нужно проверить перед записью ответа?" Учитель принимает формулировки и дополняет их на доске. | Формулируют план: "Прочитать условие, обозначить неизвестное, составить таблицу или схему, записать уравнение, решить, проверить корни и ответить на вопрос". Записывают цель урока: "решать текстовые задачи по алгоритму и объяснять модель". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение обычно появляется не в самом решении уравнения, а раньше — при переводе текста на язык математики. Сейчас мы вместе отработаем именно этот переход."
Этап 4. Закрепление алгоритма на примере и межпредметная связь (8 мин)
Цель этапа: отработать составление и решение уравнения на задаче практического содержания, связанной с физикой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель возвращается к задаче: "Автомобиль проехал 180 км. Если увеличить скорость на 15 км/ч, поездка займёт на 1 час меньше. Найдите первоначальную скорость." Учитель строит на доске таблицу: скорость, время, расстояние. "Обозначим первоначальную скорость за $x$ км/ч. Как выразить два времени? Какая физическая формула связывает эти величины?" | Заполняют таблицу: первая скорость $x$, вторая скорость $x+15$, первое время $\frac{180}{x}$, второе время $\frac{180}{x+15}$. Отвечают: "Второе время на 1 час меньше первого". |
4 мин | Учитель проговаривает решение: "Составляем уравнение $\frac{180}{x}-\frac{180}{x+15}=1$. Обратите внимание: смысл каждого выражения должен быть понятен до преобразований. После решения проверим, подходит ли найденная скорость для автомобиля." Учитель показывает на экране последовательность преобразований и задаёт уточняющие вопросы. | Составляют уравнение, решают его в тетрадях вместе с учителем, проверяют найденное значение в исходном условии, формулируют ответ с единицей измерения. |
Запись в тетрадях
Алгоритм: 1) внимательно прочитать условие; 2) выбрать неизвестную величину; 3) выразить остальные величины; 4) составить уравнение или систему; 5) решить; 6) проверить допустимость результата; 7) записать ответ с единицей измерения.
Эталон решения
Пусть $x$ км/ч — первоначальная скорость, $x>0$. Тогда новая скорость равна $x+15$ км/ч. Время первой поездки: $\frac{180}{x}$ ч, второй поездки: $\frac{180}{x+15}$ ч. По условию $\frac{180}{x}-\frac{180}{x+15}=1$. После умножения на $x(x+15)$ получаем $180(x+15)-180x=x(x+15)$, то есть $2700=x^2+15x$. Следовательно, $x^2+15x-2700=0$. Корни: $x=45$ и $x=-60$. Отрицательный корень не подходит. Проверка: $180:45=4$ ч, $180:60=3$ ч, разность равна 1 часу. Ответ: первоначальная скорость автомобиля — 45 км/ч.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы связали алгебру с физической формулой движения и увидели, что проверка возвращает нас к смыслу задачи. Далее вы примените тот же алгоритм в паре, но выберете модель самостоятельно."
Этап 5. Парная практическая работа «Математическая модель» (8 мин)
Цель этапа: закрепить составление уравнения в задачах разных типов через взаимную проверку и объяснение выбора модели.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку одного из трёх уровней: "На карточке есть задача, но оцениваться будет не скорость вычислений, а качество модели. Один ученик объясняет выбор переменной и составляет уравнение, второй проверяет единицы, смысл выражений и допустимость ответа. Через четыре минуты поменяйтесь ролями." | Распределяют роли, читают условие карточки, подчёркивают данные и вопрос, выбирают неизвестную величину. |
4 мин | Учитель консультирует пары: "Если это задача на совместную работу, подумайте, что складывается: время или производительность. Если это проценты, не складывайте проценты автоматически — запишите последовательные коэффициенты. Если это движение, составьте таблицу величин." | Составляют модель и решают задачу. В карточке базового уровня: «Один мастер выполняет заказ за 6 часов, другой — за 4 часа. За сколько часов они выполнят заказ вместе?» Записывают $\frac{1}{6}+\frac{1}{4}=\frac{1}{t}$ и находят $t=\frac{12}{5}$ часа. |
3 мин | Учитель проводит взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками с соседней парой. Проверьте пять пунктов: переменная, единицы, модель, вычисления, ответ. Поставьте две звезды за удачные элементы и одно пожелание по исправлению." | Проверяют решение соседней пары по критериям, записывают две сильные стороны и одно конкретное исправление, возвращают карточку авторам. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Пара помогает увидеть то, что иногда пропускает один человек. Теперь каждый самостоятельно покажет, может ли пройти весь алгоритм без подсказки партнёра."
Этап 6. Физкультминутка и самостоятельная работа с ИКТ-проверкой (10 мин)
Цель этапа: восстановить внимание и индивидуально решить тренировочное задание с последующей цифровой самопроверкой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит физкультминутку: "Встаньте рядом с партами. На слово «расстояние» вытяните руки вперёд, на слово «скорость» сделайте два шага на месте, на слово «время» покажите круговое движение руками. Теперь повторим цепочку: расстояние равно скорости, умноженной на время." | Выполняют движения по инструкции, проговаривают формулу $s=vt$, делают глубокий вдох и возвращаются к работе. |
6 мин | Учитель раздаёт индивидуальное задание: "Товар после увеличения цены на 20 процентов, а затем снижения новой цены на 20 процентов стал стоить 1152 рубля. Найдите первоначальную цену. Работайте самостоятельно и запишите не только число, но и модель." Учитель напоминает: "Цена после первого изменения равна $1{,}2x$, после второго — $0{,}8\cdot1{,}2x$." | Обозначают первоначальную цену за $x$, составляют уравнение $0{,}8\cdot1{,}2x=1152$, находят $x=1200$, записывают ответ: 1200 рублей. Проверяют вычисления и смысл результата. |
2 мин | Учитель предлагает ввести ответ в электронную форму или выбрать ответ на интерактивной доске: "Система покажет только правильность числа, поэтому самостоятельно проверьте модель. Если ответ неверен, сначала найдите ошибку в коэффициентах, а не переписывайте решение у соседа." | Вводят ответ в электронную форму, сравнивают результат с эталоном, отмечают в листе самоконтроля, на каком шаге возникло затруднение. |
Эталон решения
Пусть $x$ рублей — первоначальная цена. После увеличения на 20 процентов цена стала $1{,}2x$. После снижения полученной цены на 20 процентов имеем $0{,}8\cdot1{,}2x=1152$. Так как $0{,}96x=1152$, то $x=1200$. Ответ: первоначальная цена равна 1200 рублям. Важно отметить, что увеличение и уменьшение на одинаковое число процентов не возвращают исходную цену.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, умеете ли вы переводить процентное изменение в коэффициент. Осталось обобщить, что именно помогает решить задачу без паники, и зафиксировать личный следующий шаг."
Этап 7. Рефлексия, оценивание и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осмыслить освоенный алгоритм, определить индивидуальные затруднения и объяснить содержание домашней тренировки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно выбрать переменную и составить модель; жёлтую — если уравнение составить можете, но нужна проверка; красную — если пока требуется совместный разбор. На стикере допишите один шаг, который нужно потренировать." | Поднимают карточки, записывают индивидуальное затруднение: "выбор переменной", "составление таблицы", "проверка корней" или "проценты". |
2 мин | Учитель раздаёт «Билет на выход»: "Ответьте письменно на два вопроса: какой этап алгоритма вы считаете самым важным и почему; как проверить, что найденный корень подходит условию? Сдайте листок при выходе." | Пишут краткий ответ: "Важно составить модель, потому что она связывает текст и уравнение"; "Нужно подставить значение в условие и проверить единицы". |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень с учётом сегодняшнего светофора. Обязательный уровень выполняют все. Повышающий и дополнительный выбирают те, кто хочет увереннее чувствовать себя на ОГЭ. Проверять я буду не только ответ, но и модель." | Записывают выбранный уровень и критерии проверки, задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы отработали полный цикл решения: от чтения условия до проверки ответа. Ошибка в текстовой задаче — это не повод отказываться от решения, а сигнал вернуться к конкретному шагу алгоритма. На следующем уроке мы разберём более сложные задачи и сравним уравнения с системами."
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены все основные действия: выделены данные, корректно введена переменная, составлена математическая модель, решено уравнение, проведена проверка и записан ответ с единицей измерения; в парной карточке допущено не более одной несущественной неточности.
- "4" — модель и способ решения выбраны верно, но допущена одна вычислительная ошибка или неполно оформлена проверка; после подсказки ошибка исправлена.
- "3" — ученик понимает тип задачи и записывает часть нужных зависимостей, но допускает существенные ошибки в уравнении или не доводит решение до обоснованного ответа.
- Ниже отметки «3» — отсутствует математическая модель либо ответ не связан с вопросом задачи; ученику требуется повторный разбор алгоритма по шагам.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг алгоритма решения текстовой задачи вы теперь выполняете увереннее всего? | Выявление осознанно освоенного действия и фиксация положительной динамики. |
На каком этапе возникло затруднение: выбор переменной, составление модели, решение или проверка? | Выявление конкретной точки затруднения для последующей дифференциации. |
Почему увеличение и уменьшение цены на 20 процентов не возвращают исходное значение? | Проверка понимания процентной модели, а не только механического вычисления. |
Что вы сделаете первым, если на ОГЭ встретите незнакомую текстовую задачу? | Формирование регулятивной стратегии и снижение экзаменационной тревожности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы убедились, что текстовая задача решается не угадыванием, а последовательной математической моделью. Особенно внимательно проверяйте смысл переменной, единицы измерения и ответ в исходном условии. Если решение не получилось сразу, вернитесь к таблице или схеме — это рабочий способ, а не признак неуспеха. На следующем уроке мы продолжим подготовку к ОГЭ и потренируем задачи, где потребуется выбрать между одним уравнением и системой."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 текстовые задачи: одну на движение, одну на совместную работу и одну на последовательное изменение процентов. Для каждой записать переменную, уравнение, решение, проверку и ответ. | Закрепляет общий алгоритм и позволяет проверить правильность выбора математической модели. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задачи формата ОГЭ с реальным контекстом: две задачи на движение или производительность и две задачи на проценты. Одну задачу оформить в виде таблицы, другую — в виде краткой схемы. | Развивает гибкость при выборе способа моделирования и устойчивость навыка в разных сюжетах. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную текстовую задачу на изменение цены или совместную работу, решить её алгебраическим методом и предложить однокласснику для проверки. Отдельно объяснить, почему выбранное уравнение соответствует условию. | Формирует умение создавать математическую модель, аргументировать её и анализировать решение другого человека. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что обозначает выбранная переменная?», «Какое выражение в вашем решении соответствует вопросу задачи?», «Каким действием вы проверите найденный корень?», «Почему ответ нужно записывать с единицей измерения?»
