Свойства функций: возрастание, убывание, нули, чётность и нечётность
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться по формуле, графику или таблице определять промежутки возрастания и убывания функции, находить её нули и устанавливать чётность или нечётность не менее чем в 4 из 5 предложенных случаев.
- Сформировать представление о возрастании, убывании, нулях, чётности и нечётности функции как о свойствах, описывающих поведение её графика.
- Научить применять определения свойств функций при решении практических и экзаменационных заданий формата ОГЭ.
- Развивать умение выдвигать гипотезу, проверять её на примерах, работать с графиком, формулой и таблицей значений.
- Воспитывать ответственность за ход решения, готовность проверять результат и снижать тревожность перед заданиями ОГЭ через понятный алгоритм действий.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность анализа поведения функции для описания изменения величин.
- Проявляют познавательный интерес к исследованию графиков и формул.
- Понимают, что пошаговый алгоритм помогает уверенно выполнять задания ОГЭ.
- Формируют ответственное отношение к проверке гипотезы и исправлению ошибок.
Метапредметные
- Извлекают информацию из формулы, графика и таблицы значений и переводят её из одной формы в другую.
- Формулируют проблему, выдвигают гипотезу и проверяют её на конкретных примерах.
- Планируют решение по алгоритму и осуществляют самопроверку по эталону.
- Аргументируют ответ в паре, используют математическую терминологию и конструктивно обсуждают расхождения.
Предметные
- Знать определения возрастающей и убывающей функции, нуля функции, чётной и нечётной функции.
- Уметь определять промежутки возрастания и убывания функции по графику и таблице.
- Уметь находить нули функции как значения аргумента, при которых значение функции равно нулю.
- Уметь проверять чётность и нечётность функции по условию $f(-x)=f(x)$ или $f(-x)=-f(x)$.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель освоения алгоритмов исследования функции.
- Осознают связь математического анализа с задачами экзамена и будущей профессиональной деятельности.
- Развивают уверенность при переходе от наблюдения графика к доказательному выводу.
- Принимают необходимость проверки ответа и корректировки ошибочного рассуждения.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования функции и планируют последовательность действий.
- Сверяют результат с определением и эталоном решения.
- Обнаруживают ошибку в определении промежутка или знака и исправляют её.
Познавательные УУД
- Сравнивают значения функции при увеличении аргумента.
- Устанавливают связь между нулями функции и точками пересечения графика с осью абсцисс.
- Моделируют свойства функции по графику, таблице и формуле.
- Классифицируют функции как чётные, нечётные или функции общего вида.
Коммуникативные УУД
- Работают в парах по распределённым ролям: исследователь и проверяющий.
- Формулируют вопросы к условию и аргументируют математический вывод.
- Слушают объяснение одноклассника и уточняют спорный шаг.
- Согласуют общий ответ группы и представляют его классу.
Подготовка учителя к уроку
- Работать с доской и тетрадями.
- В левой части доски записать тему урока и оставить место для вопросов. В центре начертить большую координатную плоскость с подписями осей $x$ и $y$ и одинаковым масштабом по обеим осям.
- Для мотивации начертить график изменения температуры как ломаную: из точки $(-5;-2)$ поднять отрезок к $(-2;2)$, затем опустить к $(1;-1)$, затем снова поднять к $(4;3)$ и опустить к $(6;1)$. Получатся участки роста и снижения и два пересечения с осью $Ox$; отметить их абсциссы примерно $-3$ и $0$. Подписать ось $x$ как время, ось $y$ как температура.
- Для сравнения монотонности отдельно начертить две прямые на небольших координатных плоскостях: возрастающую $y=x+1$ — она поднимается слева направо, и убывающую $y=-x+1$ — она опускается слева направо. На каждой отметить две точки с $x_1<x_2$ и подписать соответствующие значения $y_1$ и $y_2$.
- Для объяснения нулей начертить параболу $y=(x+1)(x-4)$, ветви направить вверх. Она пересекает ось $Ox$ в точках $(-1;0)$ и $(4;0)$, вершина находится ниже оси $Ox$. Отдельно подчеркнуть: нули функции — числа $-1$ и $4$, а не точки графика.
- Для исследования чётности начертить параболу $y=x^2$: вершина в начале координат, ветви направлены вверх, левая и правая части симметричны относительно оси $Oy$. Отметить пары точек $(-2;4)$ и $(2;4)$, $(-1;1)$ и $(1;1)$.
- Для исследования нечётности начертить кубическую кривую $y=x^3$: она проходит через начало координат, возрастает слева направо, располагается в III и I координатных четвертях и симметрична относительно начала координат. Отметить пары точек $(-2;-8)$ и $(2;8)$, $(-1;-1)$ и $(1;1)$.
- Рядом с графиками оставить место для памятки: нуль функции — $f(x)=0$; чётная функция — $f(-x)=f(x)$; нечётная функция — $f(-x)=-f(x)$. Внизу доски оставить место для алгоритма: определить область определения, сравнить значения при $x_1<x_2$, найти нули, вычислить $f(-x)$ и сравнить результат с $f(x)$ и $-f(x)$.
- Перед самостоятельной работой начертить ещё один общий график с двумя возрастающими и двумя убывающими участками: ломаную через точки $(-5;2)$, $(-2;5)$, $(1;1)$, $(3;4)$ и $(6;0)$. Не подписывать ответ заранее; ученики сами называют промежутки возрастания и убывания по направлению ломаной.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (6 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и показать практическую ценность темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и просит проверить наличие тетради, ручки и линейки. На доске записывает тему и вопрос: «Как по графику понять, что происходит с величиной?» | Проверяют готовность, записывают дату и тему урока, формулируют предположения. |
2 мин | Учитель рисует на доске график изменения температуры: ломаную линию, которая сначала поднимается, затем опускается и дважды пересекает ось абсцисс. Учитель спрашивает: «На каком участке температура растёт, где снижается, а где равна нулю?» | Рассматривают рисунок на доске, называют участки подъёма и спуска, отмечают абсциссы точек пересечения с осью абсцисс. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что график может сообщить о поведении величины. Теперь проверим, какие знания уже помогут нам читать график и где возникнет затруднение."
Этап 2. Актуализация знаний (10 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия функции, аргумента, значения функции и координатной плоскости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит устную разминку: "Вспомним обозначения. Что называют аргументом функции? Как обозначают значение функции? Если точка имеет координаты $(2;5)$, чему равны $x$ и $y$?" Учитель фиксирует ответы на доске. | Отвечают: "Аргумент — независимая переменная $x$", "Значение функции обозначают $y$ или $f(x)$", "$x=2$, $y=5$". |
3 мин | Учитель раздаёт карточки с таблицей: $x$: $-2,-1,0,1,2$; $f(x)$: $4,1,0,1,4$. "Найдите пары координат, укажите значение функции при $x=1$ и назовите точки, лежащие на графике. Работайте в парах одну минуту, затем сверим ответы." | Записывают точки $(-2;4),(-1;1),(0;0),(1;1),(2;4)$, отвечают: "$f(1)=1$" и отмечают, что значения при противоположных аргументах совпадают. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем читать координаты и значения функции. В таблице уже заметна закономерность, но пока мы не знаем, как назвать её математически. Сформулируем проблему."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Проблемный диалог и целеполагание (8 мин)
Цель этапа: выявить учебное затруднение и совместно сформулировать цель исследования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель рисует на доске три графика: возрастающую прямую, убывающую прямую и параболу, симметричную относительно оси ординат. На каждом рисунке отмечает направление чтения слева направо и задаёт вопрос: «Как описать эти особенности одним словом?» | Сравнивают графики, предполагают: «Первый график возрастающий, второй убывающий», «Третий может быть чётным». Объясняют, что одного внешнего вида иногда недостаточно. |
2 мин | Учитель предлагает записать индивидуальную цель, затем обсудить её в паре без дополнительных материалов. На доске фиксирует общий алгоритм: сравнить значения, найти нули, проверить $f(-x)$ и $f(x)$. | Формулируют цель: «Научиться по графику, таблице и формуле определять свойства функции и обосновывать ответ». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: нужно превратить наблюдение в точный алгоритм. Сейчас вы исследуете примеры и сами сформулируете определения."
Этап 4. Открытие нового знания. Исследовательская работа (24 мин)
Цель этапа: вывести определения и алгоритмы определения основных свойств функции через исследование графиков, таблиц и формул.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель рисует на доске возрастающий и убывающий графики: на первом слева направо кривая поднимается, на втором опускается. Просит выбрать на каждом рисунке любые две точки с $x_1<x_2$ и сравнить соответствующие значения функции. | Выбирают точки на рисунках, сравнивают значения и формулируют определения возрастания и убывания. |
3 мин | Учитель рисует график, пересекающий ось абсцисс, отмечает точки пересечения и спрашивает: «Каковы координаты этих точек? Чему в них равно значение функции?» | Называют точки пересечения, формулируют: «Нуль функции — значение $x$, при котором $f(x)=0$». Отличают нуль функции от точки графика. |
5 мин | Учитель записывает на доске функции $f(x)=x^2$ и $g(x)=x^3$, строит для них схематичные графики и рядом оставляет таблицу значений для аргументов $-2,-1,0,1,2$. Просит найти $f(-x)$ и $g(-x)$ и сравнить их с исходными значениями. | Выполняют вычисления: $f(-x)=f(x)$ и $g(-x)=-g(x)$. Формулируют вывод о чётности и нечётности функций. |
Запись в тетрадях
- Функция возрастает на промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
- Функция убывает на промежутке, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
- Нуль функции — значение аргумента, при котором $f(x)=0$; графически это абсцисса точки пересечения графика с осью $Ox$.
- Функция чётная, если область её определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ выполняется $f(-x)=f(x)$.
- Функция нечётная, если область её определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ выполняется $f(-x)=-f(x)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили определения не из готового текста, а из наблюдений и вычислений. Теперь проверим эти правила на коротких заданиях и научимся объяснять каждый ответ."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (14 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритмы определения свойств функции и научиться проговаривать основания ответа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточку: "По описанию графика определите свойство. 1) На промежутке $(-3;2)$ график при движении слева направо поднимается. 2) График пересекает ось $Ox$ в точках с абсциссами $-2$ и $4$. 3) Для функции $h(x)=x^4-3$ найдите $h(-x)$. Запишите не только ответ, но и правило, которым вы воспользовались." | Решают в парах: "Функция возрастает на $(-3;2)$"; "нули функции: $-2$ и $4$"; "$h(-x)=(-x)^4-3=x^4-3=h(x)$, функция чётная". |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками. Проверьте наличие определения или вычисления, а не только конечного ответа. Поставьте две звезды за верные шаги и одно пожелание, если объяснение неполное." | Проверяют решения по памятке, отмечают правильные шаги и формулируют пожелание: "Нужно указать, что нули — это значения аргумента". |
2 мин | Учитель задаёт вопрос классу: "Почему нельзя назвать точку $(-2;0)$ нулём функции? Что является нулём?" | Отвечают: "Нулём является число $-2$, а $(-2;0)$ — точка графика". Исправляют формулировки в карточках. |
Эталон решения
1) График поднимается слева направо, поэтому функция возрастает на $(-3;2)$. 2) В точках пересечения с осью $Ox$ значение функции равно нулю, поэтому нули функции: $x=-2$ и $x=4$. 3) $h(-x)=(-x)^4-3=x^4-3=h(x)$, значит, функция чётная.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь вы умеете применять определения и различать нуль функции и точку графика. Следующий шаг — самостоятельная проверка, как на небольшом фрагменте ОГЭ."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (18 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмами и выявить затруднения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. «Выберите уровень, который соответствует вашей уверенности. Базовый вариант обязателен для всех, повышенный можно выбрать при готовности. Работайте самостоятельно, записывайте промежуточные вычисления. Задания: 1) по графику назвать промежутки возрастания и убывания; 2) найти нули функции по пересечениям с осью $Ox$; 3) определить чётность функций $y=x^2+5$ и $y=x^3-2$.» | Индивидуально выполняют задания, выбирают уровень, записывают промежутки и вычисления. Для $y=x^2+5$ получают чётную функцию, а для $y=x^3-2$ делают вывод: функция ни чётная, ни нечётная. |
3 мин | Учитель выводит эталон: «Сверьте каждую строку. Если ответ отличается, найдите именно шаг, на котором возникла ошибка: чтение графика, запись нуля или вычисление $f(-x)$. Исправьте решение другим цветом.» | Сверяют работу с эталоном, исправляют ошибки и отмечают вопросы для разбора. Задают вопросы по конкретному шагу. |
Эталон решения
Для $y=x^2+5$: $f(-x)=(-x)^2+5=x^2+5=f(x)$, поэтому функция чётная. Для $y=x^3-2$: $f(-x)=-x^3-2$ не равно ни $x^3-2$, ни $-(x^3-2)=-x^3+2$, поэтому функция не является ни чётной, ни нечётной. Нули функции определяют по условию $f(x)=0$ или по абсциссам точек пересечения графика с осью $Ox$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Большинство ошибок сегодня связано не со сложными вычислениями, а с невнимательным чтением определения и знаков. Завершим урок осмыслением того, какой алгоритм уже стал понятным, а какой требует тренировки."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (10 мин)
Цель этапа: осознать результаты урока, зафиксировать затруднения и получить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: «Покажите цвет, который отражает ваше состояние. Зелёный — могу решить сам, жёлтый — нужна тренировка, красный — нужен разбор. Затем закончите фразу: «Теперь я умею…»» | Поднимают карточки, формулируют: «Теперь я умею находить нули по графику», «Могу проверять чётность по формуле». |
1 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: «Что сравнивают, когда исследуют возрастание? Как найти нуль функции? Каким равенством проверяют чётность?» | Отвечают: «Значения функции при $x_1<x_2$», «$f(x)=0$», «$f(-x)=f(x)$». |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: «Выберите уровень по результату работы. В каждом варианте важны запись алгоритма и проверка ответа. На следующем уроке мы продолжим исследование графиков и применим свойства к более сложным заданиям.» | Записывают выбранный уровень и отмечают личную цель тренировки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились читать поведение функции, находить её нули и проверять симметрию формулой. Эти действия составляют понятный алгоритм, который поможет и в обычной работе, и при подготовке к ОГЭ."
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены все задания самостоятельной работы, правильно определены промежутки, нули и вид функций, вычисления записаны с обоснованием.
- "4" — выполнено не менее 80% заданий, допущена одна неточность в чтении графика или записи вывода, основной алгоритм освоен.
- "3" — выполнено не менее 60% заданий, верно применён хотя бы один алгоритм, но имеются ошибки в знаках, промежутках или формулировке нулей.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о возрастании и убывании функции? | Выявление осознанности определения и связи между аргументом и значением функции. |
Как найти нуль функции по графику и по формуле? | Проверка понимания двух способов нахождения нулей. |
Какой шаг проверки чётности оказался самым трудным? | Выявление точек затруднения в работе со знаком и подстановкой $-x$. |
Какой цвет светофора вы выбрали и что поможет перейти на следующий уровень? | Субъективная оценка освоения темы и планирование коррекционной работы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы исследовали функции и научились описывать их поведение точными математическими словами. Запомните: нуль функции — это значение аргумента, а не координатная точка; при проверке чётности особенно внимательно раскрывайте скобки с $-x$. Если вы действуете по алгоритму, задания формата ОГЭ становятся значительно спокойнее и понятнее. На следующем уроке мы продолжим работу с графиками и научимся использовать их свойства для решения задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: по двум графикам определить промежутки возрастания и убывания, по одному графику назвать нули функции, для одной формулы проверить чётность. | Закрепляет базовые определения; при проверке обратить внимание на правильную запись промежутков и равенство $f(-x)=f(x)$. |
Средний (повышающий) | Решить 5 заданий формата ОГЭ на чтение графика: определить промежутки монотонности, нули, знак функции и установить чётность или нечётность двух функций по формуле. | Формирует комплексное применение свойств; проверить, приведено ли краткое обоснование каждого ответа. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать функцию $f(x)=x^2-4$: найти нули, определить промежутки возрастания и убывания по графику или таблице, проверить чётность и составить краткое описание её поведения. | Развивает исследовательское мышление и умение объединять несколько свойств функции в одном решении. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что сравнивают при определении возрастания функции? Что называют нулём функции? Какое равенство доказывает чётность? Какое равенство доказывает нечётность? Почему функция $x^3-2$ не является ни чётной, ни нечётной?»
