Алгоритм построения графика квадратичной функции. Свойства квадратичной функции
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться по формуле квадратичной функции определять направление ветвей, координаты вершины и ось симметрии, строить её график по алгоритму и формулировать основные свойства, выполнив не менее двух практических заданий с точностью не менее 80%.
- Образовательная задача: закрепить понятия квадратичной функции, вершины параболы, оси симметрии и нулей функции.
- Развивающая задача: сформировать умение анализировать коэффициенты функции, выбирать рациональный способ построения графика и проверять результат по симметрии.
- Коммуникативная задача: развивать умение объяснять ход построения графика и аргументировать ответ при фронтальной проверке.
- Воспитательная задача: формировать ответственное отношение к подготовке к ОГЭ, уверенность в собственных действиях и готовность исправлять ошибки.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность построения графиков для решения экзаменационных и прикладных задач.
- Проявляют готовность работать с заданием повышенной сложности без страха ошибки.
- Развивают навыки самооценки и понимание личной ответственности за результат.
- Формируют устойчивую учебную мотивацию через постепенное продвижение от базового к повышенному уровню.
Метапредметные
- Извлекают информацию из формулы, таблицы значений и графического изображения.
- Планируют последовательность построения и контролируют соответствие результата алгоритму.
- Сравнивают несколько графиков и устанавливают зависимость их вида от коэффициентов.
- Аргументированно формулируют выводы и используют математическую речь при фронтальном обсуждении.
Предметные
- Знать формулу квадратичной функции $y=ax^2+bx+c$, смысл коэффициента $a$ и формулы координат вершины.
- Уметь определять направление ветвей параболы и ось симметрии.
- Уметь строить график квадратичной функции по вершине, оси симметрии и нескольким симметричным точкам.
- Уметь определять область определения, промежутки возрастания и убывания, наибольшее или наименьшее значение функции.
- Уметь применять свойства квадратичной функции при решении типичных заданий ОГЭ.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят изучаемый алгоритм с личной целью успешной подготовки к ОГЭ.
- Оценивают собственную готовность выполнять задания по теме самостоятельно.
- Принимают необходимость проверки вычислений и корректного оформления графика.
- Проявляют настойчивость при выполнении задания повышенного уровня.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Планируют построение графика по последовательным шагам алгоритма.
- Сверяют координаты вершины, таблицу значений и симметрию с эталоном.
- Находят вычислительную ошибку и корректируют решение.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки квадратичной функции в её формуле.
- Устанавливают причинно-следственную связь между знаком коэффициента $a$ и направлением ветвей.
- Моделируют график по таблице значений и координатам ключевых точек.
- Сравнивают свойства функций с помощью таблицы и графика.
Коммуникативные УУД
- Отвечают на вопросы учителя полными математическими формулировками.
- Объясняют партнёру последовательность построения графика.
- Слушают решения одноклассников и уточняют спорные вычисления.
- Аргументированно согласуют общий ответ при фронтальной проверке.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображения трёх парабол с разными направлениями ветвей и положением вершин.
- Записать на доске шаблон формулы $y=ax^2+bx+c$ и оставить место для алгоритма построения.
- Распечатать карточки базового, повышающего и дополнительного уровней — по одной на каждого ученика.
- Подготовить индивидуальные листы самооценки с пунктами «определяю вершину», «строю точки», «формулирую свойства».
- Подготовить координатную сетку или миллиметровую бумагу — по одному листу на каждого ученика.
- Вывести на экран критерии построения: вершина, ось симметрии, направление ветвей, симметричные точки, подписи.
- Подготовить маркеры, линейки, карандаши и цветные карточки для приёма «Светофор».
- Заранее выбрать задания формата ОГЭ на чтение графика и определение свойств функции без указания номеров упражнений.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую деятельность и показать связь темы с заданиями ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, линейки, карандаша и ручки. Сегодня нам особенно понадобятся аккуратность и умение быстро проверять себя. На доске вы видите три параболы. Подумайте, что общего у этих графиков и чем они отличаются." | Готовят принадлежности, рассматривают изображения и формулируют ответы: "У графиков форма параболы, но различаются вершины и направление ветвей". |
2 мин | Учитель продолжает: "Графики квадратичных функций встречаются в заданиях ОГЭ: нужно определить вершину, знак коэффициента, промежутки возрастания и убывания, наибольшее или наименьшее значение. Сегодня мы не будем долго слушать теорию: построим графики сами и выведем удобный алгоритм. Покажите зелёную карточку, если уверенно строите такую параболу, жёлтую — если иногда ошибаетесь, красную — если нужна подробная опора." | Поднимают карточки, фиксируют собственный уровень готовности и формулируют ожидание: "Научиться строить график и не путать свойства". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы определили, что график нужно не просто нарисовать, а уметь прочитать по нему свойства функции. Сначала проверим знания, которые понадобятся для построения."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать формулы и понятия, необходимые для нахождения вершины и построения параболы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске функции $y=x^2$, $y=-2x^2+4x-1$ и задаёт вопросы: "Как называется функция второго вида? Какой коэффициент определяет направление ветвей? Что произойдёт с графиком $y=x^2$, если перед $x^2$ поставить минус?" | Отвечают: "Это квадратичная функция"; "направление ветвей определяет коэффициент $a$"; "при $a<0$ ветви направлены вниз". |
3 мин | Учитель предлагает устную проверку: "Назовите координаты вершины функции $y=(x-2)^2-3$. Где находится ось симметрии? Как найти координаты вершины у функции в общем виде? Не торопитесь: сначала назовите формулу, затем подставьте коэффициенты." | Вычисляют: $x_0=2$, $y_0=-3$, ось симметрии $x=2$; называют формулы $x_0=-\frac{b}{2a}$ и $y_0=f(x_0)$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили формулу, направление ветвей и координаты вершины. Теперь проверим, достаточно ли этих знаний, чтобы построить любой график без пропусков в действиях."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить неполноту стихийного построения и совместно сформулировать алгоритм.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает функцию $y=x^2-4x+3$ и спрашивает: "Представьте, что на ОГЭ вам дали только формулу. Один ученик сразу строит несколько точек, другой сначала ищет вершину. Как понять, кто действует надёжнее? Какие ошибки могут возникнуть, если забыть проверить симметрию?" | Обсуждают с соседом 30 секунд, затем называют риски: "можно неверно вычислить значение, получить несимметричный график, перепутать направление ветвей". |
2 мин | Учитель фиксирует на доске ответы и говорит: "Сформулируйте цель урока одним предложением. В цели должны быть действие и результат." После ответов уточняет: "Верная цель — научиться строить график по алгоритму и использовать его для определения свойств функции." | Формулируют цель: "Научиться строить параболу по формуле, находить вершину и определять свойства функции"; записывают тему и цель. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение возникло не в одной формуле, а в отсутствии чёткого порядка действий. Сейчас построим этот порядок на конкретном примере и сразу проверим его практикой."
Этап 4. Открытие нового знания через практику (10 мин)
Цель этапа: вывести и применить алгоритм построения графика квадратичной функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает функцию $y=x^2-4x+3$ и говорит: "Работаем вместе, но каждый шаг записываем. Первый шаг — определяем коэффициенты: $a=1$, $b=-4$, $c=3$. Второй — направление ветвей. Третий — координата вершины: $x_0=-\frac{b}{2a}$. Подставьте значения и назовите результат." | Записывают $a=1$, $b=-4$, $c=3$, вычисляют $x_0=2$, затем $y_0=2^2-4\cdot2+3=-1$. Отвечают: "Вершина имеет координаты $(2;-1)$, ветви направлены вверх". |
3 мин | Учитель продолжает: "Ось симметрии проходит через вершину, значит, это прямая $x=2$. Возьмём точки слева и справа от оси: $x=1$ и $x=3$, затем $x=0$ и $x=4$. Почему достаточно вычислить значение только для одной точки из каждой пары?" | Заполняют таблицу: при $x=1$ и $x=3$ значение $0$; при $x=0$ и $x=4$ значение $3$. Объясняют: "Точки симметричны относительно оси $x=2$". |
3 мин | Учитель выводит на доску алгоритм: "Запишите пять шагов: определить коэффициенты; найти направление ветвей; найти вершину; провести ось симметрии; подобрать симметричные точки и соединить их плавной линией. После построения обязательно проверить вершину, симметрию и знак коэффициента." | Переносят алгоритм в тетрадь, строят параболу по найденным точкам, отмечают вершину $(2;-1)$ и точки $(1;0)$, $(3;0)$, $(0;3)$, $(4;3)$. |
Запись в тетрадях
Алгоритм: 1) определить $a$, $b$, $c$; 2) установить направление ветвей по знаку $a$; 3) найти вершину $x_0=-\frac{b}{2a}$, $y_0=f(x_0)$; 4) провести ось симметрии $x=x_0$; 5) вычислить несколько симметричных точек; 6) построить параболу и проверить график.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили рабочий алгоритм, который можно применять к любой квадратичной функции. Теперь каждый шаг проговорим ещё раз, но уже в заданиях разного уровня сложности."
Этап 5. Первичное закрепление. Фронтальная практика (8 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм и научиться определять свойства функции по формуле и графику.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает базовое задание: "Для функции $y=-x^2+6x-5$ назовите коэффициент $a$, направление ветвей и абсциссу вершины. Сначала решите молча, затем сверяйте ответ по цепочке." | Вычисляют $a=-1$, определяют ветви вниз, находят $x_0=3$ и отвечают: "Абсцисса вершины равна 3". |
3 мин | Учитель задаёт повышающий вопрос: "Найдите ординату вершины этой функции и определите её наибольшее значение. Объясните, почему именно наибольшее, а не наименьшее." | Вычисляют $y_0=-9+18-5=4$, формулируют: "Ветви направлены вниз, поэтому максимальное значение равно 4". |
2 мин | Учитель демонстрирует график без формулы: "По графику определите ось симметрии, вершину, промежутки возрастания и убывания. Какие признаки вы используете?" | Считывают координаты, называют ось симметрии и промежутки; объясняют: "До вершины график возрастает, после вершины убывает". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились получать свойства не только вычислением, но и чтением графика. Теперь выполните похожее задание самостоятельно и выберите уровень, который позволит показать реальный результат."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и обеспечить работу учащихся на доступном уровне сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Базовый уровень обязателен для всех. Повышающий выбирают те, кто уверенно справился с базовым. Дополнительный предназначен для тех, кто готов проверить себя сложным заданием. На карточке указаны критерии: формула, вершина, ось, точки, свойства." | Выбирают карточку с учётом собственной самооценки, записывают фамилию и начинают работу. |
6 мин | Учитель консультирует: "Для базового задания постройте график $y=x^2-2x-3$, найдите вершину и промежутки убывания и возрастания. Для повышенного задания исследуйте $y=-2x^2+8x-6$ и определите наибольшее значение. Для дополнительного задания сравните графики $y=x^2$ и $y=(x-3)^2+2$: укажите сдвиг, вершины и области значений." | Индивидуально выполняют выбранное задание, строят график на координатной сетке, выделяют вершину и ось симметрии, записывают свойства. |
3 мин | Учитель выводит эталон: "Проверьте сначала вычисления вершины, затем направление ветвей и симметрию точек. Ошибка в одной координате не означает, что весь алгоритм не освоен: найдите место ошибки и исправьте его другим цветом." | Сверяют работу с эталоном, исправляют ошибки, отмечают в листе самооценки выполненные пункты. |
Эталон решения
Для $y=x^2-2x-3$: $a=1$, ветви направлены вверх; $x_0=-\frac{-2}{2\cdot1}=1$; $y_0=1-2-3=-4$. Вершина $(1;-4)$, ось симметрии $x=1$. Точки: $(0;-3)$ и $(2;-3)$, $(3;0)$ и $(-1;0)$. Функция убывает на $(-\infty;1]$ и возрастает на $[1;+\infty)$, область значений $y\geq-4$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы показали, что один и тот же алгоритм работает для разных функций и уровней сложности. Осталось проверить, можете ли вы кратко объяснить главное и назвать типичную ошибку, которую теперь будете контролировать."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: осмыслить результат урока, выявить затруднения и определить дальнейший уровень самостоятельной работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Билет на выход»: "На маленьком листке завершите три фразы: «Чтобы построить параболу, я сначала…»; «Если $a<0$, то…»; «Проверить себя можно по…». Затем поставьте себе зелёный, жёлтый или красный знак." | Письменно завершают фразы: "нахожу коэффициенты и вершину"; "ветви направлены вниз"; "по оси симметрии и симметричным точкам". Оценивают степень уверенности. |
2 мин | Учитель говорит: "Сдайте билет на выход. Домашнее задание выберите по уровню: обязательный минимум выполняют все, следующий уровень — при готовности, дополнительный — по желанию. Помните: цель не угадать ответ, а показать последовательность действий." | Сдают листы, записывают выбранный уровень домашней работы и задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно определены коэффициенты и направление ветвей, найдены координаты вершины и ось симметрии, построены не менее двух пар симметричных точек, график и свойства записаны без ошибок.
- «4» — алгоритм применён верно, но допущена одна вычислительная или графическая неточность, не повлиявшая на общий вывод.
- «3» — определены коэффициенты и направление ветвей, но допущены две ошибки в координатах, свойствах или оформлении; после подсказки ученик может исправить решение.
- Ниже базового уровня — отсутствует последовательность действий или неверно определены вершина и направление ветвей; работа требует повторного выполнения по опоре.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг алгоритма построения графика теперь вы выполняете уверенно? | Выявление освоенного действия и фиксация личного прогресса. |
На каком вычислении или построении возникло затруднение? | Выявление точек затруднения в алгоритме и планирование коррекции. |
Как по знаку коэффициента $a$ определить вид параболы? | Проверка осознания связи формулы и графического образа. |
Какое задание формата ОГЭ вы теперь сможете выполнить самостоятельно? | Оценка переноса нового умения в экзаменационный контекст. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы не просто вспомнили свойства параболы, а построили универсальный алгоритм: коэффициенты, направление ветвей, вершина, ось симметрии, симметричные точки и проверка. Самая частая ошибка — неверно найти координату вершины или забыть изменить знак при вычислении $x_0$. Поэтому перед окончательным ответом обязательно сверяйте формулу и симметрию графика. На следующем уроке мы продолжим исследовать квадратичную функцию и будем применять её свойства к решению задач, в том числе экзаменационного формата."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 3 задания на построение графика квадратичной функции: определить коэффициенты, направление ветвей, вершину, ось симметрии, две пары симметричных точек и промежутки возрастания и убывания. | Закрепляет алгоритм; при проверке обратить внимание на знак в формуле $x_0=-\frac{b}{2a}$ и аккуратность графика. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задания на определение наибольшего или наименьшего значения квадратичной функции по формуле и графику, включая функции с отрицательным коэффициентом $a$. | Формирует умение связывать направление ветвей с экстремальным значением и читать свойства графика. |
Продвинутый (дополнительный) | Сравнить две функции вида $y=x^2$ и $y=(x-m)^2+n$: определить координаты вершин, направление сдвига, оси симметрии и области значений; оформить вывод в виде таблицы. | Развивает анализ преобразований графика и готовит к заданиям повышенной сложности. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какие координаты определяют вершину параболы?», «Что показывает знак коэффициента $a$?», «Почему после построения одной точки полезно строить симметричную ей точку?», «Как по графику определить промежутки возрастания и убывания функции?»
