Практикум «Построение графика квадратичной функции»
Цели и задачи
- Цель по SMART: за 45 минут научиться строить график квадратичной функции вида $y=ax^2+bx+c$ по алгоритму, находить координаты вершины и ось симметрии, а также проверять построение по пяти критериям.
- Закрепить алгоритм построения параболы: определить направление ветвей, найти координаты вершины и ось симметрии, составить таблицу значений, нанести симметричные точки и провести график.
- Научиться применять свойства квадратичной функции при решении практических и экзаменационных заданий формата ОГЭ.
- Развивать умение анализировать готовый график, находить ошибки в построении и аргументировать способ исправления.
- Формировать уверенность при работе с заданиями, содержащими графики, через пошаговый алгоритм и самопроверку.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность графического способа решения алгебраических задач, в том числе при подготовке к ОГЭ.
- Снижают тревожность перед экзаменационными заданиями за счёт использования понятного алгоритма и проверки результата.
- Проявляют ответственность за точность вычислений, аккуратность чертежа и объективность взаимопроверки.
- Развивают готовность исправлять ошибки и воспринимать их как источник дальнейшего обучения.
Метапредметные
- Планируют последовательность построения графика и соотносят результат с поставленной целью.
- Извлекают информацию из формулы, таблицы значений и координатной плоскости.
- Сравнивают собственное построение с эталоном, находят расхождения и корректируют решение.
- Работают в паре, формулируют вопросы и аргументируют оценку построения одноклассника.
Предметные
- Знать формулы координат вершины параболы: $x_0=-\frac{b}{2a}$ и $y_0=f(x_0)$; уметь находить ось симметрии $x=x_0$.
- Уметь определять направление ветвей параболы по знаку коэффициента $a$.
- Уметь составлять таблицу значений, использовать симметрию параболы и строить график функции вида $y=ax^2+bx+c$.
- Уметь по графику определять вершину, ось симметрии, нули функции и промежутки знакопостоянства.
- Уметь обнаруживать типичные ошибки в построении графика и объяснять способ их исправления.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят изучаемый алгоритм с личной целью успешного выполнения заданий ОГЭ.
- Оценивают собственную готовность строить графики и определяют, какой шаг алгоритма требует дополнительной тренировки.
- Проявляют самостоятельность и аккуратность при выполнении практической работы.
- Осознают важность проверки результата перед предъявлением решения.
Регулятивные УУД
- Принимают и удерживают цель практикума: построить график по заданному алгоритму.
- Планируют действия до начала вычислений и используют чек-лист самопроверки.
- Контролируют знаки при вычислении координат вершины и значения функции.
- Сравнивают результат с эталоном, исправляют ошибки и оценивают качество работы.
Познавательные УУД
- Выделяют коэффициенты $a$, $b$, $c$ в формуле квадратичной функции.
- Устанавливают связь между формулой, координатами вершины, осью симметрии и видом графика.
- Моделируют график с помощью таблицы значений и координатной плоскости.
- Анализируют неверные построения и классифицируют причины ошибок.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают решение в паре и задают уточняющие вопросы по отдельным шагам алгоритма.
- Аргументированно объясняют, почему ветви параболы направлены вверх или вниз.
- Используют критерии взаимопроверки без подмены проверки простым сравнением ответов.
- Корректно формулируют замечания и предложения по исправлению работы партнёра.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с алгоритмом построения графика квадратичной функции и чек-листом из пяти пунктов.
- Распечатать индивидуальные карточки трёх уровней: базового — по одной на ученика, повышенного — по одной на пару, дополнительного — по две на класс.
- Подготовить карточки с двумя ошибочными графиками для приёма «Найди ошибку» — по одной на пару.
- Распечатать листы самооценки и критерии взаимопроверки — по одному комплекту на каждого ученика.
- Подготовить координатные сетки формата А5 — по одной на ученика и несколько запасных.
- Вывесить на доску памятку: «1. Найди $a$, $b$, $c$. 2. Найди вершину. 3. Проведи ось симметрии. 4. Составь таблицу. 5. Построй и проверь».
- Подготовить маркеры, линейки, карандаши, ластики, стикеры трёх цветов.
- Подготовить таймер на 5 и 7 минут; при необходимости включить проектор или интерактивную доску.
- Заранее записать на доске тему, формулы $x_0=-\frac{b}{2a}$ и $y_0=f(x_0)$, а также критерии аккуратного графика.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в практическую деятельность, связать тему с заданиями ОГЭ и снять избыточное напряжение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня у нас не обычное объяснение новой темы, а практикум. Ваша задача — не просто вспомнить формулы, а научиться уверенно строить график и проверять себя. Подготовьте тетради, линейки, карандаши и карточки." | Проверяют наличие принадлежностей, записывают дату и тему урока. |
2 мин | Учитель показывает на экране схематичный график параболы и обращается к классу: "Такие изображения встречаются в заданиях ОГЭ: нужно определить вершину, направление ветвей, нули функции или выбрать правильный график. Сегодня мы отработаем все действия по шагам. Ошибка на одном шаге не означает, что всё решение потеряно: мы научимся её находить и исправлять." | Рассматривают график, формулируют ожидания: "Нужно правильно найти вершину", "Важно не перепутать знаки", "Нужно уметь читать график". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы превращаем формулу в точный график и проверяем каждое действие. Начнём с тех знаний, которые уже должны помочь нам в практической работе."
Этап 2. Актуализация знаний и диагностика затруднений (6 мин)
Цель этапа: восстановить свойства квадратичной функции и выявить ошибки в применении формул.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит устную разминку: "Назовите общий вид квадратичной функции. Что показывает коэффициент $a$? Как связаны знак $a$ и направление ветвей? Где находится ось симметрии? Не называйте формулу механически — объясните, что именно она позволяет узнать." | Отвечают: "Общий вид — $y=ax^2+bx+c$, где $a\ne0$"; "При $a>0$ ветви направлены вверх, при $a<0$ — вниз"; "Ось симметрии проходит через вершину". |
2 мин | Учитель записывает функции $y=2x^2-8x+3$ и $y=-x^2+4x-1$: "Определите коэффициенты каждой функции и направление ветвей. Поднимите зелёную карточку, если готовы объяснить." | Выписывают $a$, $b$, $c$ для обеих функций и формулируют: для первой ветви направлены вверх, для второй — вниз. |
2 мин | Учитель предлагает мини-задание: "Без полного построения найдите абсциссу вершины функции $y=2x^2-8x+3$. Запишите вычисление и сравните ответ с соседом. Если ответы различаются, найдите, на каком шаге появилась ошибка." | Вычисляют $x_0=-\frac{-8}{2\cdot2}=2$, сравнивают записи, исправляют ошибку в знаке при необходимости. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили вид функции, роль коэффициента $a$ и формулу абсциссы вершины. Теперь проверим, достаточно ли этих знаний, чтобы самостоятельно выбрать правильную последовательность действий."
Этап 3. Постановка практической задачи и планирование (4 мин)
Цель этапа: сформулировать алгоритм построения графика и критерии успешной работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует перемешанные карточки с действиями: "Перед вами пять шагов, но они записаны не по порядку: таблица значений, определение коэффициентов, построение точек, нахождение вершины, определение направления ветвей. Подумайте индивидуально 30 секунд, затем обсудите порядок в паре." | Сначала располагают шаги индивидуально, затем в парах предлагают последовательность: коэффициенты и направление ветвей, вершина и ось симметрии, таблица значений, точки, плавная линия графика. |
2 мин | Учитель фиксирует алгоритм на доске: "Проверим план. После построения мы обязательно зададим себе пять вопросов: правильно ли найден знак $a$; лежит ли вершина на оси симметрии; симметричны ли точки; соответствует ли график таблице; аккуратно ли проведена парабола. Это наш чек-лист, а не формальность." | Переписывают алгоритм, формулируют цель: "Построить график и проверить его по пяти критериям". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Запись в тетрадях
- $x_0=-\frac{b}{2a}$; $y_0=f(x_0)$ — координаты вершины $V(x_0;y_0)$.
- Ось симметрии: $x=x_0$.
- При $a>0$ ветви параболы направлены вверх, при $a<0$ — вниз.
- Для построения используют вершину и пары симметричных точек.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План составлен, критерии проверки известны. Теперь перейдём к основной работе: сначала выполним один пример вместе, затем каждый построит свой график самостоятельно."
Этап 4. Практическое построение графика по образцу (9 мин)
Цель этапа: пошагово применить алгоритм на функции $y=x^2-4x+3$ и увидеть связь вычислений с графиком.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает функцию: "Построим график $y=x^2-4x+3$. Сначала назовём коэффициенты: $a=1$, $b=-4$, $c=3$. Ветви направлены вверх. Теперь найдём вершину: $x_0=-\frac{-4}{2\cdot1}=2$, $y_0=2^2-4\cdot2+3=-1$. Запишите координаты вершины и ось симметрии." | Записывают $a=1$, $b=-4$, $c=3$, определяют направление ветвей, находят $V(2;-1)$ и ось симметрии $x=2$. |
3 мин | Учитель обращается к классу: "Выберем значения, симметричные относительно $x=2$: $x=0$ и $x=4$, $x=1$ и $x=3$. Вычислим значения функции. При $x=0$ получаем $3$, при $x=1$ — $0$. По симметрии значения для $x=3$ и $x=4$ будут такими же. Заполните таблицу вместе со мной." | Заполняют таблицу: $x$: 0, 1, 2, 3, 4; $y$: 3, 0, $-1$, 0, 3; проговаривают пары симметричных точек. |
3 мин | Учитель показывает координатную сетку: "Нанесите вершину и четыре точки. Соедините их плавной линией, не заменяя параболу ломаной. Проверьте: график симметричен относительно прямой $x=2$, ветви направлены вверх, пересечения с осью $Ox$ имеют абсциссы 1 и 3." | Строят график в тетради, отмечают $V(2;-1)$, точки $(0;3)$, $(1;0)$, $(3;0)$, $(4;3)$, проводят ось симметрии и сверяют три признака. |
Эталон решения
Для $y=x^2-4x+3$: $a=1$, $b=-4$, $c=3$, поэтому ветви направлены вверх. $x_0=-\frac{-4}{2}=2$. Далее $y_0=2^2-4\cdot2+3=-1$, значит, $V(2;-1)$ и ось симметрии $x=2$. Таблица: $(0;3)$, $(1;0)$, $(2;-1)$, $(3;0)$, $(4;3)$. По этим точкам строится парабола, симметричная относительно $x=2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы выполнили полный алгоритм на одном примере и увидели, что график проверяется не только внешним видом. Теперь каждый применит этот же порядок действий к своей карточке, а я буду наблюдать, на каком шаге возникают затруднения."
Этап 5. Самостоятельная практическая работа с дифференциацией (10 мин)
Цель этапа: самостоятельно построить график квадратичной функции и применить алгоритм без пошаговой подсказки учителя.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень, на котором сможете показать качественную работу. Базовый вариант обязателен для всех; повышенный можно выбрать, если базовый алгоритм уже получается; дополнительное задание предназначено для тех, кто закончит раньше. В карточке обязательно оставляйте вычисления, а не только рисунок." | Выбирают карточку, записывают номер варианта и готовят координатную плоскость. |
7 мин | Учитель контролирует работу и напоминает: "Не начинайте с рисования. Сначала выпишите коэффициенты, найдите вершину и ось симметрии, затем составьте таблицу. Если сомневаетесь, поставьте рядом с шагом вопросительный знак и переходите к следующему действию — мы вернёмся к затруднению." Учитель адресно помогает вопросами: "Какой знак у $a$? Относительно какой прямой должны быть симметричны точки?" | Для базового варианта строят график $y=x^2+2x-3$; для повышенного — $y=-2x^2+8x-5$; выполняют вычисления, составляют таблицу, отмечают вершину, ось симметрии и точки. |
2 мин | Учитель просит завершить вычисления и провести самопроверку: "Поставьте рядом с каждым пунктом чек-листа знак плюс или вопросительный знак. Отдельно проверьте подстановкой координаты вершины и одного значения из таблицы." | Проверяют пять пунктов, подставляют координаты в формулу, исправляют обнаруженные ошибки и подписывают график. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельное построение завершено. Теперь важно не просто получить рисунок, а научиться профессионально проверять работу другого человека по понятным критериям."
Этап 6. Взаимопроверка и анализ типичных ошибок (7 мин)
Цель этапа: научиться находить и объяснять ошибки в построении графика, используя критерии проверки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель организует приём «Две звезды и пожелание»: "Обменяйтесь тетрадями с соседом. Сначала найдите два сильных места: например, верно найденную вершину или аккуратную симметрию. Затем запишите одно конкретное пожелание: что именно проверить или исправить. Оценку ставим только после анализа." | Читают решение партнёра, отмечают два верных действия и записывают одно конкретное замечание. |
3 мин | Учитель показывает два ошибочных графика: "На первом графике функция имеет $a<0$, но ветви направлены вверх. На втором неверно найдена абсцисса вершины из-за знака коэффициента $b$. Найдите ошибку, назовите её причину и предложите исправление." | Работают в парах, указывают: "В первом случае неверно определено направление ветвей"; "Во втором нужно использовать $x_0=-\frac{b}{2a}$ и внимательно подставить $b$ со знаком". |
2 мин | Учитель подводит к выводу: "Какая ошибка наиболее опасна? Почему одной точки недостаточно для построения? Как график помогает проверить вычисления?" | Формулируют вывод: "Ошибка в вершине смещает весь график"; "Одной точки недостаточно, нужны симметричные точки"; "График позволяет увидеть несоответствие формуле". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что большинство ошибок связано не со сложными вычислениями, а с нарушением порядка действий и невнимательностью к знакам. Осталось проверить, насколько каждый из вас освоил алгоритм лично."
Этап 7. Рефлексия, оценивание и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: оценить степень освоения алгоритма, зафиксировать затруднения и определить дальнейшую тренировку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт лист самооценки: "Отметьте один вариант напротив каждого утверждения: могу выполнить сам, могу с подсказкой, пока затрудняюсь. Утверждения такие: определить направление ветвей; найти вершину; провести ось симметрии; составить таблицу; проверить график." | Заполняют лист самооценки, отмечают один наиболее трудный шаг. |
2 мин | Учитель проводит приём «Билет на выход»: "На отдельной полоске ответьте на два вопроса: какой шаг алгоритма является главным для построения; какую ошибку вы теперь умеете находить? Ответ должен быть конкретным." | Пишут ответы: "Сначала нужно найти вершину и ось симметрии"; "Я умею находить ошибку в знаке при вычислении $x_0$". |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание и критерии: "Выберите уровень с учётом сегодняшней самооценки. Важно не количество, а полная запись алгоритма и проверка графика. На следующем уроке мы будем использовать графики для решения задач и анализа свойств функции." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, сдают билеты на выход. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно определены коэффициенты и направление ветвей, правильно найдены вершина и ось симметрии, составлена таблица минимум из пяти значений, график построен аккуратно, выполнена проверка по всем пяти критериям; допущено не более одной несущественной описки.
- «4» — алгоритм в целом выполнен верно, но допущена одна вычислительная или графическая ошибка, не нарушившая понимания способа; после взаимопроверки ошибка исправлена.
- «3» — выполнены основные шаги алгоритма, но допущены две ошибки, например неверно найдено значение функции или недостаточно точек; ученик может исправить решение с помощью чек-листа и подсказки.
- Ниже отметки «3» — не определены ключевые параметры функции, отсутствует обоснование построения или график не соответствует формуле даже после подсказки.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового или более уверенного вы сегодня смогли сделать при построении графика? | Выявление осознанного результата и субъективной динамики уверенности. |
На каком шаге алгоритма возникло наибольшее затруднение: вершина, таблица, точки или проведение параболы? | Выявление точек затруднения для последующей коррекционной работы. |
Как вы проверили, что построенный график соответствует формуле? | Проверка понимания критериев самоконтроля, а не только механического построения. |
Какая типичная ошибка может привести к неверному ответу в задании ОГЭ? | Связь практической работы с экзаменационным форматом и профилактика тревожности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы отработали не отдельный рисунок, а универсальный алгоритм построения графика квадратичной функции. Самая частая ошибка — потеря знака при вычислении координаты вершины или значения функции, поэтому проверяйте каждую подстановку. Если график не получился сразу, возвращайтесь к чек-листу и проверяйте шаги по порядку. На следующем уроке мы используем график для определения свойств функции и решения задач экзаменационного формата."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Построить графики двух функций вида $y=ax^2+bx+c$: одну с ветвями вверх и одну с ветвями вниз. Для каждой функции найти вершину, ось симметрии, составить таблицу минимум из пяти значений и выполнить проверку по чек-листу. | Закрепляет полный алгоритм; при проверке обратить внимание на знаки коэффициентов, координаты вершины и симметрию точек. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задания по готовым графикам: определить координаты вершины, ось симметрии, нули функции и направление ветвей; один график сопоставить с подходящей формулой из предложенных вариантов. | Развивает чтение графика и связь между формулой и изображением; проверять аргументацию каждого выбора. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить функцию, график которой имеет заданную вершину, например $V(2;-3)$, и ветви направлены вверх, затем построить её график и объяснить, как изменение коэффициента $a$ влияет на ширину параболы. | Развивает умение создавать математическую модель и анализировать влияние параметров; проверять соответствие формулы заданным свойствам. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как определить направление ветвей по коэффициенту $a$?», «По какой формуле находят абсциссу вершины?», «Почему для построения удобно брать симметричные значения $x$?», «Какими двумя способами можно проверить правильность графика?»
