Квадратичная функция y = ax² и y = ax² + c: график, вершина и ось симметрии
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться строить по пяти–семи точкам графики функций y = ax² и y = ax² + c, определять направление ветвей, координаты вершины и уравнение оси симметрии параболы, а также объяснять влияние коэффициентов a и c на график.
- Сформировать представление о графике функции y = ax² как о параболе, её вершине и оси симметрии.
- Научиться составлять таблицу значений и строить график функции y = ax² по алгоритму.
- Научиться получать график функции y = ax² + c из графика y = ax² параллельным переносом вдоль оси Oy.
- Развивать умение читать график, аргументировать выводы и выполнять задания, аналогичные заданиям ОГЭ.
- Воспитывать аккуратность построений, уверенность при решении экзаменационных задач и готовность проверять результат.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность графического способа представления зависимости и его использование в заданиях ОГЭ.
- Проявляют положительное отношение к самостоятельному преодолению затруднений при построении графиков.
- Понимают значение аккуратности, самоконтроля и проверки результата при выполнении математической работы.
- Формируют адекватную самооценку готовности решать задания по теме.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки параболы, сравнивают графики функций и устанавливают причинно-следственные связи между формулой и положением графика.
- Планируют последовательность построения графика и контролируют соответствие результата заданным свойствам функции.
- Извлекают информацию из формулы, таблицы и графика, переводят её из одной формы представления в другую.
- Формулируют выводы, участвуют в обсуждении и аргументируют ответ математическими терминами.
Предметные
- Знать определение квадратичной функции вида y = ax², где a ≠ 0, и основные свойства её графика.
- Уметь строить график функции y = ax² по таблице значений и определять координаты вершины и уравнение оси симметрии.
- Уметь определять направление ветвей параболы по знаку коэффициента a.
- Знать, что график функции y = ax² + c получается из графика y = ax² вертикальным переносом на c единиц.
- Уметь определять вершину и ось симметрии графика y = ax² + c, а также читать по графику промежутки знакопостоянства и наибольшее или наименьшее значение.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают личную ответственность за точность построения и обоснованность ответа.
- Связывают изучаемый материал с подготовкой к ОГЭ и дальнейшим выбором образовательной траектории.
- Преодолевают тревожность через выполнение посильных шагов алгоритма.
- Оценивают собственное продвижение по критериям урока.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Планируют построение графика: выбрать значения x, вычислить y, отметить точки, провести параболу, проверить симметрию.
- Осуществляют пошаговый самоконтроль по эталону.
- Обнаруживают ошибки в таблице или чертеже и корректируют их.
Познавательные УУД
- Выявляют закономерность симметрии значений функции при противоположных значениях аргумента.
- Сравнивают графики y = ax² и y = ax² + c.
- Моделируют зависимость с помощью таблицы, координатной плоскости и формулы.
- Анализируют влияние знака и значения коэффициентов a и c на график.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают гипотезы в парах и формулируют общий вывод.
- Задают уточняющие вопросы о вершине, оси симметрии и направлении ветвей.
- Аргументируют выбор ответа при анализе графика.
- Корректно сравнивают решения одноклассников и предлагают исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображения координатных плоскостей с графиками функций y = x², y = 2x², y = −x², y = x² + 3 и y = x² − 2.
- Вывести на доску или экран памятку: «Знак a — направление ветвей; c — вертикальный перенос; вершина y = ax² + c — точка (0; c); ось симметрии — x = 0».
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся класса.
- Подготовить листы самооценки со строками «строю таблицу», «определяю ветви», «нахожу вершину», «нахожу ось симметрии», «объясняю перенос».
- Подготовить по одному листу с координатной сеткой на каждого ученика и запасные листы для исправлений.
- Подготовить маркеры или цветные мелки для выделения вершины и оси симметрии.
- Разместить на доске проблемный вопрос: «Как по формуле быстро понять, где находится вершина параболы и как она выглядит?»
- Подготовить таймер на 3 минуты для самостоятельной работы и карточки зелёного, жёлтого и красного цвета для приёма «Светофор».
- Подготовить эталонные графики и ответы для самопроверки, не показывая их до окончания самостоятельной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность, связать тему с практикой ОГЭ и создать ситуацию познавательного затруднения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, линейки, ручки и карандаша. Сегодня нам особенно понадобится точность: график должен быть не приблизительным рисунком, а математической моделью. Запишите дату и приготовьтесь работать с координатной плоскостью." | Проверяют принадлежности, открывают тетради, записывают дату и готовят координатные сетки. |
2 мин | Учитель показывает на экране два графика, один из которых является параболой, и говорит: "Посмотрите на изображения. Какой график напоминает траекторию полёта предмета или форму отражателя? Как по формуле заранее понять, будет ли парабола направлена вверх или вниз? На ОГЭ подобный анализ часто выполняется без полного построения. Сегодня мы научимся делать это уверенно." | Рассматривают графики, предполагают: "Парабола направлена вверх, если коэффициент положительный"; формулируют вопрос: "Как определить вершину и ось симметрии?" |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что график позволяет быстро получить сведения о функции. Сейчас проверим, какие знания о координатной плоскости и степенной функции понадобятся для открытия нового алгоритма."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия функции, аргумента, значения функции и симметрии, обнаружить необходимость нового способа построения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске функции y = x² и y = −x²: "Вспомните, что обозначает x, а что обозначает y. Составьте устно несколько пар значений. Что произойдёт со значением y, если заменить x на −x? Не торопитесь: нам важна не только цифра, но и закономерность." | Отвечают: "x — аргумент, y — значение функции"; составляют пары: (−2; 4), (−1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4); формулируют: "При x и −x значения y совпадают". |
2 мин | Учитель предлагает приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Сначала самостоятельно определите, какие точки будут симметричны относительно оси Oy. Затем обсудите с соседом и назовите общий вывод. На доске пока только две оси координат, поэтому объясняйте словами." | Записывают по два примера симметричных точек, обсуждают в парах, сообщают: "Точки с координатами (x; y) и (−x; y) симметричны относительно оси Oy". |
2 мин | Учитель предъявляет формулу y = 2x² + 3 и спрашивает: "Попробуйте назвать вершину и ось симметрии, не строя график. Получается ли это сделать сразу? Что пока неизвестно?" Учитель фиксирует на доске ответы и затруднение. | Предполагают: "Вершина, вероятно, находится на оси Oy, но её координаты нужно обосновать"; формулируют затруднение: "Нужно понять влияние коэффициентов 2 и 3". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили симметрию значений для x², но пока не умеем обосновывать положение вершины функции y = ax² + c. Значит, нам необходимо открыть свойства параболы и вывести понятный алгоритм построения."
Этап 3. Постановка учебной задачи и планирование (3 мин)
Цель этапа: сформулировать цель урока и спланировать действия по её достижению.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель обращается к классу: "Сформулируйте цель так, чтобы в ней было видно измеримое действие. Не просто ‘изучить параболу’, а что именно мы должны уметь сделать к концу урока?" | Формулируют цель: "Научиться строить графики y = ax² и y = ax² + c, находить вершину и ось симметрии, определять направление ветвей". |
2 мин | Учитель записывает план: "Сначала построим базовый график y = x², затем выясним роль a, после этого исследуем перенос на c и проверим себя заданием экзаменационного типа. Каждый шаг будем сопровождать выводом в тетради." | Записывают план урока, задают уточняющие вопросы, выбирают рабочую пару для обсуждения. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель поставлена, последовательность действий определена. Переходим к исследованию базовой параболы и превращаем наблюдения в правила."
Этап 4. Открытие нового знания (11 мин)
Цель этапа: вывести свойства графиков функций y = ax² и y = ax² + c через построение, сравнение и формулировку закономерностей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель говорит: "Построим график y = x². Возьмём значения x: −2, −1, 0, 1, 2. Вычислим y и отметим точки. Посмотрите на получившийся рисунок: как называется такая линия? Где расположена её вершина? Относительно какой оси она симметрична?" Учитель демонстрирует таблицу: x: −2, −1, 0, 1, 2; y: 4, 1, 0, 1, 4. | Заполняют таблицу, отмечают точки (−2;4), (−1;1), (0;0), (1;1), (2;4), соединяют их плавной линией. Отвечают: "Это парабола; вершина (0;0); ось симметрии Oy, то есть x = 0". |
3 мин | Учитель показывает графики y = 2x² и y = −x²: "Сравните их с y = x². Что изменилось при a = 2? Что изменилось при a = −1? Сформулируйте правило по знаку a. Обратите внимание: коэффициент влияет на растяжение или сжатие, но вершина остаётся в начале координат." | Сравнивают графики, формулируют: "При a > 0 ветви направлены вверх, при a < 0 — вниз"; замечают, что при увеличении |a| парабола становится уже, при уменьшении |a| — шире. |
2 мин | Учитель записывает: "Теперь рассмотрим y = ax² + c. Сравним y = x² и y = x² + 3. Каждое значение функции увеличилось на 3. Куда переместились все точки?" Затем показывает y = x² − 2 и спрашивает: "А теперь направление переноса?" | Наблюдают перенос графика вверх на 3 единицы и вниз на 2 единицы; формулируют: "График y = ax² + c получается вертикальным переносом графика y = ax² на c единиц". |
2 мин | Учитель обобщает: "Если x = 0, то y = c. Значит, вершина функции y = ax² + c имеет координаты (0; c). Поскольку значения при x и −x совпадают, ось симметрии остаётся прежней: x = 0. Запишите эти выводы в виде памятки." | Записывают правила, выделяют вершину цветом и подчёркивают уравнение оси симметрии. |
Запись в тетрадях
- График функции y = ax², где a ≠ 0, — парабола с вершиной в точке (0; 0) и осью симметрии x = 0.
- Если a > 0, ветви параболы направлены вверх; если a < 0, ветви направлены вниз.
- Чем больше |a|, тем уже парабола; чем меньше |a|, тем шире парабола.
- График y = ax² + c получается из графика y = ax² переносом вдоль оси Oy на c единиц.
- Вершина графика y = ax² + c — точка (0; c), ось симметрии — прямая x = 0.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли общий алгоритм: сначала смотрим на знак и модуль a, затем учитываем вертикальный перенос c, после чего называем вершину и ось симметрии. Теперь проверим эти свойства на конкретных графиках и научимся объяснять ответ."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм анализа параболы через сравнение формул и графиков с проговариванием каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки с функциями y = 3x², y = −2x², y = x² + 4 и y = −x² − 1: "Работаем в парах. Для каждой функции назовите знак a, направление ветвей, вершину и ось симметрии. Не рисуйте полный график, используйте памятку. Один ученик объясняет, второй записывает, затем поменяйтесь ролями." | В парах анализируют четыре функции и заполняют таблицу: функция, знак a, ветви, вершина, ось симметрии. |
3 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками с соседней парой. Проверьте не только ответы, но и наличие объяснения. Если видите ошибку, поставьте рядом вопросительный знак и устно объясните, какое правило нарушено." | Проверяют работы по памятке, исправляют ошибки. Например, для y = −x² − 1 называют вершину (0;−1), ветви вниз, ось x = 0. |
2 мин | Учитель предлагает вопрос повышенного уровня: "Какая из функций имеет вершину ниже оси Ox: y = 2x² − 5 или y = −3x² + 2? Какая имеет наименьшее значение? Обоснуйте ответ без построения." | Сравнивают значения c, отвечают: "У y = 2x² − 5 вершина (0;−5), она ниже оси Ox; минимальное значение равно −5". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже умеете читать основные свойства непосредственно по формуле. Теперь каждый самостоятельно проверит, может ли выполнить построение и анализ без подсказки пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма построения и анализа функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и говорит: "Выберите уровень по своей готовности. Ошибка сейчас — не повод для тревоги, а способ понять, что нужно повторить. Уровень 1: проанализируйте y = x² − 3. Уровень 2: постройте по пяти точкам график y = −x² + 2 и назовите его свойства. Уровень 3: сравните графики y = 2x² − 1 и y = 2x² + 3 и объясните их взаимное расположение. На работу пять минут." | Индивидуально выполняют выбранный вариант. В уровне 2 составляют таблицу для x = −2, −1, 0, 1, 2, отмечают вершину и ось симметрии. |
3 мин | Учитель открывает эталон на экране: "Проверьте себя по пунктам: формула распознана, таблица без вычислительных ошибок, вершина отмечена, ось симметрии подписана, направление ветвей указано. Исправления выполняйте другим цветом." | Сверяют решение с эталоном, исправляют ошибки, отмечают в листе самооценки освоенные действия. |
Эталон решения
Для функции $y=-x^2+2$: при $x=-2$ получаем $y=-2$, при $x=-1$ — $y=1$, при $x=0$ — $y=2$, при $x=1$ — $y=1$, при $x=2$ — $y=-2$. Точки: $(-2;-2)$, $(-1;1)$, $(0;2)$, $(1;1)$, $(2;-2)$. Так как $a=-1<0$, ветви направлены вниз. Вершина — $(0;2)$, ось симметрии — $x=0$, наибольшее значение функции равно $2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная проверка показала, какие шаги уже выполняются уверенно. Осталось связать свойства параболы с заданиями на чтение графика и закрепить результат в реальном экзаменационном формате."
Этап 7. Включение в систему знаний и подготовка к ОГЭ (4 мин)
Цель этапа: применить новое знание в задании на выбор верного утверждения и закрепить функциональную грамотность чтения графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на экране график параболы с вершиной (0;−2), ветвями вверх и спрашивает: "Запишите возможную формулу этой функции из предложенных вариантов: y = x² + 2, y = −x² − 2, y = 2x² − 2. Объясните выбор по двум признакам." | Выбирают y = 2x² − 2, называют признаки: "ветви направлены вверх, вершина имеет ординату −2". |
2 мин | Учитель продолжает: "Что изменится, если заменить формулу на y = 2x² + 1? Где будет новая вершина? На сколько единиц переместится график? Это тип рассуждения, который помогает не строить рисунок заново." | Отвечают: "График поднимется на 3 единицы, новая вершина будет (0;1), ось симметрии останется x = 0". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы применили свойства параболы без полного построения и увидели, как быстро решать задания по формуле и графику. Завершим урок оценкой собственного результата и формулировкой следующего шага."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осмыслить освоенные способы действий, выявить затруднения и сообщить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель предлагает приём "Светофор": "Поднимите зелёную карточку, если вы можете по формуле определить ветви, вершину и ось симметрии; жёлтую — если нужна тренировка; красную — если пока требуется моя помощь. Это не оценка, а сигнал для планирования следующего урока." | Поднимают карточки, фиксируют в листе самооценки действие, которое нужно повторить. |
1 мин | Учитель задаёт вопросы: "Что изменяет коэффициент a? Что изменяет число c? Почему ось симметрии остаётся x = 0? Назовите один признак, по которому можно проверить свой график." | Отвечают: "a определяет направление и ширину параболы; c переносит график вверх или вниз; ось x = 0 сохраняется; значения при x и −x должны совпадать". |
1 мин | Учитель объявляет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень и, при желании, добавьте повышающий или дополнительный. Перед сдачей проверьте каждый график по пяти пунктам памятки." | Записывают домашнее задание и задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились видеть свойства параболы непосредственно по формуле, строить её по точкам и объяснять вертикальный перенос. Следующий урок начнём с короткой проверки этих умений и перейдём к более общему виду квадратичной функции."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнен выбранный вариант самостоятельной работы, построение содержит не менее пяти корректных точек, вершина и ось симметрии обозначены, направление ветвей обосновано, вычисления и запись аккуратны.
- «4» — допущена одна неточность в таблице, обозначении или объяснении, но формула, вершина и основное направление ветвей определены верно; ошибка исправлена при самопроверке.
- «3» — правильно определён хотя бы один ключевой признак параболы и выполнена часть построения, но допущены две существенные ошибки, например неверно указаны вершина или направление переноса.
- Ниже «3» — алгоритм пока не освоен полностью; необходимо повторить памятку и выполнить базовое задание с пошаговой помощью учителя.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о графике функции y = ax²? | Выявление осознания основных свойств параболы и предметного результата. |
Как по формуле y = ax² + c быстро найти вершину и ось симметрии? | Проверка понимания алгоритма и связи формулы с графиком. |
На каком шаге построения или анализа возникло затруднение? | Выявление конкретной точки затруднения для коррекции на следующем уроке. |
Какое утверждение вы теперь можете обосновать без построения графика? | Оценка переноса знания в новое задание и готовности к формату ОГЭ. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы заложили основу для изучения графиков квадратичных функций. Теперь вы умеете по знаку коэффициента определить направление ветвей, по числу c найти вершину и объяснить вертикальный перенос параболы. Типичная ошибка — перепутать координату вершины с коэффициентом a, поэтому всегда подставляйте x = 0 и проверяйте значение функции. Не бойтесь заданий ОГЭ: сложное задание распадается на последовательность понятных шагов. На следующем уроке мы продолжим исследование квадратичной функции и будем применять эти свойства к более разнообразным задачам."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на анализ функций вида y = ax² + c: для каждой функции указать знак a, направление ветвей, координаты вершины, ось симметрии и значение функции в вершине. Построить один график по пяти точкам. | Закрепляет чтение свойств по формуле и базовый алгоритм построения; при проверке обратить внимание на знак a, координату c и симметрию точек. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3 задания экзаменационного типа: по графику определить возможную формулу, сравнить две параболы с одинаковым a и разными c, определить наибольшее или наименьшее значение функции. | Формирует умение переходить от графика к формуле и применять свойства без полного построения; проверить наличие краткого обоснования каждого ответа. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную пару функций вида y = ax² + c с одинаковым a и разными c, построить оба графика на одной координатной плоскости и написать 4 вывода об их взаимном расположении и свойствах. | Развивает исследовательское и творческое применение знаний; проверить корректность выбранных коэффициентов, координат вершин и формулировок выводов. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как направлены ветви параболы y = −4x²?», «Каковы вершина и ось симметрии функции y = 3x² − 7?», «На сколько и в каком направлении нужно перенести график y = 2x², чтобы получить y = 2x² + 5?»
