Функции: способы задания, область определения и область значений
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать функцию, определять её область определения и область значений по формуле, таблице и графику, а также решать типовое задание формата ОГЭ с результатом не менее неверных ответов из 3 заданий.
- Образовательная задача: актуализировать понятия зависимости, аргумента, значения функции, области определения и области значений.
- Развивающая задача: формировать умение анализировать формулу, таблицу и график, устанавливать соответствие между различными способами задания функции.
- Метапредметная задача: развивать навыки планирования решения, аргументации ответа и самопроверки по заданному алгоритму.
- Воспитательная задача: снижать тревожность перед ОГЭ через освоение понятного алгоритма и формировать ответственное отношение к самостоятельной проверке результата.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую и экзаменационную значимость умения работать с функциями.
- Проявляют готовность спокойно разбирать затруднение и исправлять ошибку по алгоритму.
- Развивают уверенность в собственных математических возможностях через выполнение заданий посильного и повышенного уровня.
- Понимают ценность точной записи условия, ответа и проверки результата.
Метапредметные
- Извлекают информацию из формулы, таблицы и графика, переводят её из одной формы в другую.
- Сравнивают способы задания функции и выделяют существенные признаки.
- Планируют последовательность решения и контролируют соответствие ответа условию.
- Аргументируют выбор ответа в паре, используют математическую терминологию.
- Применяют приём самопроверки и фиксируют индивидуальное затруднение.
Предметные
- Знать определения функции, аргумента, значения функции, области определения и области значений.
- Уметь определять значение функции по формуле и таблице.
- Уметь находить область определения простой функции по её формуле.
- Уметь читать область определения и область значений по графику.
- Уметь решать типовые задания на установление соответствия между формулой, таблицей и графиком.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают личную ответственность за результат выполнения задания.
- Соотносят изучаемый материал с подготовкой к ОГЭ и будущей профессиональной деятельностью.
- Формируют устойчивую мотивацию к преодолению математических затруднений.
- Оценивают собственную готовность применять алгоритм без подсказки.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют учебную цель урока.
- Планируют действия при определении области определения и области значений.
- Проверяют вычисления и смысл полученного ответа.
- Находят ошибку, объясняют её причину и корректируют решение.
- Оценивают результат по критериям и сигналам светофора.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки функции и классифицируют способы её задания.
- Устанавливают причинно-следственную связь между ограничениями формулы и областью определения.
- Моделируют зависимость с помощью таблицы и графика.
- Сравнивают математические объекты и делают вывод на основании данных.
- Используют знаково-символические средства записи.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопрос и дают точный ответ с использованием терминов.
- Обсуждают решение в паре и договариваются о едином варианте.
- Аргументируют, почему число входит или не входит в область определения.
- Корректно указывают на ошибку партнёра и принимают обоснованное замечание.
- Представляют общий вывод классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или записи на доске: определения функции, области определения и области значений, алгоритм чтения графика.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на пару, всего 15–16 экземпляров.
- Распечатать индивидуальные карточки трёх уровней: по одной на каждого ученика.
- Подготовить цветные карточки светофора или предусмотреть сигналы пальцами.
- Подготовить слайд с тремя заданиями формата ОГЭ и отдельным эталоном решений для самопроверки.
- Раздать каждому ученику лист самооценки с пунктами «Я могу определить область определения», «Я могу прочитать область значений по графику», «Я умею проверить ответ».
- Подготовить маркеры, магниты, линейку, тетради и таймер на 2–4 минуты.
- На доске заранее оставить место для темы, алгоритма и итоговой схемы: «формула — таблица — график».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: "Здравствуйте, ребята. На столе должны быть тетрадь, ручка и линейка. Сегодня мы будем не просто вспоминать функции, а учиться быстро читать информацию о них так, как это требуется в заданиях ОГЭ. Ошибаться на этапе обучения нормально: наша задача — понять причину ошибки и научиться её предупреждать." | Проверяют готовность, открывают тетради, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на экране ситуацию: "В приложении стоимость поездки зависит от расстояния, а температура зависит от времени. Что в этих примерах меняется? Можно ли каждому значению одной величины сопоставить значение другой? Как математика записывает такую зависимость?" Учитель фиксирует ответы и объявляет тему. | Формулируют предположения: «Одна величина зависит от другой», «такую зависимость можно задать формулой, таблицей или графиком»; записывают тему. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что функция описывает реальные зависимости. Теперь проверим, какие элементы этого понятия вы уже умеете распознавать и где возникает затруднение."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: восстановить базовые понятия и выявить необходимость нового алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Тонкие и толстые вопросы»: "Что называют функцией? Что такое аргумент? Как обозначают значение функции? Чем таблица отличается от графика? Теперь ответьте на более сложный вопрос: можно ли подставить в формулу любое число?" Учитель записывает ключевые слова на доске. | Отвечают: «Функция — зависимость, при которой каждому допустимому значению аргумента соответствует единственное значение функции»; называют $x$ аргументом, $y$ значением функции; предполагают: «Не любое число, например знаменатель не должен быть равен нулю». |
3 мин | Учитель раздаёт парам мини-карточку: $y=\frac{3}{x-2}$. Реплика: "За две минуты определите, какие значения $x$ нельзя подставлять. Запишите не только ответ, но и причину. Затем подумайте, как показать допустимые значения на числовой прямой." | В парах находят ограничение $x-2\ne0$, получают $x\ne2$, формулируют: «Область определения — все действительные числа, кроме 2». Одна пара объясняет решение классу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем находить отдельные ограничения, но нам нужен общий порядок действий и умение читать не только формулу, но и график. Сформулируем цель, которая поможет устранить это затруднение."
Этап 3. Постановка учебной задачи и планирование (4 мин)
Цель этапа: сформулировать цель урока и спланировать открытие нового способа действия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Перед вами три записи одной зависимости: формула, таблица и график. Как по каждой из них определить, какие значения допустимы и какие значения принимает функция? Что нужно уметь сделать, чтобы уверенно решить подобное задание на ОГЭ?" Учитель принимает формулировки и записывает план: «вспомнить термины — вывести алгоритм — применить — проверить». | Формулируют цель: «Научиться определять область определения и область значений функции по разным способам задания». Записывают план действий. |
2 мин | Учитель уточняет критерий результата: "К концу урока вы должны уметь объяснить каждый шаг алгоритма, решить три задания и назвать место собственной ошибки, если она появится. Работать будем сначала вместе, затем в парах и индивидуально." | Записывают критерий успеха, задают уточняющие вопросы, выбирают цвет карточки уверенности: зелёный, жёлтый или красный. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена, план есть. Переходим к главному — сами выведем алгоритм работы с функцией по формуле и графику."
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: открыть и зафиксировать алгоритмы определения области определения и области значений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает на доске три формулы: $y=2x-5$, $y=\frac{4}{x+1}$, $y=\sqrt{x-3}$. Реплика: "Рассуждаем последовательно. В первой формуле ограничений нет. Во второй знаменатель не равен нулю, поэтому $x+1\ne0$. В третьей выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x-3\ge0$. Что меняется в каждом случае?" | По очереди формулируют ограничения: для первой функции $x\in\mathbb R$; для второй $x\ne-1$; для третьей $x\ge3$. Записывают область определения. |
3 мин | Учитель показывает схематичный график функции с отмеченными точками по оси $x$ от $-2$ до $4$, а по оси $y$ — от $1$ до $5. Обращается к классу: "Чтобы найти область определения по графику, мысленно спроецируйте график на ось $Ox$. Какие значения $x$ встречаются? А чтобы найти область значений, спроецируйте график на ось $Oy$. Какие значения $y$ встречаются? Не забывайте учитывать пустые и закрашенные точки." | Проводят мысленные проекции графика на оси, называют интервалы и учитывают вид точек: «Закрашенная точка входит, пустая не входит». Записывают два правила. |
2 мин | Учитель организует «Сократовский диалог»: "Почему область определения связана с осью $Ox$? Почему нельзя искать её по высоте графика? Как проверить найденную область определения по формуле?" Учитель формулирует итоговый алгоритм на доске. | Объясняют: «Аргумент откладывается по оси $Ox$», «по формуле проверяем ограничения», «для дроби исключаем нули знаменателя, для корня требуем неотрицательность подкоренного выражения». |
Запись в тетрадях
1. Область определения функции — множество допустимых значений аргумента $x$.
2. Область значений функции — множество значений $y$, которые принимает функция.
3. Алгоритм: по формуле найти ограничения на $x$; по графику спроецировать его на $Ox$ для области определения и на $Oy$ для области значений; проверить границы и вид точек.
2. Область значений функции — множество значений $y$, которые принимает функция.
3. Алгоритм: по формуле найти ограничения на $x$; по графику спроецировать его на $Ox$ для области определения и на $Oy$ для области значений; проверить границы и вид точек.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели общий алгоритм: формула показывает ограничения, а график читается проекциями на оси. Сейчас проверим алгоритм на типовых заданиях и проговорим каждое действие."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: применить алгоритм в парной работе и научиться аргументировать ответ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки с заданием 1: "Для функции $y=\frac{5}{2x-6}$ найдите область определения. Запишите ограничение, решите его и сформулируйте ответ. В паре один ученик объясняет, второй проверяет запись по алгоритму; через минуту поменяйтесь ролями." | В парах записывают $2x-6\ne0$, $x\ne3$, формулируют $D(y)=(-\infty;3)\cup(3;+\infty)$; взаимно проверяют два шага. |
3 мин | Учитель показывает график на карточке 2 и говорит: "Определите область определения и область значений по графику. Обязательно укажите, почему концы промежутка включаются или не включаются. Сверяйте не только числа, но и обозначения скобками." | Проводят проекции графика на оси, записывают интервалы, объясняют включение концов по закрашенным точкам; сравнивают ответы с соседней парой. |
2 мин | Учитель проводит проверку приёмом «Две звезды и пожелание»: "Назовите два удачных действия в решении другой пары и одно пожелание по записи или обоснованию. Ошибку обсуждаем без оценивания личности." | Обмениваются карточками, отмечают два достоинства и один способ улучшения, исправляют обнаруженные неточности. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парной работе вы не только получили ответы, но и объяснили, почему они верны. Теперь каждый самостоятельно проверит, насколько алгоритм уже стал вашим собственным способом действия."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма и выполнить задания в формате ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки: "Выполните три задания. 1) Найдите область определения $y=\sqrt{2x+4}$. 2) По графику определите область значений. 3) Выберите формулу, у которой область определения — все числа, кроме $-2$: $y=\frac{1}{x+2}$ или $y=\sqrt{x+2}$. Записывайте ход рассуждений, а не только ответ." | Индивидуально решают: $2x+4\ge0$, $x\ge-2$; читают область значений по графику; выбирают $y=\frac{1}{x+2}$ и объясняют запрет знаменателя. |
3 мин | Учитель открывает эталон: "Проверьте себя по трём пунктам: ограничение записано верно, преобразование выполнено без ошибки, ответ оформлен с правильными скобками. Отметьте количество верных заданий и цветом обозначьте затруднение." | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки другим цветом, ставят себе 3, 2, 1 балл и поднимают карточку светофора. |
Эталон решения
1) Для $y=\sqrt{2x+4}$ подкоренное выражение неотрицательно: $2x+4\ge0$, $2x\ge-4$, $x\ge-2$. Поэтому $D(y)=[-2;+\infty)$.
2) Область значений определяется проекцией графика на ось $Oy$; концы включаются только при наличии закрашенных точек.
3) У функции $y=\frac{1}{x+2}$ знаменатель не может быть равен нулю: $x+2\ne0$, $x\ne-2$. У функции $y=\sqrt{x+2}$ область определения $[-2;+\infty)$, поэтому верен первый вариант.
2) Область значений определяется проекцией графика на ось $Oy$; концы включаются только при наличии закрашенных точек.
3) У функции $y=\frac{1}{x+2}$ знаменатель не может быть равен нулю: $x+2\ne0$, $x\ne-2$. У функции $y=\sqrt{x+2}$ область определения $[-2;+\infty)$, поэтому верен первый вариант.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, какой шаг уже выполняется уверенно, а какой требует внимания. Сейчас встроим алгоритм в общую систему знаний и разберём типичную ошибку со скобками и границами."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: обобщить способы работы с функцией, осознать результат и определить дальнейший шаг.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает заполнить схему «Формула — таблица — график»: "Назовите, какую информацию о функции даёт каждый способ задания. Где мы ищем область определения по формуле? Что читаем на графике?" Учитель дополняет схему на доске. | Заполняют три блока схемы и формулируют: «Формула даёт ограничения», «таблица показывает пары значений», «график позволяет читать области по проекциям на оси». |
3 мин | Учитель проводит рефлексию «Одноминутка»: "Закончите три фразы: «Сегодня я научился…», «Теперь я проверяю…», «Мне нужно повторить…». Затем ответьте на контрольный вопрос: почему число, обращающее знаменатель в ноль, не входит в область определения?" | Записывают три продолжения, отвечают: «При нулевом знаменателе выражение не имеет смысла», показывают цвет самооценки и формулируют личное затруднение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы открыли и проверили алгоритм работы с областью определения и областью значений. На следующем уроке применим его к более сложным функциям и графикам, а домашняя работа поможет закрепить базовый шаг без лишнего напряжения."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все 3 задания самостоятельной работы, ограничения обоснованы, интервалы и скобки записаны корректно, исправления сделаны осмысленно.
- «4» — верно выполнены 2 задания из 3, допущена одна неточность в оформлении или чтении границы, ход рассуждений в основном понятен.
- «3» — верно выполнено 1 задание из 3, ученик понимает отдельные шаги алгоритма, но нуждается в коррекции при работе с ограничениями или графиком.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали об области определения и области значений функции? | Выявление осознания ключевых понятий и результата урока. |
Какой шаг алгоритма оказался самым сложным? | Выявление точек затруднения для планирования коррекционной работы. |
Почему в функции $y=\frac{1}{x-3}$ число $3$ не входит в область определения? | Проверка понимания причины ограничения, а не механического запоминания. |
Насколько уверенно вы решите подобное задание на ОГЭ: зелёный, жёлтый или красный сигнал? | Субъективная оценка освоения темы и эмоционального состояния ученика. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились читать функцию сразу в нескольких формах: по формуле, таблице и графику. Главное правило — сначала определить допустимые значения аргумента, а затем внимательно проверить границы и скобки в ответе. Типичная ошибка — забыть, что знаменатель не может быть равен нулю, или неверно определить включение конца промежутка. Вы уже умеете предупреждать эту ошибку алгоритмом. На следующем уроке мы продолжим исследовать свойства функций и потренируемся работать с графиками в заданиях повышенной сложности."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задания на нахождение области определения функций: две дробно-рациональные функции и две функции с квадратным корнем; для каждого записать ограничение и ответ в виде промежутка. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на знаки неравенств и скобки. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задания на чтение области определения и области значений по графикам, включая один график с пустой и закрашенной точками; кратко объяснить каждую границу. | Развивает смысловое чтение графика и умение аргументировать включение концов. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить функцию, область определения которой состоит из всех действительных чисел, кроме выбранного числа $a$, и функцию с областью определения $[a;+\infty)$; построить эскизы графиков и объяснить выбор формул. | Формирует умение создавать математическую модель и связывать формулу с ограничением. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называют областью определения функции? Как найти её по формуле с дробью? Как читают область значений по графику? Что означает закрашенная точка на границе промежутка?»
