Функции и их свойства
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться по формуле, таблице или графику функции определять область определения, множество значений, нули, промежутки знакопостоянства, возрастание и убывание функции и применять эти свойства при выполнении типовых заданий ОГЭ.
- Систематизировать представления о функции как зависимости между переменными и установить связь между формулой, таблицей и графиком.
- Сформировать умение читать график функции и извлекать из него необходимую информацию.
- Развивать навыки анализа условия, алгоритмического рассуждения, самопроверки и аргументированного ответа.
- Снизить тревожность перед ОГЭ через освоение универсального алгоритма работы с графиком и формулой функции.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую и экзаменационную значимость умения исследовать функцию.
- Проявляют готовность проверять результат и исправлять ошибки без страха неудачи.
- Формируют ответственное отношение к самостоятельной подготовке к ОГЭ.
- Развивают уверенность в возможности решить незнакомое задание по понятному алгоритму.
Метапредметные
- Извлекают информацию из формулы, таблицы и графика, сопоставляют разные способы представления функции.
- Выделяют существенные признаки функции и структурируют свойства в таблице.
- Планируют решение по алгоритму, осуществляют самопроверку и коррекцию.
- Формулируют выводы, аргументируют ответы и взаимодействуют при работе в парах.
Предметные
- Знать определения области определения, множества значений, нуля функции, промежутков знакопостоянства, возрастания и убывания.
- Уметь определять свойства функции по её графику и простейшей формуле.
- Уметь находить нули функции и промежутки знакопостоянства по графику.
- Владеть алгоритмом анализа функции и применять его в заданиях экзаменационного формата.
- Уметь корректно записывать ответ с использованием математических обозначений.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель работы с темой с учётом подготовки к ОГЭ.
- Осознают значение точности записи и проверки ответа.
- Развивают смыслообразование через связь математического материала с реальными зависимостями.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока и составляют последовательность исследования функции.
- Контролируют соответствие ответа условию и единицам записи.
- Находят ошибку в решении, объясняют её причину и вносят исправления.
- Оценивают уровень собственного понимания с помощью листа самооценки.
Познавательные УУД
- Сравнивают графическое, табличное и аналитическое представление функции.
- Классифицируют свойства функции по полученной информации.
- Анализируют положение графика относительно осей координат.
- Моделируют зависимость между аргументом и значением функции.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре, распределяя роли аналитика и проверяющего.
- Формулируют полный ответ и задают уточняющие вопросы.
- Аргументируют выводы ссылкой на формулу или график.
- Корректно принимают замечания и согласовывают общий результат.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с графиком функции, таблицей значений и заданиями формата ОГЭ без номеров страниц и упражнений.
- Распечатать по одному листу самооценки и по одной карточке на каждого ученика: базовый, повышенный и дополнительный уровни.
- Подготовить по одной карточке на пару с графиком функции $y=x^2-4$ на отрезке $[-3;3]$.
- Вывести на доску или экран памятку: «Область определения — значения $x$; множество значений — значения $y$; нули — точки пересечения с осью $Ox$».
- Подготовить цветные маркеры, линейки, стикеры зелёного, жёлтого и красного цветов.
- Организовать на доске таблицу: «Свойство — как определить по графику — пример записи».
- Подготовить проектор или интерактивную доску и таймер на 2–3 минуты.
- Распечатать эталон решения для самостоятельной проверки: по одному экземпляру на парту.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать экзаменационную значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и линейки. Сегодня мы будем работать как исследователи: не просто строить график, а извлекать из него точные сведения. Это умение регулярно встречается в заданиях ОГЭ." | Проверяют готовность, записывают дату и тему урока. |
2 мин | Учитель показывает на экране график зависимости температуры воздуха от времени и спрашивает: "В какой момент температура была отрицательной? Когда она повышалась? Как быстро вы нашли ответ? Сегодня мы перенесём такой способ чтения информации на математический график функции." | Рассматривают график, называют промежутки и формулируют: "Информацию можно определить по положению графика относительно осей и по его направлению." |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы уже умеем читать информацию с обычного графика. Теперь выясним, какие математические свойства функции можно определить таким же способом и как это поможет на ОГЭ."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить понятия функции, аргумента, значения функции и координатной плоскости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Вспомните, что называют функцией. Чем является $x$ и чем является $y$ в записи $y=f(x)$? Сначала сформулируйте ответ самостоятельно, затем обсудите его с соседом." | Записывают определения, обсуждают в парах и предлагают ответы: "$x$ — аргумент, $y$ — значение функции; каждому допустимому $x$ соответствует единственное значение $y$." |
3 мин | Учитель показывает таблицу значений: $x$: $-2,-1,0,1,2$; $y$: $4,1,0,1,4$, и спрашивает: "Как получить точки графика? Что означает точка $(1;1)$? Какие координаты имеет точка с абсциссой $-2$?" | Строят или называют точки, отвечают: "Точка $(1;1)$ означает, что при $x=1$ значение функции равно $1$; при $x=-2$ получаем точку $(-2;4)$." |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, как функция связывает аргумент и значение и как таблица превращается в точки графика. Теперь определим, какие свойства можно увидеть, даже не вычисляя каждое значение."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно построить план исследования функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует график функции и задаёт вопрос: "Не выполняя вычислений для всех значений $x$, определите, где функция положительна, где отрицательна, где равна нулю и на каких промежутках возрастает. Какие сведения с графика вы уже можете получить, а какие пока записываете неуверенно?" | Пробуют ответить, отмечают затруднение при формулировке промежутков и называют: "Нужно понять, как график связан с осью $Ox$, осью $Oy$ и направлением движения слева направо." |
2 мин | Учитель фиксирует на доске план: "1) определить область определения и множество значений; 2) найти нули; 3) установить знакопостоянство; 4) определить возрастание и убывание; 5) проверить себя на задании формата ОГЭ. Сформулируйте цель урока." | Формулируют цель: "Научиться исследовать основные свойства функции по формуле и графику и записывать ответ в экзаменационном формате." |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема ясна: одного взгляда на график недостаточно, если мы не знаем алгоритма. Сейчас построим этот алгоритм и проверим его на конкретной функции."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформировать алгоритм определения основных свойств функции по формуле и графику.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает график $y=x^2-4$ и говорит: "Начинаем исследование слева направо. Область определения — все значения $x$, для которых график существует. Множество значений — все значения $y$, которых достигает график. Для этой параболы график существует при любых $x$, а наименьшее значение равно $-4$. Запишите: $D(f)=(-\infty;+\infty)$, $E(f)=[-4;+\infty)$." | Переносят в тетради обозначения и объясняют: "Аргумент может быть любым действительным числом, значение функции не меньше $-4$." |
3 мин | Учитель продолжает: "Нули функции — это значения аргумента, при которых $f(x)=0$. На графике они соответствуют пересечениям с осью $Ox$. Решим: $x^2-4=0$, значит $(x-2)(x+2)=0$, поэтому $x=-2$ и $x=2$. Между нулями график ниже оси, вне них — выше." | Записывают решение, отмечают точки пересечения $(-2;0)$ и $(2;0)$, формулируют: "$f(x)<0$ при $x\in(-2;2)$, $f(x)>0$ при $x\in(-\infty;-2)\cup(2;+\infty)$." |
3 мин | Учитель показывает стрелками направление графика: "Чтобы определить возрастание и убывание, движемся по графику слева направо. До вершины значения уменьшаются, после вершины увеличиваются. Значит, функция убывает на $(-\infty;0]$ и возрастает на $[0;+\infty)$." | Вписывают свойства в таблицу, объясняют, почему точка $x=0$ разделяет промежутки. |
Запись в тетрадях
- Область определения — значения $x$, при которых функция имеет смысл.
- Множество значений — значения $y$, которые принимает функция.
- Нули функции — решения уравнения $f(x)=0$, то есть абсциссы точек пересечения графика с осью $Ox$.
- Знак функции определяют по расположению графика выше или ниже оси $Ox$.
- Возрастание и убывание определяют при движении по графику слева направо.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "У нас появился единый алгоритм: область определения, множество значений, нули, знак, возрастание и убывание. Теперь применим его сначала вместе, а затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм анализа функции на графике в парной работе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам карточки с графиком функции и инструкцией: "Работаем по алгоритму. Один ученик называет свойство и показывает его на графике, второй записывает ответ и проверяет обозначения. Через минуту поменяйтесь ролями." | Распределяют роли, рассматривают график, отмечают пересечения с осями и крайние точки. |
3 мин | Учитель предлагает вопросы: "Назовите область определения и множество значений. Где функция равна нулю? На каких промежутках она положительна?" Учитель просит каждую пару обосновать один ответ ссылкой на график. | Записывают интервалы, отвечают: "Нули — абсциссы точек пересечения с осью $Ox$; положительные значения соответствуют участкам выше оси $Ox$." |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Сверьте ответы с парой рядом. Используйте приём «Две звезды и пожелание»: отметьте два правильных элемента и один момент, который следует проверить." | Сравнивают записи, отмечают два удачных ответа и формулируют одно исправление или рекомендацию. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы увидели, что свойства функции читаются по конкретным признакам графика. Теперь каждый проверит, может ли самостоятельно пройти весь алгоритм без подсказки пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма и выполнить задание экзаменационного типа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень, на котором сможете работать уверенно. Базовый вариант: по графику назвать область определения, множество значений и нули. Повышенный: дополнительно указать промежутки знакопостоянства, возрастания и убывания. Дополнительный: по формуле $f(x)=x^2-6x+5$ найти нули и определить промежутки знакопостоянства." | Индивидуально выполняют выбранный вариант, записывают свойства с интервальными обозначениями, при необходимости строят схематический график. |
2 мин | Учитель показывает эталон: "Проверьте не только ответ, но и способ. Если получили нули квадратного трёхчлена, проверьте их подстановкой. Ошибку не зачёркивайте полностью: подчеркните место затруднения и рядом запишите исправление." | Сверяют решения с эталоном, выделяют ошибки, выполняют самокоррекцию. |
2 мин | Учитель проводит приём "Светофор": "Зелёная карточка — могу исследовать функцию сам; жёлтая — путаю два свойства; красная — нужна пошаговая помощь. Поднимите карточку и отметьте в листе самооценки, что именно требует повторения." | Поднимают карточки, заполняют лист самооценки: «могу определить нули», «могу найти промежутки знакопостоянства», «могу определить монотонность». |
Эталон решения
Для дополнительного задания: $x^2-6x+5=0$; $(x-1)(x-5)=0$; нули $x=1$ и $x=5$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому $f(x)>0$ при $x\in(-\infty;1)\cup(5;+\infty)$ и $f(x)<0$ при $x\in(1;5)$. Значения в точках $1$ и $5$ равны нулю.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, какой шаг алгоритма уже стал уверенным. Ошибки в интервалах и знаках исправим не механически, а через вопрос: где находится график относительно оси $Ox$? Переходим к итоговому применению и рефлексии."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить способ исследования функции, оценить продвижение и определить дальнейшую работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Как по графику найти нули? Чем отличаются область определения и множество значений? Как определить возрастание? Назовите типичную ошибку при записи промежутков знакопостоянства." | Отвечают: "Нули — абсциссы пересечений с осью $Ox$; область определения — значения $x$, множество значений — значения $y$; движемся слева направо; нельзя включать нули в промежуток строгого знака." |
1 мин | Учитель предлагает "Билет на выход": "Запишите одно свойство функции, которое теперь определяете уверенно, и один вопрос, который хотите повторить." | Заполняют билет на выход и сдают его учителю. |
2 мин | Учитель объясняет домашнюю работу: "Выберите уровень по результатам самооценки. Перед уходом ответьте на два контрольных вопроса: что показывает пересечение с осью $Ox$ и как читается промежуток возрастания?" | Записывают домашнее задание, отвечают на контрольные вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы получили универсальный алгоритм чтения функции. На следующем уроке мы будем применять свойства функций при преобразовании графиков и решении более сложных заданий ОГЭ."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно определены не менее пяти свойств функции, корректно записаны нули и интервалы, приведено обоснование по графику или формуле, выполнена самопроверка.
- «4» — верно определены четыре свойства, допущена одна неточность в записи интервала или обосновании, исправленная при проверке.
- «3» — верно определены область определения, множество значений и хотя бы одно дополнительное свойство, но допущены ошибки в знакопостоянстве или монотонности.
- Ниже отметки «3» — ответ показывает необходимость повторить различие между областью определения и множеством значений и выполнить базовый вариант с опорой на памятку.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о чтении графика функции? | Выявление осознания основных свойств функции. |
Какое свойство вы определяете уверенно, а где нужна помощь? | Диагностика индивидуальных точек затруднения. |
Почему нули функции нельзя включать в промежутки, где функция положительна или отрицательна? | Проверка понимания строгих неравенств и знакопостоянства. |
Какой шаг алгоритма поможет вам на задании ОГЭ? | Связь нового знания с экзаменационной стратегией и снижение тревожности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились исследовать функцию не по догадке, а по последовательному алгоритму. Особенно внимательно проверяйте, какие значения относятся к оси $x$, а какие — к оси $y$, и не забывайте, что нули функции разделяют промежутки знакопостоянства. Ошибка в одном знаке не означает, что вы не умеете решать задачу: её нужно найти, объяснить и исправить. На следующем уроке мы применим этот алгоритм к преобразованиям графиков и новым заданиям ОГЭ."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания по готовым графикам: определить область определения, множество значений и нули функции. | Закрепляет чтение основных характеристик графика; при проверке обратить внимание на различие координат $x$ и $y$. |
Средний (повышающий) | Выполнить 4 задания на определение промежутков знакопостоянства, возрастания и убывания по графику; обосновать каждый ответ одной фразой. | Формирует умение переходить от изображения к интервальной записи и аргументировать решение. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать функцию $f(x)=x^2-6x+5$: найти нули, определить промежутки знакопостоянства, построить схематичный график и указать промежутки убывания и возрастания. | Развивает комплексное применение алгоритма и готовит к заданиям с формулой функции. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называют нулём функции?», «Как по графику определить область определения?», «Как записать промежуток, на котором функция отрицательна?»
