Свойства чётности и нечётности функции
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся научатся по формуле и графику определять, является ли функция чётной, нечётной или функцией общего вида, обосновывая ответ через область определения и равенство $f(-x)=f(x)$ либо $f(-x)=-f(x)$; точность выполнения диагностических заданий — не менее 70%.
- Сформировать представление о чётной и нечётной функциях, их аналитических признаках и симметрии графиков относительно оси ординат или начала координат.
- Научить применять алгоритм исследования функции на чётность и нечётность при решении типичных заданий, в том числе в формате ОГЭ.
- Развивать умение анализировать формулу и график, выявлять существенные условия, аргументировать вывод и проверять решение.
- Воспитывать ответственное отношение к математическому обоснованию ответа, уверенность при выполнении экзаменационных заданий и готовность исправлять ошибки.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность умения распознавать свойства функций при подготовке к ОГЭ и дальнейшем изучении математики.
- Проявляют готовность спокойно анализировать ошибку и использовать её для улучшения результата.
- Формируют ответственное отношение к записи полного математического обоснования.
- Оценивают собственный уровень понимания темы и определяют индивидуальный шаг для дальнейшей работы.
Метапредметные
- Извлекают информацию из формулы, графика и учебного текста, сопоставляют разные способы представления функции.
- Выделяют условие задачи, строят последовательность действий и проверяют результат по критериям.
- Формулируют выводы, используя математические термины «область определения», «симметрия», «чётная функция», «нечётная функция».
- Сотрудничают в паре, аргументируют ответ и корректно оценивают решение одноклассника.
Предметные
- Знать определения чётной и нечётной функции и условия, которым должна удовлетворять её область определения.
- Уметь проверять функцию на чётность или нечётность по алгоритму.
- Уметь распознавать симметрию графика чётной функции относительно оси ординат и графика нечётной функции относительно начала координат.
- Уметь определять тип функции среди заданных примеров и обосновывать ответ.
- Владеть приёмом проверки типичных ошибок в заданиях экзаменационного формата.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл изучения свойства чётности для чтения графиков и решения экзаменационных задач.
- Проявляют учебную самостоятельность при выборе способа проверки функции.
- Оценивают значимость точной математической речи и записи рассуждений.
- Соотносят результат работы с личной целью подготовки к ОГЭ.
Регулятивные УУД
- Принимают и формулируют цель исследования функции на чётность.
- Планируют действия: проверить область определения, найти $f(-x)$, сравнить выражения, сформулировать вывод.
- Осуществляют самопроверку по эталону и находят место ошибки.
- Корректируют решение после обсуждения с партнёром и оценивают достигнутый результат.
Познавательные УУД
- Сравнивают формулы $f(-x)$, $f(x)$ и $-f(x)$, выделяя существенные признаки.
- Устанавливают связь между аналитическим условием и симметрией графика.
- Классифицируют функции на чётные, нечётные и функции общего вида.
- Моделируют алгоритм исследования в виде последовательности шагов.
- Используют сведения из текста и иллюстраций учебника для формулировки определения и вывода.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре по распределённым ролям: вычислитель и проверяющий.
- Формулируют полный ответ с использованием математических терминов.
- Задают уточняющие вопросы о допустимости преобразований и области определения.
- Согласовывают общий вывод и уважительно относятся к иной стратегии решения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить фрагмент учебного текста и иллюстрации по теме чётности и нечётности из используемого учителем учебника; заранее выбрать материал без указания страниц.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовые примеры на вычисление $f(-x)$, задания на доказательство свойства и задание повышенной сложности; по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить по одной карточке с графиками для каждой пары: симметрия относительно оси ординат, симметрия относительно начала координат и график общего вида.
- Вывести на доску или слайд проблемный вопрос: «Как по формуле и графику определить, есть ли у функции симметрия?»
- Заранее записать на отдельном участке доски обозначения $f(-x)=f(x)$ и $f(-x)=-f(x)$, закрыв их до этапа открытия нового знания.
- Подготовить эталон алгоритма: область определения; вычисление $f(-x)$; сравнение с $f(x)$ и $-f(x)$; вывод.
- Распечатать мини-лист самооценки и билет на выход — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить проектор или интерактивную доску, маркеры двух цветов, таймер и листы для работы в парах.
- Подобрать из учебника задания, соответствующие трём типам работы: анализ текста и графика, применение алгоритма, упражнение экзаменационного типа, без привязки к номерам и страницам.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать связь темы с анализом графиков и подготовкой к ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и карточки. Сегодня мы будем не просто запоминать определения, а научимся быстро распознавать свойство функции по формуле и графику. Это умение встречается в заданиях на чтение и исследование функций, поэтому наша задача — понять логику, а не выучить отдельную фразу." | Проверяют готовность к уроку, записывают дату и тему после её объявления. |
2 мин | Учитель показывает на экране три небольших графика: параболу $y=x^2$, кубическую функцию $y=x^3$ и график без видимой симметрии. Учитель спрашивает: "Что общего у первых двух графиков? Какими движениями можно проверить их симметрию? Какой график, вероятно, потребует дополнительного вычисления?" | Рассматривают графики и формулируют предположения: "Первый симметричен относительно оси ординат", "второй — относительно начала координат", "третий не имеет такой симметрии". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже видите симметрию на графике, но на экзамене функция может быть задана формулой. Сегодня мы установим точный алгоритм, который позволит подтвердить наблюдение вычислениями."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о функции, области определения, подстановке значения и координатах симметричных точек.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: "Начнём с опорных понятий. Что называют функцией? Что означает запись $f(-x)$? Если точка $(x;y)$ принадлежит графику, какие координаты будут у точки с противоположным аргументом?" Учитель фиксирует на доске ключевые ответы. | Отвечают: "Функция каждому допустимому значению аргумента ставит в соответствие единственное значение"; "$f(-x)$ — значение функции при аргументе $-x$"; "у симметричной точки абсцисса меняет знак". |
2 мин | Учитель предлагает устно вычислить для $f(x)=x^2-3x$: $f(2)$ и $f(-2)$. Затем спрашивает: "Что изменилось в выражении при замене $x$ на $-x$?" | Вычисляют: $f(2)=4-6=-2$, $f(-2)=4+6=10$. Отмечают, что знак при нечётной степени изменился. |
2 мин | Учитель раздаёт парам короткую карточку с утверждениями: «Область определения функции состоит из всех допустимых значений аргумента»; «для симметрии относительно оси ординат достаточно одной точки»; «если $x$ входит в область определения, то для сравнения с $f(-x)$ нужно проверить и $-x$». Учитель просит отметить верные утверждения и объяснить выбор. | В парах отмечают верные и неверные утверждения, исправляют ошибку во втором: симметрию нужно устанавливать для всех соответствующих точек, а не для одной. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили подстановку противоположного аргумента и поняли, что без анализа области определения рассуждение может быть неполным. Теперь выясним, какие равенства превращают наблюдение о симметрии в строгое свойство функции."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: выявить затруднение при классификации функций и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске функции $f(x)=x^2$, $g(x)=x^3$ и $h(x)=x+1$ и говорит: "Попробуйте без полного решения распределить эти функции по двум группам: у которых график обладает особой симметрией, и у которых такой симметрии нет. Объясните, на что вы опирались." | Высказывают гипотезы: "$x^2$ симметрична относительно оси ординат", "$x^3$ симметрична относительно начала координат", "$x+1$ не относится к этим двум видам". |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Как доказать свойство, если график не построен? Какие вычисления нужно выполнить для произвольного $x$? Сформулируйте цель урока одним предложением." Учитель принимает формулировки и уточняет их. | Формулируют цель: "Научиться по формуле определять, является ли функция чётной, нечётной или ни той ни другой, и объяснять связь с графиком". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: нужно заменить зрительное предположение строгой проверкой. Сначала обратимся к определению и материалу учебника, затем сами выведем удобный алгоритм."
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: вывести определения чётной и нечётной функции, установить графический смысл и составить алгоритм проверки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает прочитать подготовленный фрагмент учебного текста и рассмотреть иллюстрации: "Работаем с определением и рисунками по теме в вашем учебнике. Найдите условие, которое относится к значениям $f(x)$ и $f(-x)$. Пометьте знаком плюс новую информацию, а знаком вопрос непонятное место. После чтения обсудите в паре, чем отличается симметрия относительно оси ординат от симметрии относительно начала координат." | Читают фрагмент с пометками, обсуждают в парах и формулируют: при симметрии относительно оси ординат ординаты совпадают; при симметрии относительно начала координат меняются знаки обеих координат. |
3 мин | Учитель записывает и проговаривает: "Функция называется чётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется $f(-x)=f(x)$. Функция называется нечётной, если область определения симметрична относительно нуля и выполняется $f(-x)=-f(x)$. Обратите внимание: одного равенства недостаточно, сначала проверяем область определения." | Записывают определения, подчёркивают два обязательных условия: симметричность области определения и соответствующее равенство. |
3 мин | Учитель вместе с классом составляет алгоритм: "Шаг первый — проверяем область определения. Шаг второй — находим $f(-x)$. Шаг третий — сравниваем с $f(x)$ и $-f(x)$. Шаг четвёртый — формулируем вывод. Если не выполнено ни одно равенство, функция общего вида." Учитель показывает на доске таблицу признаков. | Переписывают алгоритм, дополняют таблицу: чётная — осевая симметрия; нечётная — центральная симметрия; общий вид — ни одного признака. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Чётная функция: область определения симметрична относительно нуля и $f(-x)=f(x)$. Нечётная функция: область определения симметрична относительно нуля и $f(-x)=-f(x)$. Чётная функция имеет график, симметричный относительно оси $Oy$, нечётная — относительно начала координат».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть определения и алгоритм. Проверим его на простых функциях, обязательно проговаривая каждый шаг, чтобы формальная запись не превратилась в механическую подстановку."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: применить новый алгоритм при совместном решении и научиться оформлять краткое доказательство.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель разбирает пример: "Исследуем функцию $f(x)=x^2-4$. Её область определения — все действительные числа, она симметрична относительно нуля. Найдём $f(-x)=(-x)^2-4=x^2-4=f(x)$. Следовательно, функция чётная. Какой графический вывод можно сделать?" Учитель просит одного ученика оформить решение у доски. | Один ученик записывает решение по шагам, остальные сверяют записи. Отвечают: "График симметричен относительно оси ординат". |
3 мин | Учитель предлагает парам выполнить задания: $g(x)=x^3-2x$ и $h(x)=x^2+x$. Инструкция: "Для каждой функции проверьте область определения, найдите значение при $-x$, сравните и запишите вывод одной полной фразой. Проверяющий в паре отмечает пропущенный шаг." | Вычисляют: $g(-x)=-x^3+2x=-(x^3-2x)=-g(x)$, поэтому функция нечётная; $h(-x)=x^2-x$, что не равно ни $h(x)$, ни $-h(x)$, поэтому функция общего вида. |
Эталон решения
Для $g(x)=x^3-2x$: 1) $D(g)=R$, область определения симметрична относительно нуля; 2) $g(-x)=(-x)^3-2(-x)=-x^3+2x$; 3) $-g(x)=-(x^3-2x)=-x^3+2x$; 4) $g(-x)=-g(x)$, значит, функция нечётная. Для $h(x)=x^2+x$: $h(-x)=x^2-x$, а $h(-x)\ne h(x)$ и $h(-x)\ne -h(x)$, поэтому функция не является ни чётной, ни нечётной.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что главное — не угадать ответ по виду формулы, а последовательно выполнить проверку. Теперь каждый самостоятельно применит алгоритм и получит обратную связь по критериям."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание алгоритма на заданиях трёх уровней и снизить тревожность перед форматом ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель говорит: "Сейчас выполняем индивидуальную работу. Сначала решите обязательное задание, затем переходите к следующему уровню. На черновике можно делать любые вычисления, но итог должен содержать область определения, вычисление $f(-x)$ и вывод. Оценивайте себя не по скорости, а по полноте рассуждения." | Записывают номер выбранного уровня, читают критерии и готовят рабочее место. |
5 мин | Учитель раздаёт карточки. Базовый уровень: определить тип функций $y=5x^4-2$ и $y=7x$. Средний уровень: исследовать $f(x)=\frac{1}{x}$ и $g(x)=x^4+x^2$. Повышенный уровень: определить, при каком значении $a$ функция $f(x)=x^3+ax$ имеет свойство нечётности, и объяснить ответ. | Индивидуально выполняют выбранные задания, записывают вычисления и выводы. При затруднении отмечают место вопросительным знаком, не стирая ход рассуждения. |
4 мин | Учитель открывает эталон на экране и говорит: "Проверьте решение по четырём пунктам: область определения, корректность замены $x$ на $-x$, сравнение, вывод. За каждый выполненный пункт поставьте себе один знак плюс. Если обнаружили ошибку, исправьте её другим цветом и подпишите причину." | Сверяют решения: $5x^4-2$ — чётная; $7x$ — нечётная; $1/x$ — нечётная при $x\ne0$; $x^4+x^2$ — чётная; $x^3+ax$ нечётна при любом действительном $a$. Исправляют ошибки и подсчитывают количество плюсов. |
Эталон решения
Для $f(x)=x^3+ax$: область определения $R$. $f(-x)=(-x)^3+a(-x)=-x^3-ax=-(x^3+ax)=-f(x)$. Следовательно, функция нечётная при любом действительном значении $a$; дополнительного условия на параметр нет.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, какой именно шаг требует внимания. Если ошибка возникла при раскрытии скобок, проверяйте знаки; если при выводе — возвращайтесь к определениям. Осталось связать новое свойство с графиком и оценить собственное продвижение."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (6 мин)
Цель этапа: обобщить способы распознавания свойства функции, связать формулу с графиком и зафиксировать результат урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает три утверждения: «График чётной функции симметричен относительно оси ординат»; «у нечётной функции обязательно $f(0)=1$»; «если функция нечётная, её график симметричен относительно начала координат». Учитель говорит: "Поднимите зелёную карточку, если утверждение верно, и жёлтую, если требуется исправление. Обоснуйте хотя бы один ответ." | Поднимают карточки, исправляют второе утверждение: у нечётной функции при наличии нуля в области определения $f(0)=0$. Объясняют связь аналитического признака с симметрией графика. |
2 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "Запишите определение чётной функции и укажите первый шаг алгоритма. Затем классифицируйте $f(x)=x^2+3$ одной фразой." | Письменно отвечают: функция чётная, поскольку $f(-x)=x^2+3=f(x)$ и её область определения симметрична относительно нуля. |
1 мин | Учитель просит заполнить мини-лист самооценки: «Я могу вычислить $f(-x)$», «Я проверяю область определения», «Я различаю чётную и нечётную функцию», «Мне нужно повторить...». | Отмечают освоенные умения, формулируют индивидуальное затруднение и сдают билет на выход. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились распознавать чётность и нечётность не по догадке, а по строгому алгоритму. Важно помнить: сначала область определения, затем $f(-x)$, сравнение и только после этого вывод. Используйте эту последовательность при выполнении заданий ОГЭ — она снижает количество случайных ошибок."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные задания или выбранное задание повышенного уровня, проверена область определения, корректно найдено $f(-x)$, выводы обоснованы и математическая запись не содержит существенных ошибок.
- «4» — верно выполнены основные задания, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не повлиявшая на понимание алгоритма.
- «3» — правильно определён тип хотя бы двух функций, однако пропущен один из обязательных шагов или вывод сформулирован неполно; после самопроверки ошибка исправлена.
- Ниже базового уровня — неверно применён признак чётности или нечётности; необходима повторная работа по алгоритму с опорой на эталон.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о связи формулы функции и симметрии её графика? | Выявление осознания предметного содержания урока. |
Какой шаг алгоритма исследования функции на чётность оказался самым важным или трудным? | Выявление точек затруднения в алгоритме решения. |
Чем отличаются равенства $f(-x)=f(x)$ и $f(-x)=-f(x)$? | Проверка понимания различий между чётной и нечётной функциями. |
Какое задание формата ОГЭ вы теперь сможете решать увереннее? | Связь результата урока с учебной мотивацией и снижением тревожности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили, что чётность и нечётность функции определяется не внешним видом формулы, а точной проверкой. Самая частая ошибка — сразу сравнивать выражения и забывать про область определения или знак перед $f(x)$. Ваша надёжная последовательность: область определения, $f(-x)$, сравнение, вывод. На следующем уроке мы продолжим исследовать функции и будем применять их свойства при анализе графиков и решении более сложных задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на определение чётности, нечётности или отсутствия этих свойств для многочленов и простых дробно-рациональных функций; в каждом решении записать область определения и вычисление $f(-x)$. | Закрепляет основной алгоритм; при проверке обратить внимание на область определения, знаки и полный вывод. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3 задания по графикам: определить вид симметрии, установить, может ли график принадлежать чётной или нечётной функции, и обосновать ответ; дополнительно решить 2 задания экзаменационного типа. | Развивает связь между формулой и графиком, тренирует применение свойства в формате ОГЭ. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать функцию с параметром вида $f(x)=x^3+ax$ или $f(x)=x^2+ax+b$: определить, при каких значениях параметра она является чётной или нечётной, и записать доказательство. | Формирует умение анализировать параметр и создавать полное математическое обоснование. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какое равенство характеризует чётную функцию? Какое — нечётную? Почему сначала нужно проверить область определения? Какой вид симметрии имеет график чётной функции? Что можно сказать о значении нечётной функции в нуле, если ноль входит в область определения?»
