График квадратичной функции: вершина параболы и ось симметрии
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться находить координаты вершины и уравнение оси симметрии параболы, заданной функцией $y=ax^2+bx+c$, и применять их при построении графика и решении типового задания ОГЭ.
- Научиться преобразовывать квадратный трёхчлен к виду $y=a(x-m)^2+n$ и устанавливать координаты вершины параболы $V(m;n)$.
- Сформировать умение определять уравнение оси симметрии по формуле $x=-\frac{b}{2a}$ и использовать симметрию при построении графика.
- Развивать умение анализировать зависимость положения и направления ветвей параболы от коэффициентов, объяснять ход решения и проверять полученный результат.
- Воспитывать ответственное отношение к математической записи, уверенность при выполнении заданий экзаменационного формата и готовность исправлять ошибки.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность изучения вершины и оси симметрии для построения графиков и выполнения заданий ОГЭ.
- Понимают, что сложное задание можно разделить на последовательные проверяемые шаги.
- Проявляют готовность к самооценке и спокойному анализу ошибок без страха перед экзаменационным форматом.
- Развивают учебную мотивацию через связь алгебраической модели с графиками, оптимизационными задачами и реальными зависимостями.
Метапредметные
- Формулируют учебную проблему, планируют последовательность действий и соотносят результат с поставленной целью.
- Извлекают информацию из формулы, таблицы значений и графического изображения, устанавливают взаимосвязь между ними.
- Сравнивают несколько способов нахождения вершины, выявляют ошибки в вычислениях и аргументируют выбор способа.
- Работают в паре, задают уточняющие вопросы, используют математическую речь и осуществляют взаимопроверку по критериям.
Предметные
- Знать формулы координат вершины параболы $x_0=-\frac{b}{2a}$ и $y_0=f(x_0)$, а также уравнение оси симметрии $x=x_0$.
- Уметь находить вершину параболы для функций вида $y=ax^2+bx+c$ и $y=a(x-m)^2+n$.
- Уметь определять направление ветвей и использовать ось симметрии для построения графика.
- Уметь решать типовую задачу: по формуле функции определить вершину, ось симметрии и основные свойства графика.
- Владеть алгоритмом самопроверки: вычислить $x_0$, найти $y_0$, записать координаты вершины и проверить симметричность выбранных точек.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень готовности к выполнению задания по теме и выбирают способ получения помощи.
- Осознают связь точности вычислений с достоверностью графического результата.
- Формируют положительное отношение к математической задаче как к последовательности посильных действий.
- Проявляют ответственность за результат индивидуальной и парной работы.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют цель: найти вершину и ось симметрии параболы.
- Планируют решение по алгоритму и распределяют время при выполнении задания экзаменационного типа.
- Осуществляют пошаговый самоконтроль вычислений и записи формул.
- Сопоставляют ответ с графиком, находят причину ошибки и корректируют решение.
Познавательные УУД
- Выделяют коэффициенты $a$, $b$, $c$ в формуле квадратичной функции.
- Преобразуют выражение и моделируют график с помощью таблицы значений и координатной плоскости.
- Устанавливают закономерность между координатами симметричных точек параболы.
- Сравнивают стандартную и вершинную формы записи квадратичной функции и делают вывод о преимуществах каждой.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру каждый шаг нахождения вершины с использованием математических терминов.
- Задают вопросы о знаках и порядке вычислений, аргументируют исправление ошибки.
- Согласуют общий ответ в паре и представляют его классу.
- Соблюдают правила конструктивной взаимопроверки: называют сильную сторону решения и конкретный способ улучшения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с графиками трёх парабол: $y=x^2$, $y=(x-2)^2-3$ и $y=-2(x+1)^2+4$.
- Вывести на доску постоянную шпаргалку-напоминание: $x_0=-\frac{b}{2a}$, $y_0=f(x_0)$, вершина $V(x_0;y_0)$, ось симметрии $x=x_0$.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на пару, всего по числу пар в классе; включить функции $y=x^2-6x+5$, $y=-x^2-4x+1$ и $y=2x^2+8x-3$.
- Распечатать индивидуальные листы самопроверки трёх уровней: по одному на каждого ученика.
- Подготовить координатную сетку на листах формата А4 для построения одной параболы каждой парой.
- Подготовить стикеры трёх цветов или карточки «зелёный», «жёлтый», «красный» для приёма «Светофор».
- Записать на доске до начала урока проблемный вопрос: «Как быстро найти ось симметрии и вершину параболы, не строя множество точек?»
- Подготовить таймер на 3–4 минуты для парной и индивидуальной работы.
- Подготовить критерии оценивания: правильность формул, вычислений, координат вершины, оси симметрии и графического обоснования.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность, показать практическую и экзаменационную значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки, линейки и листа для самостоятельной работы. Сегодня мы будем действовать как исследователи: сначала заметим закономерность, затем сами выведем алгоритм и проверим его на заданиях, похожих на задания ОГЭ." | Проверяют готовность, открывают тетради, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на экране две параболы и обращается к классу: "Посмотрите на графики. У каждой параболы есть особая точка и прямая, которая делит её на две симметричные части. Как вы думаете, что это за точка и прямая? Почему умение быстро их находить может быть полезно при построении графика?" | Рассматривают графики, выдвигают предположения: "Особая точка — вершина", "Прямая — ось симметрии", "Это помогает строить график по меньшему числу точек". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что график квадратичной функции имеет центр своей формы — вершину — и ось симметрии. Сегодня научимся находить их по формуле функции быстро и без построения большого количества точек."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о квадратичной функции, коэффициентах и свойствах графика, необходимые для открытия нового способа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске функции $y=2x^2-8x+3$ и $y=-x^2+4x-1$ и говорит: "Назовите коэффициенты $a$, $b$, $c$ в каждой функции. Обратите внимание на знак каждого коэффициента. Что определяет коэффициент $a$?" | Выделяют коэффициенты: для первой функции $a=2$, $b=-8$, $c=3$; для второй $a=-1$, $b=4$, $c=-1$. Отвечают: "При $a>0$ ветви направлены вверх, при $a<0$ — вниз". |
2 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "За тридцать секунд подумайте, как построить график $y=x^2-4$. Затем обсудите с соседом, какие точки достаточно взять и почему." | Сначала самостоятельно называют точки, затем обсуждают: $(0;-4)$, $(1;-3)$, $(-1;-3)$, $(2;0)$, $(-2;0)$. Формулируют: "Точки с противоположными значениями $x$ имеют одинаковые значения $y$". |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Как называется такая закономерность? Где на графике находится ось симметрии функции $y=x^2-4$? Как можно было бы найти её, если парабола была бы смещена вправо?" Учитель фиксирует ответы, но не сообщает готовую формулу. | Отвечают: "Это симметрия параболы", "Для $y=x^2-4$ ось симметрии — $x=0$". Предполагают: "Для смещённой параболы ось проходит через её вершину". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что ветви определяются знаком $a$, а график имеет ось симметрии. Но пока у нас нет общего способа найти эту ось по коэффициентам $a$, $b$, $c$. Именно это затруднение мы сейчас исследуем."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и сформулировать план открытия нового алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задачу: "Дана функция $y=x^2-6x+5$. Не строя много точек, определите, где находится вершина параболы и каким будет уравнение оси симметрии. Используйте только те знания, которыми уже владеете." | Пробуют решить. Находят нули или составляют таблицу, замечают, что вершина располагается между симметричными точками. Формулируют затруднение: "Нужно знать координату оси или вычислять её более рациональным способом". |
2 мин | Учитель организует «Снежный ком»: "Сначала каждый запишите, что нужно научиться делать. Затем объединитесь в пары и сформулируйте общую цель. В конце одна-две пары представят план." | Записывают цель, обсуждают её в парах, предлагают план: "Найти координату вершины, вывести формулу оси симметрии, проверить на примере и применить к графику". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы поставили задачу: найти координаты вершины и ось симметрии по формуле квадратичной функции. Дальше не будем просто запоминать формулу — попробуем понять, откуда она появляется и как ею пользоваться без ошибок."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести формулы координат вершины и оси симметрии, связать стандартную и вершинную формы квадратичной функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает на доске: $y=ax^2+bx+c$ и говорит: "Рассмотрим способ выделения полного квадрата. Вынесем $a$: $y=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c$. Чтобы получить квадрат двучлена, добавим и вычтем число $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$. Посмотрите, какой двучлен получится внутри скобок." | Следят за преобразованием и записывают: $y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}$. Замечают, что квадрат равен нулю при $x=-\frac{b}{2a}$. |
3 мин | Учитель продолжает: "В форме $y=a(x-m)^2+n$ значение $y$ в вершине равно $n$, а значение $x$ равно $m$. Сравните эту форму с полученным выражением. Каковы координаты вершины? Где проходит ось симметрии?" Учитель выделяет формулы рамкой. | Формулируют: "Вершина имеет координаты $V\left(-\frac{b}{2a};f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$", "Ось симметрии имеет уравнение $x=-\frac{b}{2a}$". Записывают формулы в тетрадь. |
3 мин | Учитель разбирает пример: "Найдём вершину функции $y=x^2-6x+5$. Здесь $a=1$, $b=-6$, поэтому $x_0=-\frac{-6}{2\cdot1}=3$. Теперь вычисляем $y_0=f(3)=9-18+5=-4$. Значит, $V(3;-4)$, а ось симметрии — $x=3$. Проверим: значения при $x=2$ и $x=4$ одинаковы." | Записывают решение, вычисляют $f(2)=1$ и $f(4)=1$, формулируют вывод: "Точки $(2;1)$ и $(4;1)$ симметричны относительно прямой $x=3$". |
Запись в тетрадях
$x_0=-\frac{b}{2a}$; $y_0=f(x_0)$; вершина $V(x_0;y_0)$; ось симметрии $x=x_0$. Алгоритм: 1) определить $a$ и $b$; 2) найти $x_0$; 3) вычислить $y_0$; 4) записать вершину и ось симметрии; 5) выбрать симметричные точки для построения.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть не только формула, но и понятный алгоритм. Мы видим, что вершина находится там, где квадратная часть принимает наименьшее или наибольшее значение. Проверим этот алгоритм сначала вместе, а затем каждый самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление. Работа в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм нахождения вершины и оси симметрии через взаимное объяснение и построение графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт парам карточки и объясняет критерии: "В каждой карточке указана квадратичная функция. Найдите $x_0$, $y_0$, координаты вершины и ось симметрии. Затем отметьте вершину и две пары симметричных точек на координатной сетке. Один ученик объясняет вычисления, второй проверяет по алгоритму, затем поменяйтесь ролями." | Получают карточки, распределяют роли, читают условие и записывают алгоритм действий. |
4 мин | Учитель консультирует пары и напоминает: "Не начинайте с таблицы большого числа значений. Сначала найдите ось симметрии по формуле. Внимательно следите за знаком коэффициента $b$. После вычисления $y_0$ подставьте координату обратно в функцию." | Решают задания: для $y=x^2-6x+5$ получают $V(3;-4)$, $x=3$; для $y=-x^2-4x+1$ получают $V(-2;5)$, $x=-2$; для $y=2x^2+8x-3$ получают $V(-2;-11)$, $x=-2$. Строят точки. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь листами с соседней парой. Проверьте четыре позиции: коэффициенты, вычисление $x_0$, вычисление $y_0$, запись оси. Приём называется "Две звезды и пожелание": отметьте два верных шага и запишите одно конкретное пожелание." | Проверяют решение соседней пары, отмечают два удачных элемента и формулируют совет, например: "Проверьте знак при вычислении $x_0$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы убедились, что один и тот же алгоритм работает при разных знаках коэффициентов и при разных направлениях ветвей. Теперь каждый выполнит короткую работу без подсказки, чтобы понять, какой шаг уже стал уверенным, а какой требует внимания."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и научить учащихся находить и исправлять собственные ошибки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт индивидуальные листы трёх уровней: "Выберите уровень по своей готовности. Базовый вариант обязателен для всех, повышенный и дополнительный можно выполнить при уверенной работе. Записывайте не только ответ, но и промежуточные вычисления." | Выбирают вариант, подписывают листы, читают критерии. |
5 мин | Учитель предлагает задания. Базовый: для $y=x^2+2x-3$ найти вершину и ось симметрии. Повышенный: для $y=-2x^2+8x-1$ найти вершину, ось и направление ветвей. Дополнительный: определить, какая из функций $y=x^2-4x+7$ или $y=x^2+4x+7$ имеет вершину левее, и обосновать ответ. | Индивидуально решают. Для базового задания находят $x_0=-1$, $y_0=-4$, $V(-1;-4)$, ось $x=-1$. Для повышенного задания находят $x_0=2$, $y_0=7$, $V(2;7)$, ось $x=2$, ветви направлены вниз. |
2 мин | Учитель показывает эталон на доске: "Сверьте решение построчно. Не исправляйте молча: обведите место первой ошибки, рядом запишите её причину — неверно определён коэффициент, ошибка в знаке, ошибка подстановки или неточная запись ответа." | Сверяют решение, отмечают первую ошибку и исправляют её другой ручкой. |
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно найти вершину и ось; жёлтую, если формулу понимаете, но ошибаетесь в вычислениях; красную, если нужен разбор ещё одного примера." | Показывают карточки, формулируют конкретный вопрос или называют уверенный шаг. |
Эталон решения
Для функции $y=-2x^2+8x-1$: $a=-2$, $b=8$. Находим $x_0=-\frac{8}{2\cdot(-2)}=2$. Затем $y_0=f(2)=-2\cdot4+8\cdot2-1=7$. Вершина $V(2;7)$, ось симметрии $x=2$. Так как $a<0$, ветви параболы направлены вниз.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что важнее всего не скорость, а порядок действий. Если ошибка обнаружена, это уже шаг к правильному решению: теперь понятно, что именно нужно проверить. Осталось связать найденные элементы с общими свойствами параболы и зафиксировать результат урока."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: обобщить новый алгоритм, связать его с построением графика и оценить степень достижения цели.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает заполнить на доске схему: "Закончите цепочку: коэффициент $a$ определяет..., число $x_0$ определяет..., пара $(x_0;y_0)$ называется..., прямая $x=x_0$ является..." | Заполняют схему: "$a$ определяет направление ветвей и растяжение; $x_0$ определяет положение оси; $(x_0;y_0)$ — вершина; $x=x_0$ — ось симметрии". |
2 мин | Учитель задаёт контрольный вопрос ОГЭ-формата: "У какой функции вершина имеет абсциссу $3$: $y=x^2-6x+2$ или $y=x^2+6x+2$? Объясните без построения графика." | Сравнивают: для первой функции $x_0=3$, для второй $x_0=-3$. Отвечают: "Абсцисса $3$ у вершины функции $y=x^2-6x+2$". |
1 мин | Учитель просит завершить одноминутный лист: "Запишите одну формулу, один алгоритмический шаг и один вопрос, который остался. Это поможет мне спланировать следующий урок." | Записывают формулу, шаг алгоритма и вопрос. Сдают листы при выходе. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы вывели формулы вершины и оси симметрии, применили их к построению графика и проверили себя в формате, близком к ОГЭ. На следующем уроке используем вершину и ось симметрии для полного исследования квадратичной функции и решения задач на наибольшее и наименьшее значение."
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены все обязательные задания, правильно найдены $x_0$ и $y_0$, записаны координаты вершины и ось симметрии, направление ветвей определено без ошибок, построение содержит симметричные точки.
- "4" — выполнено не менее 80% задания, алгоритм выбран правильно, но допущена одна вычислительная или графическая неточность, не повлиявшая на общий способ решения.
- "3" — выполнено не менее 60% обязательного задания, формула оси или координата вершины записана с отдельной ошибкой, однако виден правильный порядок действий.
- Ниже базового уровня — отсутствует устойчивое применение формулы, перепутаны коэффициенты или не выполнена проверка; требуется повторная работа по алгоритму с опорой на шпаргалку.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о вершине и оси симметрии параболы? | Выявление осознания ключевых формул и смысла новых понятий. |
Какой шаг алгоритма оказался самым трудным: нахождение $x_0$, вычисление $y_0$ или построение симметричных точек? | Выявление конкретной точки затруднения для коррекции на следующем уроке. |
Как вы проверяли, что найденная вершина и ось симметрии записаны правильно? | Диагностика сформированности навыка самоконтроля. |
Насколько уверенно вы справитесь с аналогичным заданием ОГЭ: уверенно, с подсказкой или пока затрудняюсь? | Субъективная оценка освоения темы и снижение тревожности через осознание следующего шага. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились находить вершину и ось симметрии параболы по формуле функции. Главное — не потерять знак коэффициента $b$ и не забыть после нахождения $x_0$ вычислить значение $y_0$. Теперь график можно строить осмысленно, используя вершину и симметричные точки, а не подбирая множество значений. Если сегодня возникли ошибки, это не повод волноваться: алгоритм уже известен, и мы будем закреплять его на следующих заданиях. На следующем уроке применим эти знания к исследованию функции и задачам на экстремум."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задания на нахождение координат вершины и уравнения оси симметрии для функций вида $y=ax^2+bx+c$, включая случаи $b<0$, $b>0$, $a>0$ и $a<0$. Для двух функций указать направление ветвей. | Закрепляет алгоритм и контроль знаков; при проверке смотреть на выделение коэффициентов $a$ и $b$, вычисление $x_0$ и правильную подстановку для $y_0$. |
Средний (повышающий) | Построить графики 2 квадратичных функций с использованием вершины, оси симметрии и не менее двух пар симметричных точек; записать координаты пересечений с осями, если они существуют. | Формирует умение связывать формулу, график и таблицу значений; при проверке смотреть на симметричность точек и соответствие направления ветвей знаку $a$. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить 2 задачи на сравнение положения вершин двух парабол и 1 задачу с реальным контекстом на определение наибольшего или наименьшего значения квадратичной зависимости по координатам вершины. | Развивает анализ и применение в нестандартной ситуации; при проверке смотреть на обоснование выбора формулы, интерпретацию координат вершины и математически точный вывод. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как найти абсциссу вершины функции $y=ax^2+bx+c$?», «Как получить ординату вершины?», «Как записать ось симметрии?», «Что показывает знак коэффициента $a$?»
