Квадратичная функция, ее график и свойства
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся смогут определять направление ветвей параболы, находить координаты вершины и строить график квадратичной функции y = ax² + bx + c, используя алгоритм.
- Образовательная задача: сформировать понятие квадратичной функции, изучить влияние коэффициентов на расположение графика, отработать навык нахождения вершины параболы.
- Развивающая задача: развивать навыки анализа и сравнения через работу с динамическими моделями (ИКТ), формировать умение работать в парах.
- Воспитательная задача: снизить уровень тревожности перед ОГЭ через разбор типичных заданий №11 и №22, развивать ответственное отношение к результатам своего труда.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к учению, готовности к саморазвитию.
- Развитие критического мышления при анализе собственных ошибок в расчетах.
- Осознание важности математических знаний для успешной сдачи государственных экзаменов.
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи между формулой функции и ее графиком.
- Регулятивные: умение планировать свои действия в соответствии с алгоритмом построения графика.
- Коммуникативные: умение аргументировать свою позицию при работе в паре, слушать и слышать партнера.
Предметные
- Знать определение квадратичной функции и свойства параболы.
- Уметь вычислять координаты вершины параболы по формуле x₀ = -b / (2a).
- Уметь строить график функции y = ax² + bx + c и описывать ее свойства (область определения, значения, нули функции).
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Самоопределение (понимание значимости темы для подготовки к ОГЭ).
- Смыслообразование (связь между математической моделью и физическими процессами).
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи.
- Контроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков.
- Синтез — составление целого из частей (построение алгоритма).
Коммуникативные УУД
- Инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с динамическими чертежами (GeoGebra/Desmos).
- Распечатать рабочие листы для исследования в парах (15 шт. на класс).
- Подготовить карточки с заданиями в формате ОГЭ (задание №11) для актуализации.
- Проверить работу проектора и интерактивной доски.
- Выписать на доску формулу координаты вершины параболы и общий вид функции.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: настроить учащихся на работу, создать психологически комфортную атмосферу, обозначить практическую значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня у нас важная тема. Посмотрите на слайд (слайд с фотографиями мостов, траектории полета мяча, фонтана). Что объединяет эти изображения? Правильно, форма линии. В математике это — парабола. Это не просто красивая кривая, это график функции, которая встречается в ОГЭ минимум в двух заданиях: №11 и №22. Сегодня мы станем исследователями и раскроем все секреты этой функции». | Приветствуют учителя, рассматривают слайды, отвечают на вопрос о форме линий («дуга», «парабола»), осознают связь темы с будущим экзаменом. |
2 мин | Учитель: «Запишем тему урока: "Квадратичная функция, ее график и свойства". Наша цель сегодня — не просто построить график, а понять, как коэффициенты в формуле управляют параболой, словно рычаги в кабине пилота. Кто готов сегодня получить "5" за работу?» | Записывают тему в тетради, настраиваются на активную работу, поднимают руки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вижу ваш настрой. Чтобы управлять сложной системой, нужно вспомнить базу. Переходим к разминке».
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (7 мин)
Цель этапа: повторить необходимые понятия (линейная функция, y=x²), выявить проблему при работе с полным квадратным трехчленом.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует фронтальный опрос: «Вспомним, что мы уже знаем. Какая функция называется квадратичной в простейшем виде? (y=x²). Как выглядит ее график? Где находится его вершина? А теперь посмотрите на задание №11 из демоверсии ОГЭ на доске. Вам нужно сопоставить графики и формулы: y=x², y=-x², y=2x². Как знак перед x² влияет на график?» | Отвечают: «График — парабола, вершина в (0,0)». Сопоставляют графики на доске. Делают вывод: «Если минус — ветви вниз, если плюс — ветви вверх». |
4 мин | Учитель создает проблемную ситуацию: «А теперь попробуйте быстро, без таблицы из 10 точек, сказать, где будет вершина у функции y = x² - 4x + 3? Куда она сдвинулась? Вверх, вниз, влево? Мы видим затруднение. Старой таблицы значений нам мало, нужно знать свойства коэффициентов a, b и c». | Пытаются угадать положение вершины, приходят к выводу, что не знают точного правила или алгоритма для быстрого построения функций такого вида. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, мы поняли, что нам не хватает инструментов для работы с полной квадратичной функцией. Давайте их создадим».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Построение проекта выхода из затруднения (3 мин)
Цель этапа: сформулировать цель урока и составить план исследования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель: «Какую цель мы поставим? (Научиться строить график y = ax² + bx + c). Что нам нужно для этого узнать? Составим план: 1. Узнать, за что отвечает коэффициент 'a'. 2. Найти формулу для вершины. 3. Понять, на что влияет 'c'. 4. Составить общий алгоритм». | Формулируют цель и этапы плана, записывают пункты плана в тетрадь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «План готов. Приступаем к исследованию в парах».
Этап 4. Открытие нового знания (Исследование + ИКТ) (12 мин)
Цель этапа: через работу с динамической моделью и в парах вывести свойства коэффициентов и формулу вершины.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
8 мин | Учитель раздает рабочие листы. На экране открыта программа Desmos. «Работаем в парах. Первая группа пар исследует коэффициент 'a' (меняем ползунок в программе), вторая — коэффициент 'c', третья — пробует найти связь между вершиной и коэффициентами a и b. Заполните пропуски в листах: "Если a > 0, то...", "Если |a| растет, то парабола...", "График пересекает ось OY в точке..."». Учитель обходит класс, консультирует. | Работают в парах с рабочими листами. Наблюдают за изменениями графика на экране (или используют свои планшеты/телефоны, если разрешено ИКТ). Обсуждают, фиксируют выводы: 'a' — направление и крутизна, 'c' — точка пересечения с OY. |
4 мин | Учитель: «Давайте обобщим. Кто нашел формулу вершины? Выводим на экран формулу x₀ = -b / (2a). Как найти y₀? Правильно, подставить x₀ в функцию. Запишем алгоритм построения из 5 шагов». | Представители пар озвучивают выводы. Записывают в тетрадь алгоритм: 1. Ветви. 2. Вершина. 3. Ось симметрии. 4. Точки пересечения с осями. 5. Дополнительные точки. |
Запись в тетрадях
- y = ax² + bx + c — квадратичная функция.
- a > 0 — ветви вверх, a < 0 — ветви вниз.
- x₀ = -b / (2a) — абсцисса вершины.
- y₀ = f(x₀) — ордината вершины.
- (0; c) — точка пересечения с осью OY.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы получили карту свойств. Теперь нужно немного размяться, чтобы мозг лучше усвоил информацию».
Этап 5. Физкультминутка (2 мин)
Цель этапа: физическая разрядка и закрепление понятий через движение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель: «Встали из-за парт. Игра "Живая парабола". Я называю условие, вы показываете руками направление ветвей. 1) a=5 (руки вверх). 2) a=-2 (руки вниз). 3) y = -x² + 3 (руки вниз). 4) y = 0,5x² (руки вверх). Теперь наклоны: если вершина имеет положительную абсциссу — наклон вправо, если отрицательную — влево. Функция y = x² - 4x... (x₀=2, наклон вправо)». | Выполняют упражнения, руками имитируя ветви параболы и наклоняясь в стороны в зависимости от знака координаты вершины. Смеются, отдыхают. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Отлично, координацию проверили, возвращаемся к алгебре».
Этап 6. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: применить алгоритм на практике, разобрать типичное задание №22 ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | Учитель вызывает одного ученика к доске строить график y = x² - 4x + 3. «Действуем строго по алгоритму. 1. Направление ветвей? 2. Считаем x₀. 3. Считаем y₀. 4. Точка пересечения с OY? 5. Нули функции (решаем уравнение x² - 4x + 3 = 0)». Учитель акцентирует внимание на аккуратности чертежа: «В ОГЭ за неаккуратный график баллы снижают!» | Ученик у доски выполняет расчеты и строит график. Остальные работают в тетрадях. Проверяют: x₀=2, y₀=-1. Точки (1,0), (3,0), (0,3). Обсуждают, почему парабола симметрична. |
Эталон решения
1) a=1 > 0, ветви вверх. 2) x₀ = -(-4)/(2*1) = 2. 3) y₀ = 2² - 4*2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. Вершина (2; -1). 4) Точка на OY: (0; 3). 5) Нули: x² - 4x + 3 = 0 => x₁=1, x₂=3. Точки (1;0), (3;0).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы построили график вместе. Теперь проверьте свои силы самостоятельно».
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (6 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения темы в формате мини-теста ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздает мини-карточки (3 задания): 1. Определить направление ветвей. 2. Найти вершину. 3. Выбрать график из четырех предложенных. «Работаем индивидуально. Это ваш личный зачет перед экзаменом». | Самостоятельно решают задания на карточках. |
2 мин | Учитель выводит ответы на слайд. «Проверьте себя. Если все верно — ставьте себе "+" на полях. Если есть ошибка — обведите ее, мы разберем позже». | Сверяют ответы с эталоном, проводят самооценку. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вижу много плюсов. Те, у кого возникли вопросы — не переживайте, мы их снимем на следующем уроке».
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: подвести итоги, оценить уровень понимания, выдать дифференцированное ДЗ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит рефлексию (прием «Светофор»): «Поднимите зеленую карточку, если вы поняли алгоритм и готовы решать ОГЭ. Желтую — если нужно еще потренироваться. Красную — если тема осталась темным лесом». Благодарит за честность. | Оценивают свою работу, поднимают карточки соответствующего цвета. |
2 мин | Учитель диктует домашнее задание, поясняя уровни сложности. «Спасибо за урок! Вы сегодня отлично поработали, как настоящая команда инженеров-исследователей». | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — Верно определены ветви, рассчитана вершина, найдены точки пересечения с осями, график построен аккуратно и точно.
- «4» — Допущена одна вычислительная ошибка в координатах вершины или нулях функции, но алгоритм соблюден, график построен.
- «3» — Ученик понимает направление ветвей и умеет находить вершину, но испытывает трудности с построением графика и нахождением нулей функции.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой коэффициент в формуле самый «говорящий» для вас? | Осознание связи между аналитической и графической моделями. |
В каком шаге алгоритма вы почувствовали себя неуверенно? | Выявление индивидуальных затруднений для коррекции на след. уроке. |
Как знание параболы поможет вам в жизни или на других предметах? | Межпредметные связи (физика, архитектура) и мотивация. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы приручили квадратичную функцию. Помните, что парабола — это не просто кривая в тетради, это траектория успеха. Если вы освоили алгоритм сегодня, то 2 балла во второй части ОГЭ у вас уже почти в кармане. Не бойтесь ошибаться при расчетах дома, ведь каждая ошибка — это ступенька к пониманию. До встречи на следующем уроке, где мы будем двигать параболу по всей координатной плоскости!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник: №89, №91 (а, б) | Построить графики функций по алгоритму, указать вершину и ветви. |
Средний (повышающий) | Сборник ОГЭ: задание №11 (5 вариантов) | Сопоставить графики и коэффициенты a, b, c. Объяснить выбор. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческое задание | Найти пример параболы в архитектуре вашего города, сделать фото и составить ее примерное уравнение. |
Контрольный вопрос: «Как изменится положение вершины параболы y = x² + 2x + 1, если мы изменим коэффициент c на 5?»