Функция. Область определения и область значения функции
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся смогут безошибочно находить область определения функций, заданных формулой (с учетом деления на ноль и корня четной степени), и определять область значений по графику, успешно выполняя прототипы заданий №11 и №20 ОГЭ.
- Образовательная задача: актуализировать понятие функции, ввести понятия D(f) и E(f), сформировать алгоритм нахождения области определения для дробно-рациональных и иррациональных выражений.
- Развивающая задача: развивать навыки аналитического мышления через выявление ограничений в математических выражениях и умение читать графическую информацию.
- Воспитательная задача: снизить уровень экзаменационной тревожности через отработку типовых заданий ОГЭ и формирование уверенности в применении алгоритмов.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории на основе понимания значимости математики для успешной сдачи ОГЭ.
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания в процессе поиска области определения.
- Способность к самоконтролю и оценке своих результатов при выполнении самостоятельной работы.
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи между видом формулы и ограничениями на переменную x.
- Регулятивные: умение составлять план действий (алгоритм) для нахождения области определения функции.
- Коммуникативные: умение аргументированно объяснять свой выбор области определения, используя математическую терминологию.
Предметные
- Знать определения функции, области определения и области значений.
- Уметь находить область определения функций вида y = P(x)/Q(x) и y = sqrt(P(x)).
- Уметь находить область значений функции по её графику.
- Владеть навыком записи ответа в виде числового промежутка или множества.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование: понимание связи между математическим понятием «область определения» и реальными ограничениями в жизни (например, бюджет или время).
- Профессиональное самоопределение через осознание важности математической грамотности для технических специальностей.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно (понятие функции), и того, что еще неизвестно (новые свойства).
- Планирование — определение последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата (решение задачи №20 ОГЭ).
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков (наличие знаменателя или корня).
- Синтез — составление целого алгоритма из отдельных шагов проверки ОДЗ.
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации.
- Управление поведением партнера — контроль, коррекция, оценка его действий при работе в парах.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочие листы с графиками функций для этапа актуализации и первичного закрепления (по 1 на каждого ученика).
- Подготовить презентацию с прототипами задания №11 ОГЭ (сопоставление графиков и формул).
- Выписать на доске ключевые обозначения: D(f) — область определения, E(f) — область значений.
- Подготовить карточки для приема «Светофор» (зеленый, желтый, красный) для быстрой проверки понимания.
- Открыть учебник Алгебра 9 класс (Макарычев) на странице 8 для работы с определениями.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: психологически настроить учащихся на работу, связать тему урока с предстоящим экзаменом ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня мы приступаем к теме, которая является фундаментом всей алгебры и занимает около 15% всех заданий в ОГЭ. Это функции. Но сегодня мы не будем их просто строить, мы заглянем им "в паспорт" — узнаем их границы и возможности. Проверьте, чтобы у вас на столах были рабочие листы, которые я раздал.» | Приветствуют учителя, проверяют наличие учебников, тетрадей и рабочих листов. |
2 мин | «Посмотрите на экран. Задание №11 ОГЭ часто пугает учеников тем, что нужно сопоставить график и формулу. Но если знать "область определения", это задание решается за 10 секунд. Хотите узнать секрет быстрого решения? Тогда вперед!» | Слушают учителя, настраиваются на продуктивную работу, осознают утилитарную значимость темы для экзамена. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, мы определили нашу цель — научиться видеть границы функции. Для начала вспомним, что мы уже знаем о функциях.»
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить определение функции и способы её задания, подготовить почву для введения новых понятий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Давайте вспомним: что такое функция? Представьте себе черный ящик. Мы подаем туда число x, а на выходе получаем строго одно число y. Может ли одному x соответствовать два разных y? Нет, это закон. Как мы называем переменную x? А переменную y? Запишите в тетрадях: y = f(x).» | Отвечают на вопросы учителя: «Функция — это зависимость, где каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной». Записывают обозначение в тетрадь. |
2 мин | Учитель рисует на доске график окружности и спрашивает: «Является ли этот график функцией? Почему? Примените правило вертикальной прямой.» | Анализируют рисунок, отвечают: «Нет, не является, так как вертикальная прямая пересекает линию в двух точках, значит, одному x соответствуют два y». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Молодцы, базу вспомнили. Но у каждой функции есть своя территория, за пределы которой она не может выйти. Давайте выясним, почему.»
Этап 3. Выявление места и причины затруднения (5 мин)
Цель этапа: создать проблемную ситуацию, где учащиеся столкнутся с невозможностью вычислить значение функции при определенных x.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Ребята, посмотрите на три функции на доске: 1) y = 2x + 3; 2) y = 10 / (x - 4); 3) y = sqrt(x - 5). Попробуйте вычислить значение каждой функции при x = 4. В чем проблема?» Учитель использует прием «Проблемный вопрос». | Пробуют вычислить. Для первой функции получают 11. Для второй говорят: «На ноль делить нельзя, значение не существует!». Для третьей: «Корень из отрицательного числа не извлекается!». |
2 мин | «Верно! Значит, не любые числа можно подставлять вместо x. Множество всех допустимых значений x и называется областью определения. Как вы думаете, как мы назовем множество всех получившихся y?» | Предполагают название: «Область значений». Формулируют тему урока и записывают её в тетрадь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы наткнулись на два главных математических запрета: нельзя делить на ноль и нельзя извлекать корень четной степени из отрицательного числа. Это и есть ключи к области определения.»
Этап 4. Построение проекта выхода из затруднения и открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: ввести строгие определения D(f) и E(f), составить алгоритм поиска области определения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Откройте учебники на стр. 8. Найдите определения области определения и области значений. Запишем кратко: D(f) — это все x, E(f) — это все y. Посмотрите на график на слайде. D(f) мы смотрим по оси OX (слева направо), а E(f) — по оси OY (снизу вверх). Давайте потренируемся.» | Читают определения, записывают обозначения в тетрадь. Изучают график на экране, учатся «считывать» границы по осям. |
6 мин | «Давайте составим шпаргалку-алгоритм для нахождения D(f) без графика. Если в формуле есть дробь, то знаменатель не равен 0. Если есть корень, то выражение под корнем >= 0. Если ничего этого нет (многочлен), то D(f) — любое число. Запишем это в виде таблицы.» Учитель диктует шаги алгоритма. | Записывают алгоритм в тетрадь: 1. Если y = A/B, то B ≠ 0. 2. Если y = sqrt(A), то A ≥ 0. 3. В остальных случаях x — любое число. |
Запись в тетрадях
- D(f) — область определения (значения x)
- E(f) — область значений (значения y)
- Алгоритм нахождения D(f):
- 1) y = 1/x => x ≠ 0
- 2) y = sqrt(x) => x ≥ 0
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь у нас есть инструменты. Давайте проверим их в деле на заданиях, которые встретятся вам на экзамене.»
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать применение алгоритма на конкретных примерах с проговариванием вслух.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель вызывает ученика к доске для решения примера: Найти D(f) для y = 7 / (2x - 10). Учитель комментирует: «С чего начинаем? Видим дробь. Какое правило применяем?» | Ученик у доски: «Вижу дробь, значит знаменатель не равен нулю. Пишу: 2x - 10 ≠ 0. 2x ≠ 10, x ≠ 5. Ответ: x — любое, кроме 5». Остальные записывают в тетрадь. |
3 мин | «А теперь задание из ОГЭ №11. Перед вами три графика гиперболы. У одной разрыв при x=2, у другой при x=-2. Как по формуле понять, какой график наш? Примените наше знание о D(f).» | Анализируют формулы y=1/(x-2) и y=1/(x+2), находят точки разрыва и соотносят их с графиками на экране. Обсуждают в парах. |
Эталон решения
Для функции y = 5 / (x^2 - 9): x^2 - 9 ≠ 0 => (x-3)(x+3) ≠ 0 => x ≠ 3 и x ≠ -3. D(f): (-∞; -3) ∪ (-3; 3) ∪ (3; +∞).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Видите, знание D(f) позволяет сразу отсечь лишние варианты в тестах. Переходим к самостоятельной проверке сил.»
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения материала, развитие навыков самоконтроля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздает мини-тесты на 4 задания: два на нахождение D(f) по формуле, одно на E(f) по графику и одно задание №20 (найти область определения выражения). «У вас 5 минут. Работаем самостоятельно, это ваша репетиция ОГЭ.» | Выполняют задания теста в тетрадях или на бланках. |
2 мин | Учитель выводит ответы на экран. «Возьмите зеленые ручки. Если ответ верный — ставим плюс. Если нет — обведите ошибку и исправьте её, пользуясь эталоном.» | Сверяют свои ответы с эталоном на экране, проводят самооценку, задают вопросы по тем пунктам, где возникли ошибки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Поднимите руки, у кого нет ошибок. Отлично! Те, у кого 1-2 ошибки — не переживайте, мы их сейчас разобрали. Это типичные ловушки ОГЭ.»
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: подвести итоги урока, зафиксировать новые знания и дать инструкции по выполнению домашнего задания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Ребята, наш урок подходит к концу. Давайте вспомним: по какой оси мы ищем область определения? А область значений? Какие два "нельзя" мы сегодня выучили? Оцените свою работу на уроке с помощью карточек "Светофор".» | Отвечают: «D(f) по иксам, E(f) по игрекам. Нельзя делить на ноль и извлекать корень из минуса». Поднимают карточки (зеленая — все понял, желтая — есть вопросы, красная — трудно). |
1 мин | Учитель диктует домашнее задание, разделяя его по уровням сложности. «Обратите внимание на задание №20 из сборника Ященко — это ваш пропуск к оценке "4" и "5" на экзамене.» | Записывают задание в дневники, задают уточняющие вопросы по выполнению. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно найдены области определения для всех типов функций (линейная, дробная, иррациональная), правильно считана область значений с графика, работа оформлена аккуратно с использованием символики множеств.
- «4» — допущена 1 вычислительная ошибка или ошибка в строгом/нестрогом знаке неравенства при нахождении D(f) корня, верно выполнены задания по графику.
- «3» — ученик понимает принцип (знаменатель не равен 0), но затрудняется в решении полученных уравнений или неравенств, путает оси OX и OY при работе с графиком.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое математическое ограничение показалось тебе самым простым для запоминания? | Выявление уровня усвоения базовых правил (деление на ноль). |
В чем разница между поиском D(f) по графику и по формуле? | Осознание различий между аналитическим и визуальным методами анализа функции. |
Какое задание из теста ОГЭ теперь кажется тебе менее страшным? | Снижение экзаменационной тревожности и фиксация успеха. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня вы сделали важный шаг к успешной сдаче ОГЭ. Мы не просто изучили сухую теорию, мы научились видеть границы, которые задает математика. Помните: функция — это порядок, а область определения — это правила этого порядка. Если вы будете соблюдать эти правила, ни одна задача №20 не поставит вас в тупик. На следующем уроке мы научимся исследовать функции на возрастание и убывание. Спасибо за работу, до встречи!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник: №12, №15 (а, б) | Нахождение области определения простейших функций по формуле. |
Средний (повышающий) | Сборник ОГЭ (Ященко): Задание №11 (варианты 1-5) | Сопоставление графиков функций с их областями определения. |
Продвинутый (дополнительный) | Задание №20 ОГЭ | Найти область определения функции, содержащей и корень, и знаменатель одновременно. |