Действительные числа. Действия над действительными числами
Цели и задачи
- Цель: Систематизировать знания о числовых множествах и сформировать навык выполнения арифметических действий с действительными числами в контексте подготовки к ОГЭ.
- Образовательная задача: Обобщить понятия рациональных и иррациональных чисел, отработать алгоритмы сравнения и преобразования выражений с корнями.
- Развивающая задача: Развивать логическое мышление через классификацию объектов и установление причинно-следственных связей.
- Воспитательная задача: Формировать навыки самоконтроля и адекватной самооценки при выполнении дифференцированных заданий.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к обучению, готовности к саморазвитию и самообразованию.
- Развитие критичности мышления, умения отличать гипотезу от факта.
- Формирование осознанного выбора индивидуальной траектории обучения (выбор уровня сложности задач).
Метапредметные
- Познавательные: умение классифицировать числа по множествам, строить логические рассуждения и делать выводы.
- Регулятивные: умение планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей, осуществлять самоконтроль по эталону.
- Коммуникативные: умение аргументировать свою позицию, работать в паре при обсуждении стратегии решения.
Предметные
- Знать определение рациональных, иррациональных и действительных чисел.
- Уметь представлять действительные числа в виде бесконечных десятичных дробей.
- Уметь выполнять сравнение действительных чисел и арифметические действия над ними (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень).
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование (связь между целью учебной деятельности и ее мотивом — подготовкой к ОГЭ).
- Нравственно-этическое оценивание усваиваемого содержания.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Оценка — выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных).
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации.
- Управление поведением партнера — контроль, коррекция, оценка его действий.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с заданиями из открытого банка ФИПИ (прототипы заданий №6 и №7 ОГЭ).
- Распечатать дифференцированные карточки для самостоятельной работы (3 уровня сложности) — 25 комплектов.
- Подготовить наглядное пособие «Матрешка числовых множеств» (круги Эйлера).
- Проверить наличие учебников «Алгебра 9 класс» (авторы: Ю.Н. Макарычев и др.) на партах.
- Подготовить листы самооценки для этапа рефлексии.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать психологический настрой на работу, актуализировать утилитарную мотивацию через связь с ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, девятиклассники! Присаживайтесь. Сегодня у нас важная тема, которая является фундаментом для всей математики. Но прежде чем мы начнем, посмотрите на доску. Там выведены номера заданий из демонстрационного варианта ОГЭ этого года. Задания №6 и №7 напрямую связаны с тем, что мы будем сегодня обсуждать. Как вы думаете, стоит ли потратить 45 минут, чтобы гарантированно получить 2 балла на экзамене?» | Ученики приветствуют учителя, настраиваются на работу. Отвечают: «Конечно, стоит», «Это важные баллы». |
2 мин | «Отлично. Наша задача сегодня — не просто вспомнить, что такое числа, а научиться виртуозно ими манипулировать. В конце урока каждый из вас сам оценит, насколько он готов к выполнению этих заданий экзамена. Открываем тетради, записываем дату и тему урока: "Действительные числа. Действия над ними"». | Записывают дату и тему урока в тетради. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы обозначили цель. Теперь давайте вспомним, с каким "багажом" мы пришли к 9 классу».
Этап 2. Актуализация знаний. Прием «Диаграмма Венна» (6 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о числовых множествах (N, Z, Q, I, R).
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «На доске вы видите круги, вложенные друг в друга. Это множества чисел. Давайте их подпишем. Кто напомнит, какие числа мы называем натуральными? Целыми? Рациональными? Я буду называть число, а вы говорите, в какой круг его "поселить": 5; -3; 0; 1/2; 0,333...; $\sqrt{2}$. Куда мы отправим $\sqrt{2}$?» | Ученики по очереди выходят к доске или отвечают с места. Дают определения: «Натуральные — для счета», «Целые — натуральные, им противоположные и нуль». Затрудняются с $\sqrt{2}$, предполагают, что оно «другое». |
3 мин | «Верно, $\sqrt{2}$ не вписывается в наши привычные рамки рациональных чисел. Это иррациональное число. Вместе рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел R. Посмотрите на схему в учебнике на странице 78. Совпадает ли она с нашей?» | Сверяют схему на доске с учебником, корректируют записи в тетрадях. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Запись в тетрадях
$N \subset Z \subset Q \subset R$; $I \subset R$. Действительное число — это бесконечная десятичная дробь.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, мы расширили мир чисел до действительных. Но умеем ли мы с ними работать так же легко, как с целыми?»
Этап 3. Постановка проблемы и открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: выявить проблему сравнения иррациональных чисел и найти способ её решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Проблема из ОГЭ: Сравните числа $3\sqrt{5}$ и $6,5$. Калькуляторов на экзамене нет. Какие идеи? Как нам понять, какое число больше? Можно ли извлечь корень точно? Нет. Что делать?» Учитель использует прием «Мозговой штурм». | Предлагают варианты: «Возвести в квадрат», «Приблизительно посчитать $\sqrt{5}$», «Внести число под корень». |
6 мин | «Давайте проверим способ внесения под корень. $3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{45}$. А $6,5 = \sqrt{6,5^2}$. Посчитайте в столбик, чему равно $6,5^2$. Теперь сравните $\sqrt{45}$ и $\sqrt{42,25}$. Какой вывод?» Учитель направляет к работе с учебником (п. 32). | Выполняют вычисления: $6,5 \cdot 6,5 = 42,25$. Делают вывод: $\sqrt{45} > \sqrt{42,25}$, значит $3\sqrt{5} > 6,5$. Один ученик записывает алгоритм на доске. |
Эталон решения
$3\sqrt{5} \vee 6,5$
$\sqrt{9 \cdot 5} \vee \sqrt{42,25}$
$\sqrt{45} > \sqrt{42,25}$
Ответ: $3\sqrt{5} > 6,5$.
$\sqrt{9 \cdot 5} \vee \sqrt{42,25}$
$\sqrt{45} > \sqrt{42,25}$
Ответ: $3\sqrt{5} > 6,5$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы нашли универсальный способ сравнения. Теперь перейдем к практике, чтобы закрепить этот навык».
Этап 4. Практикум и дифференцированная работа (12 мин)
Цель этапа: отработка навыков действий с числами на разных уровнях сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Работаем с учебником. Откройте №812 (а, в) и №815 (а). К доске пойдут двое. Остальные работают в тетрадях. Обратите внимание на оформление: мы должны четко видеть переход от иррационального вида к сравнению подкоренных выражений». | Двое учеников решают у доски, остальные в тетрадях. Сравнивают результаты, задают уточняющие вопросы. |
8 мин | «А теперь — индивидуальный зачет. У вас на столах карточки трех цветов. Зеленая — базовый уровень (задание №6 ОГЭ), желтая — средний (задание №7 + действия), красная — повышенный (комбинированные задачи). Выберите ту, с которой вы справитесь, но которая заставит вас немного подумать. У вас 8 минут». | Ученики выбирают карточку по силам. Самостоятельно решают задачи. В случае затруднений тихо консультируются с учителем. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Время вышло. Переверните карточки — на обороте ответы. Проверьте себя и поставьте плюс, если все верно».
Этап 5. Межпредметные связи и включение в систему знаний (5 мин)
Цель этапа: показать применение действительных чисел в других науках (физика, биология).
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Ребята, а вы знали, что иррациональные числа — это не выдумка математиков? В физике период колебания маятника вычисляется по формуле $T = 2\pi\sqrt{l/g}$. Здесь и $\pi$, и корень — действительные числа. В биологии пропорции человеческого тела стремятся к числу $\Phi$ (золотое сечение), которое равно $(1+\sqrt{5})/2 \approx 1,618$. Попробуйте дома найти это число в пропорциях своего лица!» | Слушают учителя, записывают формулу периода маятника, удивляются связи математики с биологией. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Математика — это язык, на котором говорит природа. И сегодня мы стали понимать этот язык чуть лучше».
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознание учеником результатов своей деятельности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Наш урок подходит к концу. Возьмите листы самооценки. Отметьте, на какой ступеньке вы сейчас находитесь относительно заданий ОГЭ по теме "Числа". Что было самым сложным сегодня?» Прием «Светофор». | Заполняют листы самооценки, поднимают карточки (зеленая — все понятно, желтая — есть вопросы, красная — ничего не понял). |
2 мин | «Запишите домашнее задание. Оно также дифференцировано. Обратите внимание на творческое задание для желающих». | Записывают домашнее задание в дневники. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — Верно выполнены все задания выбранного уровня (базовый, средний или повышенный), продемонстрирован четкий алгоритм сравнения иррациональных чисел.
- «4» — Допущена 1 вычислительная ошибка при верном ходе решения, или выполнены задания базового уровня с одной неточностью в оформлении.
- «3» — Выполнено более половины заданий базового уровня, допущены ошибки в преобразовании корней или сравнении десятичных дробей.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
В каком задании ОГЭ мне пригодятся сегодняшние знания? | Осознание практической значимости темы для экзамена. |
Какой этап сравнения $a\sqrt{b}$ и $c$ вызывает у меня наибольшее затруднение? | Выявление конкретных пробелов в алгоритме (возведение в квадрат, умножение). |
Могу ли я объяснить товарищу разницу между рациональным и иррациональным числом? | Проверка глубины понимания теоретического материала. |
Завершающее слово учителя
«Ребята, сегодня мы проделали большую работу. Мы не просто повторили теорию, а применили её к реальным задачам, которые ждут вас в конце года. Помните, что действительные числа — это не страшно, если знать правила игры с ними. Если у кого-то остались вопросы по карточкам — жду вас на консультации. Спасибо за урок, вы сегодня работали как настоящая команда!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник: №813, №816 | Отработка стандартных умений сравнения и расположения чисел на прямой. |
Средний (повышающий) | Учебник: №821; РешуОГЭ: вариант №1 (задания 6, 7) | Применение знаний в формате экзаменационного теста. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследование: «Число Пи — почему оно иррационально?» | Подготовить краткое сообщение или презентацию (3-5 слайдов). |
Контрольный вопрос: «Как изменится знак неравенства при возведении обеих частей в квадрат, если числа отрицательные?»