Числовые неравенства и их свойства
Цели и задачи
- Цель: Сформулировать определение сравнения чисел через разность и доказать основные свойства числовых неравенств, научившись применять их при решении задач формата ОГЭ.
- Образовательные задачи: изучить определение понятий «больше» и «меньше», рассмотреть свойства транзитивности, сложения и умножения неравенств на число.
- Развивающие задачи: развивать навыки логического мышления, умение анализировать и обобщать математические факты, формировать навыки самоконтроля.
- Воспитательные задачи: воспитывать ответственность за результат коллективного труда (работа в парах) и уверенность при подготовке к государственной итоговой аттестации.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к учению, готовности к саморазвитию.
- Умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Развитие критичности мышления, умения распознавать логически некорректные высказывания.
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы.
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения задач.
- Коммуникативные: умение работать в паре, находить общее решение и разрешать конфликты на основе согласования позиций.
Предметные
- Знать определение сравнения чисел (a > b, если a - b > 0).
- Уметь доказывать и применять свойства числовых неравенств.
- Владеть навыками сравнения значений выражений при различных значениях переменных.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Нравственно-этическая ориентация в рамках подготовки к экзаменам.
- Смыслообразование (связь между целью учебной деятельности и ее мотивом).
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи.
- Волевая саморегуляция при выполнении сложных заданий ОГЭ.
Познавательные УУД
- Поиск и выделение необходимой информации из учебника.
- Моделирование условия задачи с помощью координатной прямой.
Коммуникативные УУД
- Учет позиции партнера в общении и деятельности.
- Умение аргументировать свою точку зрения при доказательстве теорем.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для работы в парах «Исследование свойств» (15 экземпляров).
- Подготовить презентацию со слайдами: 1) Определение, 2) Задания ОГЭ №7, 3) Свойства неравенств.
- Распечатать дифференцированные карточки для самостоятельной работы (3 уровня сложности).
- Проверить работу проектора и интерактивной доски.
- Подготовить демонстрационные магнитные карточки со знаками «>», «<», «=».
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: создать условия для возникновения внутренней потребности включения в учебную деятельность, используя контекст ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня мы начинаем одну из самых важных тем курса алгебры, которая встречается в ОГЭ под номером 7 и 13. Но прежде чем мы перейдем к цифрам, ответьте: что значит "быть лучше" или "зарабатывать больше"? В жизни мы постоянно сравниваем. В математике сравнение — это фундамент. Сегодня мы станем исследователями и сами выведем законы, по которым живут неравенства. Готовы ли вы к открытию?» Учитель выводит на экран слайд с заданием №7 из демоверсии ОГЭ. | Ученики приветствуют учителя, настраиваются на работу. Смотрят на слайд, осознают практическую значимость темы для предстоящего экзамена. Отвечают: «Да, готовы!» |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Отлично! Чтобы успешно справиться с экзаменом, нам нужно понимать не просто правила, а логику. Начнем с простого вопроса: как математически доказать, что одно число больше другого?»
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить навыки сравнения чисел и подвести к определению неравенства через разность.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Ребята, посмотрите на доску. Даны пары чисел: 15 и 8; -5 и -10; 1/2 и 1/3. Сравните их устно. А теперь внимание: вычислите разность первой пары, второй и третьей. Что вы заметили в знаках полученных разностей? Сформулируйте правило: если a > b, то какой знак будет у разности (a - b)?» Учитель записывает на доске: a > b <=> a - b > 0. | Ученики сравнивают числа: «15 > 8», «-5 > -10», «1/2 > 1/3». Вычисляют разности: 15-8=7 (положительное), -5-(-10)=5 (положительное), 1/2-1/3=1/6 (положительное). Формулируют вывод: «Если число a больше b, то их разность положительна. Если меньше — отрицательна». Записывают определение в тетрадь. |
Запись в тетрадях
Определение: Число a больше числа b, если разность a - b — положительное число; число a меньше числа b, если разность a - b — отрицательное число.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы зафиксировали главное определение. Теперь, используя его, мы сможем исследовать свойства, которые позволят нам манипулировать неравенствами как уравнениями».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (3 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при работе с буквенными неравенствами и поставить цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Представьте ситуацию: нам известно, что a > b. Можем ли мы утверждать, что a + 100 > b + 100? А что будет, если мы умножим обе части на -1? Всегда ли знак сохранится? В ОГЭ часто просят выбрать верное утверждение для выражений типа 2a и 2b. Наша задача сегодня — составить "кодекс правил" для таких случаев. Как мы назовем тему урока?» | Ученики высказывают предположения. Сталкиваются с сомнением при вопросе об умножении на отрицательное число. Формулируют тему: «Свойства числовых неравенств». Ставят цель: «Узнать свойства и научиться их применять». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, тема записана. Переходим к лабораторной работе в парах. Вы — ученые, ваша задача — проверить гипотезы».
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: через исследовательскую деятельность в парах вывести основные свойства неравенств.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «У вас на партах лежат карточки с заданиями. Работаем в парах. Приём "Think-Pair-Share". Сначала подумайте сами над первым свойством, обсудите с соседом и будьте готовы представить вывод классу. Задание 1: если a > b и b > c, что можно сказать о a и c? Приведите пример». | Ученики обсуждают в парах. Приводят примеры: «Если 10 > 5, а 5 > 2, то 10 > 2». Формулируют свойство транзитивности. |
5 мин | «Задание 2: Исследуйте, что произойдет с верным неравенством 8 > 5, если к обеим частям прибавить 3? А если вычесть 10? Сохранится ли знак? Сделайте общий вывод для a > b и любого числа c». | Ученики проводят вычисления: 8+3=11, 5+3=8, 11 > 8. 8-10=-2, 5-10=-5, -2 > -5. Вывод: «Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство». |
5 мин | «Внимание, самое опасное задание! Возьмите неравенство 6 > 4. Умножьте обе части на 2. А теперь умножьте исходное 6 > 4 на -3. Что произошло со знаком во втором случае? Обсудите, почему это так, используя координатную прямую». | Ученики умножают: 12 > 8 (знак тот же). Умножают на -3: -18 и -12. Замечают, что -18 < -12. Делают открытие: «При умножении на отрицательное число знак неравенства переворачивается!» |
Запись в тетрадях
- 1. Если a > b и b > c, то a > c.
- 2. Если a > b, то a + c > b + c.
- 3. Если a > b и m > 0, то am > bm.
- 4. Если a > b и m < 0, то am < bm (знак меняется!).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы совершили важное открытие. Именно на смене знака при умножении на отрицательное число ловят учеников на экзаменах. Запомним это правило как "правило разворота"».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: применить полученные свойства для решения типовых задач.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | «Давайте решим задачу из открытого банка ОГЭ. Известно, что a < b. Сравните: 1) a - 5 и b - 5; 2) -3a и -3b; 3) a/2 и b/2. Вызываю к доске троих учеников по очереди. Остальные работают в тетрадях. Помните о "правиле разворота"!» | Ученики решают: 1) a - 5 < b - 5 (свойство 2); 2) -3a > -3b (свойство 4, знак сменился); 3) a/2 < b/2 (свойство 3, деление на 2 — это умножение на 1/2). Комментируют свои действия, ссылаясь на номера свойств. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы видим, что свойства работают безотказно. Теперь проверим, как вы справитесь самостоятельно, выбрав свой уровень сложности».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: диагностика уровня усвоения материала, дифференциация обучения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Перед вами карточки трех цветов. Зеленая — базовый уровень (аналог №7 ОГЭ), Желтая — средний уровень (требует логических выкладок), Красная — повышенный уровень (свойства с параметрами). Выберите одну и решите. Время пошло». Учитель включает таймер. | Ученики выбирают карточку по силам. Самостоятельно решают задачи. Те, кто выбрал красный уровень, анализируют более сложные буквенные выражения. |
2 мин | Учитель выводит эталон ответов на экран: «Сверьте свои результаты. Если есть ошибка — обведите её в кружок и рядом напишите номер свойства, которое нарушили». | Ученики проводят самопроверку, ставят себе плюс или фиксируют ошибку для коррекции. |
Эталон решения (Базовый уровень)
Дано: x > y. Сравнить -2x + 7 и -2y + 7.
1) Умножим обе части на -2: -2x < -2y (знак меняется).
2) Прибавим 7 к обеим частям: -2x + 7 < -2y + 7 (знак сохраняется).
Ответ: -2x + 7 < -2y + 7.
1) Умножим обе части на -2: -2x < -2y (знак меняется).
2) Прибавим 7 к обеим частям: -2x + 7 < -2y + 7 (знак сохраняется).
Ответ: -2x + 7 < -2y + 7.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Поднимите руки, кто выполнил без ошибок? Молодцы. У кого одна ошибка — не страшно, мы только учимся».
Этап 7. Включение в систему знаний и межпредметные связи (5 мин)
Цель этапа: показать применение свойств неравенств в физике.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «А знаете ли вы, что неравенства — это язык физики? Вспомните закон Архимеда. Тело плавает, если F_арх > F_тяж. Что будет, если мы увеличим массу тела, не меняя объема? Тяжесть вырастет. Как изменится неравенство? А если мы перенесем этот эксперимент на Луну, где сила тяжести в 6 раз меньше? Мы разделим обе части на 6. Знак сохранится? Вот так математические свойства помогают физикам предсказывать поведение объектов». | Ученики вспоминают формулы физики. Обсуждают: «Так как 6 > 0, то при делении на 6 знак неравенства не изменится, соотношение сил сохранится, и условие плавания останется прежним (если плотность жидкости та же)». Осознают связь предметов. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Как видите, алгебра — это инструмент для понимания всего мира, от падения яблока до движения валют на бирже».
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осознание учеником результатов своей деятельности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Наш урок подходит к концу. Заполните, пожалуйста, короткий опросник "Светофор" в конце тетради. И запишите домашнее задание. Оно тоже разделено по уровням, выберите тот, который вам сегодня покорился». Учитель диктует номера заданий. | Ученики рисуют кружок нужного цвета (рефлексия), записывают задание в дневник. Задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня, даны четкие обоснования с ссылками на свойства.
- «4» — допущена 1 негрубая ошибка в вычислениях или отсутствует ссылка на свойство при верном ответе.
- «3» — решено более половины заданий базового уровня, допущены ошибки в знаках при умножении на отрицательное число.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство сегодня было самым «коварным»? | Выявление понимания инверсии знака при умножении на отрицательное число. |
На каком этапе работы в паре возникли споры? | Диагностика коммуникативных УУД и умения аргументировать. |
Чувствуете ли вы себя увереннее перед заданием №7 ОГЭ? | Оценка эмоционального состояния и мотивации. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня вы отлично поработали в роли исследователей. Мы не просто выучили параграф, мы поняли природу неравенств. Помните: в математике, как и в жизни, если вы меняете направление на противоположное (умножаете на минус), все ваши ориентиры тоже должны развернуться. На следующем уроке мы научимся складывать и перемножать неравенства друг с другом. Спасибо за урок, до встречи!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | № 740, 742 (учебник Макарычева) | Закрепление определения и простейших свойств на числах. |
Средний (повышающий) | № 745, 748 | Работа с буквенными выражениями и доказательство простых неравенств. |
Продвинутый (дополнительный) | Карточка «Задачи ОГЭ повышенной сложности» | Задания с параметрами и модулями, требующие глубокого анализа свойств. |
Контрольный вопрос: «При каком условии знак неравенства a > b изменится на противоположный при умножении на число k?»