Многоугольники

2 ШАГА · 2 БАЛЛА

1. Доказательство параллелограмма

Дан четырехугольник $ABCD$, в котором стороны $AB$ и $CD$ равны. Установите логическую последовательность шагов, чтобы доказать, что $ABCD$ является параллелограммом, используя равенство треугольников через общую диагональ $AC$.

1. Рассмотреть треугольники $ABC$ и $CDA$ и доказать их равенство по двум сторонам и углу между ними (или трем сторонам)
2. Сделать вывод о параллельности $AB\parallel CD$ на основании равенства накрест лежащих углов при секущей $AC$
3. Воспользоваться признаком параллелограмма: если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то это параллелограмм
4. Установить равенство соответствующих накрест лежащих углов $\angle BAC$ и $\angle ACD$

1 ШАГ · 1 БАЛЛ

2. Углы параллелограмма

Рассмотрите чертеж параллелограмма $ABCD$ и найдите величину угла $x$.

2 ШАГА · 2 БАЛЛА

3. Углы в параллелограмме

В параллелограмме $ABCD$ разность двух углов, прилежащих к одной стороне, равна $40^{\circ }$. Найдите величину тупого угла этого параллелограмма.

• $110^{\circ }$
• $70^{\circ }$
• $140^{\circ }$
• $150^{\circ }$

2 ШАГА · 2 БАЛЛА

4. Стороны параллелограмма

Периметр параллелограмма равен 22 см, а одна из его сторон на 3 см больше другой. Найдите длины сторон этого параллелограмма.

2 ШАГА · 2 БАЛЛА

5. Свойство диагоналей

Расположите этапы доказательства того, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

1. Рассмотреть треугольники, образованные пересечением диагоналей и противоположными сторонами
2. Сделать вывод о равенстве соответствующих сторон (отрезков диагоналей)
3. Найти пары накрест лежащих углов при параллельных сторонах и секущих-диагоналях
4. Доказать равенство треугольников по стороне и двум прилежащим углам

2 ШАГА · 3 БАЛЛА

6. Углы равнобокой трапеции

На чертеже изображена равнобокая трапеция. Найдите все её остальные углы, если один из них известен.

1 ШАГ · 2 БАЛЛА

7. Свойства прямоугольника

Выберите утверждение, которое НЕ является обязательным свойством любого прямоугольника.

• Диагонали равны
• Диагонали перпендикулярны
• Все углы прямые
• Противоположные стороны параллельны

2 ШАГА · 3 БАЛЛА

8. Биссектриса в параллелограмме

В параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$. Найдите периметр параллелограмма, если $BM=5$ см и $MC=3$ см.

1 ШАГ · 2 БАЛЛА

9. Свойства углов параллелограмма

Восстановите правильный порядок действий для нахождения всех углов параллелограмма, если известен один его угол, равный $40^{\circ }$.

1. Найти второй острый угол как противоположный данному: он тоже равен $40^{\circ }$.
2. Найти второй тупой угол как противоположный найденному: он равен $140^{\circ }$.
3. Найти тупой угол, вычтя из $180^{\circ }$ известный острый угол: $180^{\circ }-40^{\circ }=140^{\circ }$.
4. Записать ответ: углы параллелограмма равны $40^{\circ },140^{\circ },40^{\circ },140^{\circ }$.

УДВОЕНИЕ МЕДИАНЫ · 3 БАЛЛА

10. Достраивание до параллелограмма

На чертеже изображён треугольник $ABC$ и его медиана $BM$. Постройте точку $D$, симметричную точке $B$ относительно точки $M$. Проведите отрезки $AD$ и $CD$. Определите вид получившегося четырёхугольника $ABCD$ и обоснуйте ответ, используя признаки параллелограмма.