Рабочий лист на тему:

Гипербола

Геометрия11 класс20 заданий

ТаблицаЗаполни пропускиМатематический рисунокРеши задачуМножественный выборСравни числаВопросы по картинкеКроссвордПоследовательностьИстина / ЛожьРаскраска

Типы заданий

Гипербола

11 класс · сложный

Ф.И.
Класс

Приготовься к глубокому погружению в теорию кривых второго порядка. Эти задачи потребуют от тебя не только знания формул, но и умения видеть геометрические закономерности в сложных аналитических конструкциях.

№1 · СПРАВОЧНИК

ТАБЛИЦА ПАРАМЕТРОВ

1. Основные характеристики гиперболы

Заполни пустые ячейки в таблице характеристик гиперболы, заданной каноническим уравнением $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ .

Параметр	Формула / Определение	Геометрический смысл
Фокусное расстояние		Расстояние между фокусами $F_{1}$ и $F_{2}$
Связь параметров
Эксцентриситет		Мера «сплюснутости» (всегда $> 1$ )
Асимптоты
Директрисы		Прямые, определяющие свойство кривой

№2 · ИСТОРИЯ

1 БАЛЛ

2. Античные корни

Заполни пропуски в исторической справке о происхождении термина.

Первым, кто начал систематически изучать конические сечения, был древнегреческий математик . Название «гипербола» (от греч. «избыток») ввёл Пергский в своём фундаментальном труде «Конические сечения». Он заметил, что при построении этой кривой квадрат ординаты площади прямоугольника, построенного на абсциссе.

№3 · АНАЛИЗ ГРАФИКА

РИСУНОК · 2 БАЛЛА

3. Чтение параметров по графику

Рассмотри график гиперболы и определи её каноническое уравнение.

Гипербола с асимптотами

№4 · ЗАДАЧА

3 БАЛЛА

4. Уравнение по фокусам

Составьте уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если расстояние между фокусами равно $10$ , а уравнение одной из асимптот $y = \frac{4}{3} x$ .

№5 · ТЕСТ

ВЫБОР · 1 БАЛЛ

5. Свойство эксцентриситета

Как изменится форма гиперболы, если её эксцентриситет $ε$ будет стремиться к $1$ ?

Ветви гиперболы будут становиться всё более «острыми», прижимаясь к оси $O x$
Ветви гиперболы будут раскрываться, приближаясь к прямым $x = a$
Гипербола превратится в окружность
Угол между асимптотами будет стремиться к $18 0^{\circ}$

№6 · ЗАДАЧА

4 БАЛЛА

6. Точка на гиперболе

Найдите точку $M (x, y)$ на гиперболе $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ , расстояние от которой до правого фокуса в два раза меньше, чем до левого.

№7 · СРАВНЕНИЕ

ЛОГИКА · 2 БАЛЛА

7. Эксцентриситет и асимптоты

Сравните значения эксцентриситета $ε$ для гипербол с разными углами $α$ между асимптотами (угол, содержащий ось $O x$ ).

ε

при

α = 6 0^{\circ}

ε

при

α = 9 0^{\circ}

ε

при

α = 12 0^{\circ}

ε

при

α = 9 0^{\circ}

№8 · ЗАДАЧА

5 БАЛЛОВ

8. Касательная к гиперболе

Докажите, что произведение расстояний от фокусов до любой касательной к гиперболе есть величина постоянная, и найдите её значение для гиперболы $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ .

№9 · ГРАФИКА

ПОСТРОЕНИЕ

9. Асимптотический прямоугольник

На координатной плоскости отмечены вершины гиперболы $(\pm 4, 0)$ и точки $(\pm 4, \pm 3)$ . Постройте асимптоты и схематично изобразите ветви гиперболы.

Постройте: Заготовка для построения $\frac{x ^{2}}{16} - \frac{y ^{2}}{9} = 1$

№10 · СИСТЕМАТИЗАЦИЯ

ТАБЛИЦА СРАВНЕНИЯ

10. Эллипс vs Гипербола

Сравните свойства эллипса и гиперболы.

Свойство	Эллипс $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$	Гипербола $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$
Сумма/разность фокальных радиусов
Связь $a, b, c$
Эксцентриситет
Наличие асимптот	Нет

№11 · ЗАДАЧА

3 БАЛЛА

11. Директрисы

Найдите расстояние между директрисами гиперболы, если её эксцентриситет равен $2$ , а расстояние между фокусами равно $16$ .

+10 заданий в этом листе

Зарегистрируйтесь — и соберите свой рабочий лист по этой теме за минуту: заданий столько, сколько нужно.

№12 · ТЕСТ

ВЫБОР · 1 БАЛЛ

12. Равнобочная гипербола

Каким свойством обладает эксцентриситет равнобочной гиперболы ( $a = b$ )?

Он равен $2$
Он равен $2$
Он зависит от масштаба осей
Он равен $1$

№13 · ГЕОМЕТРИЯ

СЕЧЕНИЯ

13. Гипербола как коническое сечение

На рисунке схематично изображен конус и секущая плоскость. При каком условии в сечении получается именно гипербола?

Сколько полостей (напп) конуса должна пересекать плоскость?
Как должен соотноситься угол наклона плоскости с углом наклона образующей конуса?

№14 · ЗАДАЧА

4 БАЛЛА

14. Площадь треугольника

Вычислите площадь треугольника, образованного асимптотами гиперболы $\frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{9} = 1$ и прямой $x = 4$ .

№15 · ТЕРМИНЫ

КРОССВОРД

15. Геометрия гиперболы

Разгадай кроссворд, используя основные понятия темы.

По горизонтали

Прямая, имеющая с гиперболой одну общую точку
Тело вращения, сечением которого является гипербола
Кривая, разность расстояний от точек которой до фокусов постоянна
Прямая, к которой неограниченно приближается ветвь
Прямая, расстояние до которой связано с эксцентриситетом
Величина, входящая в уравнение

По вертикали

Точка, определяющая форму кривой
Точка пересечения гиперболы с её действительной осью
Отношение фокусного расстояния к действительной полуоси
Отрезок, соединяющий две точки кривой
Хорда, проходящая через центр
Автор труда «Конические сечения»

№16 · ЗАДАЧА

5 БАЛЛОВ

16. Оптическое свойство

Докажите аналитически, что касательная к гиперболе в любой её точке является биссектрисой угла между фокальными радиусами этой точки.

№17 · ЛОГИКА

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

17. Алгоритм построения

Установите правильный порядок действий при построении гиперболы по уравнению $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ .

Отметить вершины $(\pm a, 0)$ на оси $O x$
Построить основной прямоугольник со сторонами $2 a$ и $2 b$
Провести диагонали прямоугольника (асимптоты)
Плавно провести ветви, приближая их к асимптотам

№18 · ЗАДАЧА

4 БАЛЛА

18. Пересечение с прямой

Найдите значения параметра $k$ , при которых прямая $y = k x$ не имеет общих точек с гиперболой $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ .

№19 · ТЕОРИЯ

ВЕРНО/НЕВЕРНО

19. Истинность утверждений

Отметьте верные утверждения о свойствах гиперболы.

Фокусы гиперболы всегда лежат внутри её ветвей
Директрисы гиперболы пересекают её ветви
Любая гипербола имеет две оси симметрии
Эксцентриситет гиперболы может быть равен $0.5$

№20 · ТВОРЧЕСТВО

ОПТИКА

20. Оптическое свойство в цвете

На схеме показан ход луча, выходящего из одного фокуса и отражающегося от гиперболы. Раскрась элементы схемы согласно инструкции.

Ветви гиперболы — синим, падающий луч — красным, отраженный луч — желтым, фокусы — зеленым.

Создайте уникальный лист по своей теме

Любая тема, любой уровень
20+ типов заданий
100% уникальный контент
Со страницей ответов
Защита от списывания
Готово за 1 минуту

Создайте уникальный лист по своей теме

Любая тема, любой уровень
20+ типов заданий
100% уникальный контент
Со страницей ответов
Защита от списывания
Готово за 1 минуту

Типы заданий

Создайте дополнительно

Другие темы по геометрии для 11 класса

Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Способы задания плоскости. Основные геометрические объекты в пространстве. Взаимное расположение прямых, плоскостей и прямой с плоскостью в пространстве. Перпендикуляр и наклонная. Параллельное и ортогональное проектирование.Сфера и шар: центр, радиус, диаметр; площадь поверхности сферы Основные фигуры, факты, теоремы курса планиметрии Задания на каноническое уравнение окружности со справочным материалом Объем и площадь поверхности шара Понятие об объеме; Объем цилиндра, конуса; Объем шара и площадь сферы Вектор на плоскости и в пространстве; Сложение и вычитание векторов; Умножение вектора на число; Прямоугольная система координат в пространстве; Координаты вектора Тела вращения Объемы тел Векторы и координаты в пространстве Вектор на плоскости и в пространстве; Сложение и вычитание векторов; Умножение вектора на число; Решение задач, связанных с применением правил действий с векторами; Координаты вектора; Прямоугольная с

Чем удобны рабочие листы Нейрум

По действующей программеТемы и задания совпадают со школьной программой 1–11 классов. Открыли — дали классу, без правок.
Готово к печати, с ответамиPDF в формате A4 и ключ ответов на отдельной странице. Скачали, распечатали, раздали — без правок в Word.
Свой лист за минутуНе нашли нужный? ИИ-конструктор соберёт лист по вашей теме, классу и типам заданий.

Вопросы и ответы

Как скачать рабочий лист «Гипербола»?

Зарегистрируйтесь бесплатно — лист сохранится в личном кабинете, откуда его можно скачать в PDF и распечатать.

Сколько заданий в листе и какие они?

В листе 20 заданий: таблица, заполни пропуски, математический рисунок, реши задачу, множественный выбор, сравни числа, вопросы по картинке, кроссворд, последовательность, истина / Ложь, раскраска.

Соответствует ли лист ФГОС?

Да, задания ориентированы на школьную программу по геометрии для 11 класса по ФГОС.

Можно ли изменить задания под свой класс?

Да. После регистрации лист открывается в конструкторе: задания можно заменить, перегенерировать или добавить новые.

Гипербола

Типы заданий

1. Основные характеристики гиперболы

2. Античные корни

3. Чтение параметров по графику

4. Уравнение по фокусам

5. Свойство эксцентриситета

6. Точка на гиперболе

7. Эксцентриситет и асимптоты

8. Касательная к гиперболе

9. Асимптотический прямоугольник

10. Эллипс vs Гипербола

11. Директрисы

12. Равнобочная гипербола

13. Гипербола как коническое сечение

14. Площадь треугольника

15. Геометрия гиперболы

16. Оптическое свойство

17. Алгоритм построения

18. Пересечение с прямой

19. Истинность утверждений

20. Оптическое свойство в цвете

Похожие рабочие листы

Сфера и шар: центр, радиус, диаметр; площадь поверхности сферы

Основные фигуры, факты, теоремы курса планиметрии

Другие темы по геометрии для 11 класса

Чем удобны рабочие листы Нейрум

Вопросы и ответы