Скалярное произведение векторов

2 БАЛЛА

7. Свойства произведения

Отметьте истинные утверждения о скалярном произведении векторов в пространстве.

1. Скалярное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны (при условии, что векторы ненулевые).ИстинаЛожь
2. Если угол между векторами тупой, то их скалярное произведение положительно.ИстинаЛожь
3. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.ИстинаЛожь
4. Для любых векторов $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ выполняется закон $(\vec{a}\cdot \vec{b})\cdot \vec{c}=\vec{a}\cdot (\vec{b}\cdot \vec{c})$.ИстинаЛожь

3 БАЛЛА

8. Угол между скрещивающимися прямыми

В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ все ребра равны $2$. Найдите косинус угла между прямыми $AS$ и $BD$.

3 БАЛЛА

9. Условие перпендикулярности комбинаций

Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, такие что $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2$, а угол между ними равен $120^{\circ }$. Найдите значение $x$, при котором векторы $\vec{a}+x\vec{b}$ и $\vec{b}-\vec{a}$ перпендикулярны.

5 БАЛЛОВ

10. Скрещивающиеся ребра тетраэдра

Докажите с помощью векторов, что в правильном тетраэдре $ABCD$ с ребром $a$ скрещивающиеся ребра перпендикулярны. В качестве ответа вычислите скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$.