Рабочий лист на тему:

Уравнения и методы их решения

Алгебра11 класс50 заданий

Краткий ответРеши примерыРеши задачуМножественный выборЗаполни пропускиСоединениеТаблицаИстина / ЛожьСравни числаПоследовательностьНайти лишнее

Типы заданий

11 класс · дифференцированный

Ф.И.
Класс

Потренируем преобразования, которые помогают быстро решать показательные и биквадратные уравнения. Задачи будут усложняться — проверяй ОДЗ и корни после замены.

№1 · ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1 УРАВНЕНИЕ · 1 БАЛЛ

1. Одинаковые основания

Решите уравнение $3^{x} = 81$ .

№2 · ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1 УРАВНЕНИЕ · 1 БАЛЛ

2. Степень с основанием 5

Решите уравнение $5^{x - 1} = 125$ .

5^{x - 1}

№3 · БИКВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1 УРАВНЕНИЕ · 1 БАЛЛ

3. Замена $t = x^{2}$

Решите уравнение $x^{4} - 81 = 0$ .

№4 · РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ

1 ВЫРАЖЕНИЕ · 1 БАЛЛ

4. Разность квадратов

Выберите разложение выражения $x^{2} - 64$ .

$(x - 8)^{2}$
$(x - 8) (x + 8)$
$(x - 64) (x + 1)$
$(x + 64) (x - 1)$

№5 · КОРНИ

1 ВЫРАЖЕНИЕ · 1 БАЛЛ

5. Квадратный корень

Вычислите значение выражения $121$ .

№6 · ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1 УРАВНЕНИЕ · 2 БАЛЛА

6. Сведение к основанию 3

Решите уравнение $9^{x} - 3^{x + 1} = 0$ .

№7 · ПОДСТАНОВКА СТЕПЕНИ

1 УРАВНЕНИЕ · 2 БАЛЛА

7. Замена $t = 3^{x}$

Решите уравнение $9^{x} - 10 \cdot 3^{x} + 9 = 0$ .

Пусть $t = 3^{x}$ . Тогда уравнение принимает вид $t^{2} - 10 t + 9 = 0$ , откуда $t = \underline{ab c}$ или $t = \underline{ab c}$ . Поэтому $x = \underline{ab c}$ или $x = \underline{ab c}$ .

№8 · БИКВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1 УРАВНЕНИЕ · 2 БАЛЛА

8. Два положительных значения $t$

Соотнесите этапы решения уравнения $x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$ с результатами.

№9 · РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ

1 УРАВНЕНИЕ · 2 БАЛЛА

9. Общий множитель

Решите уравнение $x^{3} - 5 x^{2} = 0$ .

№10 · КОРНИ И СТЕПЕНИ

4 ВЫРАЖЕНИЯ · 2 БАЛЛА

10. Вычисление корней

Вычислите значения выражений и заполните пустые ячейки таблицы.

Выражение	Значение
$169$
$3216$
$0, 36$
$\frac{1}{25}$

№11 · ИСТИНА И ЛОЖЬ

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 2 БАЛЛА

11. Свойства корней уравнения

Определите истинность каждого утверждения о решении уравнений и свойствах корней.

Если $x^{2} = 16$ , то $x = 4$ или $x = - 4$ .
Уравнение $x^{2} = - 9$ имеет два действительных корня.
При замене $t = x^{2}$ необходимо учитывать условие $t \geq 0$ .
Уравнение $5^{x} = 0$ имеет действительный корень.

№12 · СРАВНЕНИЕ

3 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

12. Сравнение степеней и корней

Сравните однородные выражения и поставьте между ними знак $<$ , $>$ или $=$ .

2^{6}

4^{3}

72

62

3^{3}

2^{5}

№13 · ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ

4 ШАГА · 2 БАЛЛА

13. Алгоритм биквадратного уравнения

Расположите этапы решения уравнения $x^{4} - 17 x^{2} + 16 = 0$ в правильном порядке.

Вернуться к переменной $x$ и решить уравнения $x^{2} = 1$ и $x^{2} = 16$ .
Ввести замену $t = x^{2}$ .
Получить уравнение $t^{2} - 17 t + 16 = 0$ .
Решить уравнение $t^{2} - 17 t + 16 = 0$ .

№14 · ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1 УРАВНЕНИЕ · 3 БАЛЛА

14. Квадрат относительно $3^{x}$

Решите уравнение $3^{2 x} - 13 \cdot 3^{x} + 36 = 0$ .

№15 · РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ

1 УРАВНЕНИЕ · 3 БАЛЛА

15. Группировка с двумя множителями

Решите уравнение $x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18 = 0$ .

$x = - 3$
$x = 2$
$x = - 2$
$x = 3$

№16 · ПОДСТАНОВКА СТЕПЕНИ

1 УРАВНЕНИЕ · 3 БАЛЛА

16. Замена $t = x - \frac{2}{x}$

Решите уравнение $(x - \frac{2}{x})^{2} - 7 (x - \frac{2}{x}) + 12 = 0$ , учитывая ОДЗ.

№17 · БИКВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1 УРАВНЕНИЕ · 3 БАЛЛА

17. Отбор допустимых корней

Решите уравнение $x^{4} - 5 x^{2} - 14 = 0$ и выберите множество его действительных корней.

${- 7; 7}$
${- 7; 7}$
${- 7; - 2; 2; 7}$
${7}$

№18 · ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1 УРАВНЕНИЕ · 3 БАЛЛА

18. Разные основания одной степени

Решите уравнение $1 6^{x} - 5 \cdot 4^{x} + 4 = 0$ .

Пусть $t = 4^{x}$ . Тогда $t^{2} - 5 t + 4 = 0$ , откуда $t = \underline{ab c}$ или $t = \underline{ab c}$ . Поэтому $x = \underline{ab c}$ или $x = \underline{ab c}$ .

№19 · РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ

1 УРАВНЕНИЕ · 3 БАЛЛА

19. Разложение кубического многочлена

Решите уравнение $x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 20 = 0$ .

№20 · КОМБИНИРОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ

1 УРАВНЕНИЕ · 5 БАЛЛОВ

20. Подстановка и разложение

Решите уравнение $(3^{x} + 3^{- x})^{2} - 6 (3^{x} + 3^{- x}) + 8 = 0$ .

№1 · ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1 УРАВНЕНИЕ · 1 БАЛЛ

1. Одинаковые основания

Решите уравнение $2^{x} = 16$ .

№2 · ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1 УРАВНЕНИЕ · 1 БАЛЛ

2. Степень с основанием 3

Решите уравнение $3^{x + 1} = 27$ .

3^{x + 1} = 27

№3 · БИКВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1 УРАВНЕНИЕ · 1 БАЛЛ

3. Замена $t = x^{2}$

Решите уравнение $x^{4} - 25 = 0$ .

№4 · РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ

1 ВЫРАЖЕНИЕ · 1 БАЛЛ

4. Разность квадратов

Выберите разложение выражения $x^{2} - 49$ .

$(x - 7)^{2}$
$(x + 49) (x - 1)$
$(x - 49) (x + 1)$
$(x - 7) (x + 7)$

№5 · КОРНИ

1 ВЫРАЖЕНИЕ · 1 БАЛЛ

5. Квадратный корень

Вычислите значение выражения $81$ .

№6 · ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1 УРАВНЕНИЕ · 2 БАЛЛА

6. Сведение к основанию 2

Решите уравнение $4^{x} - 2^{x + 1} = 0$ .

+25 заданий в этом листе

Зарегистрируйтесь — и соберите свой рабочий лист по этой теме за минуту: заданий столько, сколько нужно.

№7 · ПОДСТАНОВКА СТЕПЕНИ

1 УРАВНЕНИЕ · 2 БАЛЛА

7. Замена $t = 2^{x}$

Решите уравнение $4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0$ .

Пусть $t = 2^{x}$ . Тогда уравнение принимает вид $t^{2} - 5 t + 4 = 0$ , откуда $t = \underline{ab c}$ или $t = \underline{ab c}$ . Поэтому $x = \underline{ab c}$ или $x = \underline{ab c}$ .

№8 · БИКВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1 УРАВНЕНИЕ · 2 БАЛЛА

8. Два положительных значения $t$

Соотнесите этапы решения уравнения $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$ с результатами.

№9 · РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ

1 УРАВНЕНИЕ · 2 БАЛЛА

9. Общий множитель

Решите уравнение $x^{3} - 3 x^{2} = 0$ .

№10 · КОРНИ И СТЕПЕНИ

4 ВЫРАЖЕНИЯ · 2 БАЛЛА

10. Вычисление корней

Вычислите значения выражений и запишите ответы в таблицу.

Выражение	Значение
$144$
$3125$
$0, 25$
$\frac{1}{16}$

№11 · ИСТИНА И ЛОЖЬ

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 2 БАЛЛА

11. Свойства корней уравнения

Определите истинность каждого утверждения о решении уравнений и свойствах корней.

Если $x^{2} = 9$ , то $x = 3$ или $x = - 3$ .
Уравнение $x^{2} = - 4$ имеет два действительных корня.
При замене $t = x^{2}$ значение $t$ должно удовлетворять условию $t \geq 0$ .
Уравнение $2^{x} = 0$ имеет действительный корень.

№12 · СРАВНЕНИЕ

3 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

12. Сравнение степеней и корней

Сравните однородные выражения и поставьте между ними знак $<$ , $>$ или $=$ .

2^{5}

5^{2}

50

52

3^{4}

9^{2}

№13 · ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ

4 ШАГА · 2 БАЛЛА

13. Алгоритм биквадратного уравнения

Расположите этапы решения уравнения $x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0$ в правильном порядке.

Ввести замену $t = x^{2}$ .
Решить уравнение $t^{2} - 13 t + 36 = 0$ .
Вернуться к переменной $x$ и решить уравнения $x^{2} = 4$ и $x^{2} = 9$ .
Получить уравнение $t^{2} - 13 t + 36 = 0$ .

№14 · ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1 УРАВНЕНИЕ · 3 БАЛЛА

14. Квадрат относительно $2^{x}$

Решите уравнение $2^{2 x} - 10 \cdot 2^{x} + 16 = 0$ .

№15 · РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ

1 УРАВНЕНИЕ · 3 БАЛЛА

15. Группировка с двумя множителями

Решите уравнение $x^{3} + x^{2} - 4 x - 4 = 0$ .

$x = - 1$
$x = 2$
$x = 1$
$x = - 2$

№16 · ПОДСТАНОВКА СТЕПЕНИ

1 УРАВНЕНИЕ · 3 БАЛЛА

16. Замена $t = x - \frac{1}{x}$

Решите уравнение $(x - \frac{1}{x})^{2} - 5 (x - \frac{1}{x}) + 6 = 0$ , учитывая ОДЗ.

№17 · БИКВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1 УРАВНЕНИЕ · 3 БАЛЛА

17. Отбор допустимых корней

Решите уравнение $x^{4} - 2 x^{2} - 8 = 0$ и выберите множество его действительных корней.

${2}$
${- 2; 2}$
${- 2; - 2; 2; 2}$
${- 4; 4}$

№18 · ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1 УРАВНЕНИЕ · 3 БАЛЛА

18. Разные основания одной степени

Решите уравнение $9^{x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0$ .

Пусть $t = 3^{x}$ . Тогда $t^{2} - 4 t + 3 = 0$ , откуда $t = \underline{ab c}$ или $t = \underline{ab c}$ . Поэтому $x = \underline{ab c}$ или $x = \underline{ab c}$ .

№19 · РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ

1 УРАВНЕНИЕ · 3 БАЛЛА

19. Разложение кубического многочлена

Решите уравнение $x^{3} - 4 x^{2} - x + 4 = 0$ .

№20 · КОМБИНИРОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ

1 УРАВНЕНИЕ · 5 БАЛЛОВ

20. Подстановка и разложение

Решите уравнение $(2^{x} + 2^{- x})^{2} - 5 (2^{x} + 2^{- x}) + 4 = 0$ .

№1 · ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1 УРАВНЕНИЕ · 1 БАЛЛ

1. Одинаковые основания

Решите уравнение $2^{x} = 16$ . Запишите значение переменной.

№2 · КОРНИ

1 УРАВНЕНИЕ · 1 БАЛЛ

2. Квадратный корень

Решите уравнение $x^{2} = 49$ . Запишите все корни.

№3 · ПОДСТАНОВКА СТЕПЕНИ

1 УРАВНЕНИЕ · 1 БАЛЛ

3. Замена $t = x^{2}$

Решите уравнение $x^{4} = 81$ . Используйте замену $t = x^{2}$ или свойство четвёртой степени.

№4 · БИКВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1 УРАВНЕНИЕ · 2 БАЛЛА

4. Полное биквадратное уравнение

Решите уравнение $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$ заменой $t = x^{2}$ . Запишите все корни.

№5 · РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ

1 УРАВНЕНИЕ · 2 БАЛЛА

5. Группировка с вынесением общего множителя

Решите уравнение $x^{3} - 4 x^{2} - x + 4 = 0$ , разложив левую часть на множители группировкой.

№6 · СРАВНЕНИЕ

3 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

6. Сравнение степенных выражений

Сравните каждую пару чисел. Вставьте знак $<$ , $>$ или $=$ между выражениями.

3^{4}

9^{2}

2^{7}

4^{3}

5^{3}

2 5^{2}

№7 · ИСТИНА И ЛОЖЬ

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 2 БАЛЛА

7. Проверка способов решения

Определите, истинны ли утверждения о решении показательных и биквадратных уравнений. Оценивайте только математическую правильность утверждения.

При замене $t = x^{2}$ в биквадратном уравнении необходимо учитывать условие $t \geq 0$ .
Уравнение $3^{x} = 3^{5}$ имеет корень $x = 3$ .
Если $a > 0$ и $a \neq = 1$ , то из $a^{u} = a^{v}$ следует $u = v$ .
Уравнение $x^{4} = 16$ имеет только один действительный корень.

№8 · ЗАПОЛНЕНИЕ ТАБЛИЦЫ

3 СТРОКИ · 3 БАЛЛА

8. Восстановление замены и корней

Заполните пропуски в таблице для каждого уравнения. В каждой строке найдите значение $t$ , а затем корни исходного уравнения.

Уравнение	Замена	Значения $t$	Корни $x$
$x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$	$t = x^{2}$
$x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0$	$t = x^{2}$
$x^{4} - 17 x^{2} + 16 = 0$	$t = x^{2}$

№9 · НАЙДИ ЛИШНЕЕ

4 ВЫРАЖЕНИЯ · 3 БАЛЛА

9. Общий множитель и корни

Найдите выражение, которое нельзя разложить на указанные линейные множители с действительными коэффициентами. Проверьте каждый вариант вычислением корней или дискриминанта.

$x^{2} - 9$
$x^{2} - 5 x + 6$
$x^{2} + x - 12$
$x^{2} + 4 x + 8$

№10 · ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ

6 ШАГОВ · 4 БАЛЛА

10. Сложная подстановка степени

Расположите шаги решения уравнения $2^{2 x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0$ в правильном порядке.

Ответ: $x = 0$ и $x = 2$ .
Возвращаемся к исходной переменной: $2^{x} = 1$ или $2^{x} = 4$ .
Разлагаем квадратный трёхчлен: $(t - 1) (t - 4) = 0$ , поэтому $t = 1$ или $t = 4$ .
Решаем показательные уравнения: $x = 0$ или $x = 2$ .
Вводим замену $t = 2^{x}$ , причём $t > 0$ .
Получаем $t^{2} - 5 t + 4 = 0$ .

Создайте уникальный лист по своей теме

Любая тема, любой уровень
20+ типов заданий
100% уникальный контент
Со страницей ответов
Защита от списывания
Готово за 1 минуту

Создайте уникальный лист по своей теме

Любая тема, любой уровень
20+ типов заданий
100% уникальный контент
Со страницей ответов
Защита от списывания
Готово за 1 минуту

Типы заданий

Создайте дополнительно

Другие темы по алгебре для 11 класса

Десятичный и натуральный логарифм Применение интеграла для нахождения площадей плоских фигур Применение интеграла для нахождения объёмов геометрических тел Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства Показательные и логарифмические уравнения и неравенства Производная: физический и геометрический смысл, уравнение касательной Интеграл и площадь фигуры Параметры и задачи повышенной сложности Определители. Матрицы, их виды и действия над ними. Решение систем методом Крамера и матричным методом Решение определенных интегралов Таблица первообразных; вычисление интеграла по формуле Ньютона-Лейбница Уравнение касательной с использованием производной

Чем удобны рабочие листы Нейрум

По действующей программеТемы и задания совпадают со школьной программой 1–11 классов. Открыли — дали классу, без правок.
Готово к печати, с ответамиPDF в формате A4 и ключ ответов на отдельной странице. Скачали, распечатали, раздали — без правок в Word.
Свой лист за минутуНе нашли нужный? ИИ-конструктор соберёт лист по вашей теме, классу и типам заданий.

Вопросы и ответы

Как скачать рабочий лист «Показательные уравнения, биквадратные уравнения с заменой переменной, разложение на множители, задания с подстановкой степени, корни»?

Зарегистрируйтесь бесплатно — лист сохранится в личном кабинете, откуда его можно скачать в PDF и распечатать.

Сколько заданий в листе и какие они?

В листе 50 заданий: краткий ответ, реши примеры, реши задачу, множественный выбор, заполни пропуски, соединение, таблица, истина / Ложь, сравни числа, последовательность, найти лишнее.

Соответствует ли лист ФГОС?

Да, задания ориентированы на школьную программу по алгебре для 11 класса по ФГОС.

Можно ли изменить задания под свой класс?

Да. После регистрации лист открывается в конструкторе: задания можно заменить, перегенерировать или добавить новые.

Уравнения и методы их решения

Типы заданий

1. Одинаковые основания

2. Степень с основанием 5

3. Замена t=x2

4. Разность квадратов

5. Квадратный корень

6. Сведение к основанию 3

7. Замена t=3x

8. Два положительных значения t

9. Общий множитель

10. Вычисление корней

11. Свойства корней уравнения

12. Сравнение степеней и корней

13. Алгоритм биквадратного уравнения

14. Квадрат относительно 3x

15. Группировка с двумя множителями

16. Замена t=x−x2​

17. Отбор допустимых корней

18. Разные основания одной степени

19. Разложение кубического многочлена

20. Подстановка и разложение

1. Одинаковые основания

2. Степень с основанием 3

3. Замена t=x2

4. Разность квадратов

5. Квадратный корень

6. Сведение к основанию 2

7. Замена t=2x

8. Два положительных значения t

9. Общий множитель

10. Вычисление корней

11. Свойства корней уравнения

12. Сравнение степеней и корней

13. Алгоритм биквадратного уравнения

14. Квадрат относительно 2x

15. Группировка с двумя множителями

16. Замена t=x−x1​

17. Отбор допустимых корней

18. Разные основания одной степени

19. Разложение кубического многочлена

20. Подстановка и разложение

1. Одинаковые основания

2. Квадратный корень

3. Замена t=x2

4. Полное биквадратное уравнение

5. Группировка с вынесением общего множителя

6. Сравнение степенных выражений

7. Проверка способов решения

8. Восстановление замены и корней

9. Общий множитель и корни

10. Сложная подстановка степени

Похожие рабочие листы

Десятичный и натуральный логарифм

Применение интеграла для нахождения площадей плоских фигур

Применение интеграла для нахождения объёмов геометрических тел

Другие темы по алгебре для 11 класса

Чем удобны рабочие листы Нейрум

Вопросы и ответы

3. Замена $t = x^{2}$

7. Замена $t = 3^{x}$

8. Два положительных значения $t$

14. Квадрат относительно $3^{x}$

16. Замена $t = x - \frac{2}{x}$

3. Замена $t = x^{2}$

7. Замена $t = 2^{x}$

8. Два положительных значения $t$

14. Квадрат относительно $2^{x}$

16. Замена $t = x - \frac{1}{x}$

3. Замена $t = x^{2}$