Интеграл и его применения

ПОСТРОЕНИЕ · 1 БАЛЛ

1. Семейство первообразных

Постройте на координатной плоскости несколько графиков первообразных функции $f(x)=3x^2$. Используйте связь $F^{\prime }(x)=f(x)$ и учтите, что постоянная $C$ задаёт семейство графиков.

1 ВОПРОС · 1 БАЛЛ

2. Разделение переменных в уравнении

Выберите правильную запись после разделения переменных в уравнении $\frac{dy}{dx}=2xy$.

• $\frac{dx}{x}=2ydy$
• $ydy=2xdx$
• $dy=2x+ydx$
• $\frac{dy}{y}=2xdx$

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 1 БАЛЛ

3. Постоянная интегрирования и проверка первообразной

Определите истинность каждого утверждения с точки зрения школьного курса первообразной и проверки результата по производной. Для проверки мысленно найдите производную указанной функции.

1. При нахождении общего вида первообразной функции $f(x)$ к одной найденной первообразной нужно добавить произвольную постоянную $C$.ИстинаЛожь
2. Если две функции имеют одинаковую производную на промежутке, то они могут отличаться только постоянной.ИстинаЛожь
3. Чтобы проверить найденную первообразную, достаточно вычислить её производную и сравнить результат с подынтегральной функцией.ИстинаЛожь
4. Разделение переменных является обязательным способом вычисления любого интеграла по формуле Ньютона–Лейбница.ИстинаЛожь

3 ВЫРАЖЕНИЯ · 1 БАЛЛ

4. Определённые интегралы по формуле Ньютона—Лейбница

Вычислите определённые интегралы, используя первообразную и формулу Ньютона—Лейбница.

3 ПРОПУСКА · 1 БАЛЛ

5. Первообразная и определённый интеграл

Заполните пропуски в кратком алгоритме вычисления определённого интеграла по формуле Ньютона—Лейбница.

Чтобы вычислить $in{t}_a^{b}f(x)dx$, нужно найти первообразную $F(x)$ такую, что $F^{\prime }(x)=\underline{}$, а затем вычислить разность и .

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

6. Задача Коши с разделяющимися переменными

Решите задачу Коши: найдите функцию $y(x)$, удовлетворяющую уравнению $y^{\prime }=2xy$ и начальному условию $y(0)=1$. Используйте разделение переменных и первообразные.

ПОСТРОЕНИЕ · 2 БАЛЛА

7. Геометрический смысл определённого интеграла

На координатной плоскости постройте график функции $y=4-x^2$ на отрезке $[-2;2]$ и заштрихуйте область, ограниченную графиком и осью $Ox$. Затем запишите, какой определённый интеграл выражает площадь этой области.

1 ВОПРОС · 2 БАЛЛА

8. Общее свойство первообразных

Выберите верное утверждение о всех первообразных функции $f(x)$ на промежутке.

• Любые две первообразные функции $f(x)$ отличаются постоянным слагаемым.
• Все первообразные функции $f(x)$ имеют одинаковое значение в каждой точке промежутка.
• У функции $f(x)$ может быть только одна первообразная на любом промежутке.
• Любые две первообразные функции $f(x)$ отличаются множителем $C$, где $C$ — произвольное число.

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 2 БАЛЛА

9. Метод разделения переменных и интеграл

Определите истинность утверждений о связи метода разделения переменных с первообразной и интегралом. Оценивайте только математическую корректность каждого утверждения.

1. При разделении переменных в дифференциальном уравнении получают равенство, которое затем интегрируют по обеим частям.ИстинаЛожь
2. Метод разделения переменных позволяет решать любое дифференциальное уравнение без дополнительных условий.ИстинаЛожь
3. После интегрирования разделённых частей появляется произвольная постоянная.ИстинаЛожь
4. Для применения метода достаточно механически вычислить один определённый интеграл, не разделяя переменные.ИстинаЛожь

3 ВЫРАЖЕНИЯ · 2 БАЛЛА

10. Первообразная и определённые интегралы

Вычислите неопределённый или определённый интеграл, используя таблицу первообразных и формулу Ньютона—Лейбница.