Расположение корней квадратного трёхчлена

3 СТРОКИ · 2 БАЛЛА

7. Проверка границ интервала

Заполните пропуски в таблице условий для расположения корней квадратного трёхчлена $f(x)$ относительно концов интервала.

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 3 БАЛЛА

8. Необходимые и достаточные условия

Определите истинность утверждений о квадратном трёхчлене $f(x)=a{x}^2+bx+c$, где $a>0$ и $D>0$. Оценивайте только математическую правильность утверждений.

1. Если $f(m)<0$, то число $m$ находится между двумя корнями.ИстинаЛожь
2. Если $f(m)>0$, то число $m$ обязательно находится между двумя корнями.ИстинаЛожь
3. Если оба корня больше $m$, то $f(m)>0$.ИстинаЛожь
4. Если один корень меньше $m$, а другой больше $m$, то $f(m)>0$.ИстинаЛожь

4 ВАРИАНТА · 3 БАЛЛА

9. Условие, не обеспечивающее расположение корней

Найдите лишнее условие среди условий, используемых для доказательства того, что оба корня уравнения $x^2-(a+1)x+a=0$ находятся в интервале $(0;3)$.

1. $D\ge 0$
2. $f(1)=0$
3. $f(0)>0$
4. $f(3)>0$

5 ШАГОВ · 4 БАЛЛА

10. Параметр и заданное положение корней

Восстановите последовательность решения задачи: найдите все значения параметра $a$, при которых оба корня уравнения $x^2-2(a+1)x+a^2=0$ больше числа $2$.

1. Объединить условия $D\ge 0$, $a\ne 2$ и $a>1$.
2. Вычислить дискриминант: $D=4(a+1{)}^2-4a^2=8a+4$, поэтому $a\ge -\frac{1}{2}$.
3. Учесть, что оба корня должны существовать: $D\ge 0$.
4. Потребовать $f(2)>0$: $4-4(a+1)+a^2>0$, то есть $(a-2{)}^2>0$ и $a\ne 2$.
5. Проверить положение вершины: $x_{\text{в}}=a+1>2$, значит $a>1$.