Показательные уравнения

4 УРАВНЕНИЯ · 2 БАЛЛА

7. Распознавание неверного вынесения

Найдите уравнение, в котором преобразование после знака равенства выполнено неверно.

1. $3^x+3^{x+2}=3^x(1+6)$
2. $2^x+2^{x+1}=2^x(1+2)$
3. $4^x+4^{x+2}=4^x(1+16)$
4. $5^{x+1}-5^x=5^x(5-1)$

1 УРАВНЕНИЕ · 3 БАЛЛА

8. Замена степени новой переменной

Решите уравнение $2^{2x}-5\cdot 2^x+4=0$. Используйте замену $t=2^x$, учитывая, что $t>0$.

3 ПАРЫ · 3 БАЛЛА

9. Сравнение корней после сведения к квадратному уравнению

Для каждого уравнения найдите множество корней и сравните количество его элементов с указанным числом. Знак сравнения уже дан в ключе задания.

6 ШАГОВ · 3 БАЛЛА

10. Полное решение уравнения с двумя заменами

Расположите шаги решения уравнения $2^{2x+1}-9\cdot 2^x+4=0$ в правильном порядке. Каждый шаг должен использовать результат предыдущего.

1. Положим $t=2^x$, тогда $2^{2x+1}=2(2^x{)}^2=2t^2$.
2. Так как $t=2^x>0$, подходят оба значения $t=4$ и $t=\frac{1}{2}$.
3. Ответ: $x=-1$ или $x=2$.
4. Разложим квадратный трёхчлен: $(2t-1)(t-4)=0$.
5. Перенесём все слагаемые в одну часть: $2^{2x+1}-9\cdot 2^x+4=0$.
6. Получаем квадратное уравнение $2t^2-9t+4=0$.
7. Из $2^x=4$ получаем $x=2$, а из $2^x=\frac{1}{2}$ получаем $x=-1$.