Рабочий лист на тему:

Периодичность функций

Алгебра10 класс40 заданий

Заполни пропускиКраткий ответНайти лишнееРеши примерыТаблицаИстина / ЛожьРеши задачу

Типы заданий

Заполни пропускиКраткий ответНайти лишнееРеши примерыТаблицаИстина / ЛожьРеши задачу

10 класс · сложный

Ф.И.
Класс

Исследуйте периодичность функций и научитесь находить период в нестандартных выражениях. Не торопитесь: проверяйте область определения и наименьший положительный период.

№1 · ПРОПУСКИ

3 ПРОПУСКА · 2 БАЛЛА

1. Определение и свойства периода

Заполните пропуски в определении периодической функции.

Число $T > 0$ называют периодом функции $f$ , если для всех $x$ из области определения выполняется равенство $f (x + \underline{ab c}) = \underline{ab c}$ , причём область определения функции не изменяется при сдвиге на $\underline{ab c}$ .

№2 · КРАТКИЙ ОТВЕТ

1 ОТВЕТ · 1 БАЛЛ

2. Период синусоиды с изменённым аргументом

Найдите наименьший положительный период функции $f (x) = sin 4 x$ . Ответ запишите числом.

№3 · НАЙДИ ЛИШНЕЕ

4 ФУНКЦИИ · 2 БАЛЛА

3. Распознавание непериодической функции

Найдите функцию, которая не является периодической. Индекс лишнего элемента укажите в ответе.

$y = sin x$
$y = cos 3 x$
$y = tan x$
$y = x^{2}$

№4 · ВЫЧИСЛЕНИЯ

3 ВЫРАЖЕНИЯ · 2 БАЛЛА

4. Периоды тригонометрических функций

Для каждой функции найдите наименьший положительный период.

sin 6 x

cos \frac{x}{5}

tan \frac{3 x}{2}

№5 · ТАБЛИЦА

3 СТРОКИ · 2 БАЛЛА

5. Изменение периода при преобразованиях

Заполните таблицу: найдите наименьший положительный период каждой функции.

Функция	Коэффициент при x	Период
$sin 2 x$	2
$cos 5 x$	5
$tan 4 x$	4

№6 · ИСТИНА / ЛОЖЬ

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 2 БАЛЛА

6. Проверка свойств периодических функций

Определите истинность утверждений о периодических функциях.

Если $T$ — период функции, то $2 T$ также является её периодом.
У периодической функции любой положительный период обязательно является наименьшим.
Сумма двух функций с общим периодом $T$ имеет период $T$ .
Функция $y = x + sin x$ является периодической.

№7 · ЗАДАЧА

1 ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

7. Период суммы тригонометрических функций

Найдите наименьший положительный период функции $f (x) = sin 2 x + cos 3 x$ .

№8 · ПРОПУСКИ

3 ПРОПУСКА · 2 БАЛЛА

8. Период произведения функций

Заполните пропуски в рассуждении о периоде произведения.

Если функции $f$ и $g$ имеют общий период $T$ , то произведение $h (x) = f (x) g (x)$ удовлетворяет $h (x + \underline{ab c}) = f (x + \underline{ab c}) g (x + \underline{ab c}) = h (x)$ .

№9 · КРАТКИЙ ОТВЕТ

1 ОТВЕТ · 2 БАЛЛА

9. Период функции с модулем

Найдите наименьший положительный период функции $f (x) = ∣ sin 3 x ∣$ .

№10 · НАЙДИ ЛИШНЕЕ

4 ФУНКЦИИ · 2 БАЛЛА

10. Периодичность составных выражений

Найдите лишнее выражение: три функции имеют период, равный $2 π$ , а одна — нет.

$sin x + cos x$
$sin 2 x$
$cos x + cos 3 x$
$sin x + x$

№11 · ВЫЧИСЛЕНИЯ

3 ВЫРАЖЕНИЯ · 2 БАЛЛА

11. Период функций с модулем и квадратом

Найдите наименьший положительный период каждой функции.

sin^{2} 2 x

∣ cos 5 x ∣

cos^{2} \frac{x}{3}

№12 · ТАБЛИЦА

3 СТРОКИ · 2 БАЛЛА

12. Минимальный период выражения

Заполните последний столбец, учитывая сокращение периода при возведении синуса или косинуса в квадрат.

Функция	Период исходной функции	Наименьший период выражения
$sin^{2} x$	$2 π$
$cos^{2} 3 x$	$\frac{2 π}{3}$
$sin^{2} \frac{x}{4}$	$8 π$

№13 · ИСТИНА / ЛОЖЬ

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 2 БАЛЛА

13. Минимальный период и его кратные

Определите истинность утверждений о наименьшем периоде.

Если наименьший период функции равен $T$ , то число $3 T$ является её периодом.
У функции $y = sin^{2} x$ наименьший положительный период равен $2 π$ .
У функции $y = ∣ cos x ∣$ число $π$ является периодом.
Если функция имеет период $T$ , то $T /2$ обязательно является её периодом.

№14 · ЗАДАЧА

1 ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

14. Поиск периода по нескольким слагаемым

Найдите наименьший положительный период функции $f (x) = sin x + sin 2 x + sin 4 x$ .

№15 · ПРОПУСКИ

3 ПРОПУСКА · 2 БАЛЛА

15. Период функции с дробно-линейным аргументом

Заполните пропуски для функции $f (x) = sin (\frac{2 x - 1}{3})$ .

Чтобы аргумент синуса увеличился на $2 π$ , аргумент $x$ должен увеличиться на $\underline{ab c}$ . Поэтому из равенства $\frac{2 ( x + T ) - 1}{3} - \frac{2 x - 1}{3} = \underline{ab c} π$ получаем $T = \underline{ab c}$ .

№16 · КРАТКИЙ ОТВЕТ

1 ОТВЕТ · 2 БАЛЛА

16. Период функции с корнем из квадрата

Найдите наименьший положительный период функции $f (x) = sin^{2} x$ .

№17 · НАЙДИ ЛИШНЕЕ

4 ВЫРАЖЕНИЯ · 2 БАЛЛА

17. Функции с одинаковым минимальным периодом

Найдите выражение, у которого наименьший положительный период отличается от периода остальных трёх выражений.

$sin^{2} x$
$∣ sin x ∣$
$cos 2 x$
$sin 2 x$

№18 · ВЫЧИСЛЕНИЯ

3 ВЫРАЖЕНИЯ · 2 БАЛЛА

18. Период сложных аргументов

Найдите наименьший положительный период каждой функции.

cos (7 x + 2)

sin (\frac{x}{2} - 5)

∣ cos (3 x - 1) ∣

№19 · ТАБЛИЦА

3 СТРОКИ · 3 БАЛЛА

19. Сравнение периодов составных функций

Заполните таблицу, найдя наименьший положительный период каждой функции.

Функция	Используемое свойство	Наименьший период
$sin (4 x + 1)$	период синуса
$∣ cos (2 x - 3) ∣$	модуль сокращает период в 2 раза
$sin^{2} (\frac{x}{3} + 2)$	квадрат сокращает период в 2 раза

№20 · ИСТИНА / ЛОЖЬ

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 3 БАЛЛА

20. Нестандартные случаи периодичности

Определите истинность утверждений. Учитывайте именно наименьший положительный период.

Функция $y = sin x + cos x$ имеет наименьший положительный период $2 π$ .
Функция $y = sin x + sin 2 x$ имеет наименьший положительный период $2 π$ .
Функция $y = sin^{2} x + cos^{2} x$ имеет наименьший положительный период $2 π$ .
Функция $y = sin (2 x) + cos (4 x)$ имеет наименьший положительный период $π$ .

№1 · ЛИШНЕЕ

4 ФУНКЦИИ · 1 БАЛЛ

1. Функции с одинаковым периодом

Найдите функцию, период которой отличается от периода остальных функций.

$y = sin x$
$y = cos 2 x$
$y = sin 3 x$
$y = cos 4 x$

+20 заданий в этом листе

Зарегистрируйтесь — и соберите свой рабочий лист по этой теме за минуту: заданий столько, сколько нужно.

№2 · ПРИМЕРЫ

4 ВЫРАЖЕНИЯ · 1 БАЛЛ

2. Периоды тригонометрических функций

Найдите наименьший положительный период каждой функции.

sin 2 x

cos 3 x

sin 4 x

cos \frac{x}{2}

№3 · ЗАДАЧА

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

3. Период функции с несколькими слагаемыми

Найдите наименьший положительный период функции $f (x) = sin 2 x + cos 4 x$ .

№4 · ТАБЛИЦА

3 СТРОКИ · 2 БАЛЛА

4. Связь коэффициента и периода

Заполните таблицу: найдите наименьший положительный период указанной функции.

Функция	Коэффициент при x	Наименьший положительный период
$sin 5 x$	5
$cos 6 x$	6
$sin \frac{x}{3}$	$\frac{1}{3}$

№5 · ПРОПУСКИ

3 ПРОПУСКА · 2 БАЛЛА

5. Формулы периода

Заполните пропуски в формулах периода.

Для $y = sin k x$ или $y = cos k x$ наименьший положительный период равен $T = \frac{2 π}{∣ ab c ∣}$ . Для $y = tan k x$ наименьший положительный период равен $T = \frac{π}{∣ ab c ∣}$ . Если аргумент имеет вид $\frac{x}{a}$ , период функции $sin \frac{x}{a}$ равен .

№6 · КРАТКИЙ ОТВЕТ

1 ВОПРОС · 1 БАЛЛ

6. Проверка периодичности

Является ли функция $f (x) = x^{2}$ периодической? Ответьте «да» или «нет».

№7 · ИСТИНА ИЛИ ЛОЖЬ

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 2 БАЛЛА

7. Свойства периодических функций

Определите истинность каждого утверждения, опираясь на определение периодической функции и свойства её периодов.

Если число T — период функции, то число 2T также является её периодом.
У периодической функции любой положительный период является наименьшим.
Постоянная функция имеет любой ненулевой период.
Функция $y = x$ имеет положительный период.

№8 · ЛИШНЕЕ

4 ВЫРАЖЕНИЯ · 1 БАЛЛ

8. Преобразования с сохранением периода

Найдите выражение, функция которого имеет другой наименьший положительный период по сравнению с остальными.

$sin (x + π)$
$cos (x - 3)$
$sin 2 x$
$cos (x + \frac{π}{4})$

№9 · ПРИМЕРЫ

4 ВЫРАЖЕНИЯ · 1 БАЛЛ

9. Период функций с фазовым сдвигом

Найдите наименьший положительный период каждой функции. Учтите, что сдвиг аргумента не меняет период.

sin (x + 2)

cos (3 x - 1)

sin (5 x + π)

cos (\frac{x}{4} - 7)

№10 · ЗАДАЧА

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

10. Общий период суммы функций

Найдите наименьший положительный период функции $f (x) = sin 3 x + cos 6 x$ .

№11 · ТАБЛИЦА

3 СТРОКИ · 2 БАЛЛА

11. Периоды функций с множителем и сдвигом

Заполните таблицу, находя наименьший положительный период каждой функции.

Функция	Вид аргумента	Период
$y = sin (2 x + 1)$	линейный
$y = cos (\frac{x}{5} - 2)$	линейный
$y = sin (7 x - π)$	линейный

№12 · ПРОПУСКИ

3 ПРОПУСКА · 2 БАЛЛА

12. Признаки периодичности

Заполните пропуски в определении и свойствах периодической функции.

Функция называется периодической, если существует такое ненулевое число , что для всех x выполняется равенство $f (x + \underline{ab c}) = f (x)$ . Наименьший положительный период обозначают буквой . У функции $y = sin k x$ он равен .

№13 · КРАТКИЙ ОТВЕТ

1 ВОПРОС · 1 БАЛЛ

13. Период тангенса

Найдите наименьший положительный период функции $f (x) = tan 4 x$ .

№14 · ИСТИНА ИЛИ ЛОЖЬ

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 2 БАЛЛА

14. Периоды суммы и произведения

Определите истинность утверждений о периодах сумм и произведений периодических функций.

Если функции имеют общий период T, то их сумма также имеет период T.
Сумма двух периодических функций всегда имеет период, равный сумме их наименьших периодов.
Функция $y = sin x + cos x$ имеет период $2 π$ .
Функция $y = sin x + sin 2 x$ имеет наименьший положительный период $2 π$ .

№15 · ЛИШНЕЕ

4 ФУНКЦИИ · 1 БАЛЛ

15. Наименьшие периоды выражений

Найдите функцию, у которой наименьший положительный период не равен $π$ .

$y = sin 2 x$
$y = cos 2 x$
$y = sin (2 x + 5)$
$y = cos x$

№16 · ПРИМЕРЫ

4 ВЫРАЖЕНИЯ · 1 БАЛЛ

16. Период функций с дробным коэффициентом

Найдите наименьший положительный период каждой функции.

sin \frac{3 x}{2}

cos \frac{2 x}{3}

sin \frac{x}{6}

cos \frac{5 x}{2}

№17 · ЗАДАЧА

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

17. Проверка заданного периода

Известно, что функция $f (x) = cos 5 x$ имеет период $T = \frac{2 π}{5}$ . Найдите значение $f (\frac{π}{10} + T)$ , если $f (\frac{π}{10}) = 0$ .

№18 · ПРОПУСКИ

3 ПРОПУСКА · 2 БАЛЛА

18. Период суммы синусоид

Заполните пропуски, используя условие существования общего периода.

Если две функции имеют общий период T, то их сумма также имеет период . Для функций $sin 2 x$ и $cos 4 x$ наименьший общий период равен . Для функций $sin 3 x$ и $cos 5 x$ одним из общих периодов является .

№19 · КРАТКИЙ ОТВЕТ

1 ВОПРОС · 1 БАЛЛ

19. Период постоянной функции

Какой наименьший положительный период имеет постоянная функция $f (x) = 7$ ?

№20 · ПЕРИОДЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

4 ВЫРАЖЕНИЯ · 3 БАЛЛА

20. Вычисление периода по коэффициенту аргумента

Вычисли значения выражений, задающих основные периоды функций вида $y = sin (k x)$ или $y = cos (k x)$ при указанном коэффициенте $k$ . Используй формулу $T = \frac{2 π}{∣ k ∣}$ .

\frac{2 π}{3}

\frac{2 π}{4}

\frac{2 π}{5}

\frac{2 π}{6}

Создайте уникальный лист по своей теме

Любая тема, любой уровень
20+ типов заданий
100% уникальный контент
Со страницей ответов
Защита от списывания
Готово за 1 минуту

Создайте уникальный лист по своей теме

Любая тема, любой уровень
20+ типов заданий
100% уникальный контент
Со страницей ответов
Защита от списывания
Готово за 1 минуту

Типы заданий

Заполни пропускиКраткий ответНайти лишнееРеши примерыТаблицаИстина / ЛожьРеши задачу

Создайте дополнительно

Другие темы по алгебре для 10 класса

Решение линейных уравнений методом Крамера Повторение курса алгебры 7–9 классов: формулы сокращенного умножения, степени, корни Натуральные и целые числа. Делимость чисел Рациональные числа. Бесконечные десятичные дроби Иррациональные числа. Понятие действительного числа Решение задач по теме «Действительные числа»Определение числовой функции. Область определения и область значений Способы задания функции. График функции Свойства функций: монотонность, ограниченность Промежутки возрастания и убывания Решение иррациональных уравнений и систем Показательные уравнения: простейшие, методы решения (приведение к общему основанию, замена переменной)

Чем удобны рабочие листы Нейрум

По действующей программеТемы и задания совпадают со школьной программой 1–11 классов. Открыли — дали классу, без правок.
Готово к печати, с ответамиPDF в формате A4 и ключ ответов на отдельной странице. Скачали, распечатали, раздали — без правок в Word.
Свой лист за минутуНе нашли нужный? ИИ-конструктор соберёт лист по вашей теме, классу и типам заданий.

Вопросы и ответы

Как скачать рабочий лист «Периодичность функций»?

Зарегистрируйтесь бесплатно — лист сохранится в личном кабинете, откуда его можно скачать в PDF и распечатать.

Сколько заданий в листе и какие они?

В листе 40 заданий: заполни пропуски, краткий ответ, найти лишнее, реши примеры, таблица, истина / Ложь, реши задачу.

Соответствует ли лист ФГОС?

Да, задания ориентированы на школьную программу по алгебре для 10 класса по ФГОС.

Можно ли изменить задания под свой класс?

Да. После регистрации лист открывается в конструкторе: задания можно заменить, перегенерировать или добавить новые.

Периодичность функций

Типы заданий

1. Определение и свойства периода

2. Период синусоиды с изменённым аргументом

3. Распознавание непериодической функции

4. Периоды тригонометрических функций

5. Изменение периода при преобразованиях

6. Проверка свойств периодических функций

7. Период суммы тригонометрических функций

8. Период произведения функций

9. Период функции с модулем

10. Периодичность составных выражений

11. Период функций с модулем и квадратом

12. Минимальный период выражения

13. Минимальный период и его кратные

14. Поиск периода по нескольким слагаемым

15. Период функции с дробно-линейным аргументом

16. Период функции с корнем из квадрата

17. Функции с одинаковым минимальным периодом

18. Период сложных аргументов

19. Сравнение периодов составных функций

20. Нестандартные случаи периодичности

1. Функции с одинаковым периодом

2. Периоды тригонометрических функций

3. Период функции с несколькими слагаемыми

4. Связь коэффициента и периода

5. Формулы периода

6. Проверка периодичности

7. Свойства периодических функций

8. Преобразования с сохранением периода

9. Период функций с фазовым сдвигом

10. Общий период суммы функций

11. Периоды функций с множителем и сдвигом

12. Признаки периодичности

13. Период тангенса

14. Периоды суммы и произведения

15. Наименьшие периоды выражений

16. Период функций с дробным коэффициентом

17. Проверка заданного периода

18. Период суммы синусоид

19. Период постоянной функции

20. Вычисление периода по коэффициенту аргумента

Похожие рабочие листы

Решение линейных уравнений методом Крамера

Повторение курса алгебры 7–9 классов: формулы сокращенного умножения, степени, корни

Натуральные и целые числа. Делимость чисел

Другие темы по алгебре для 10 класса

Чем удобны рабочие листы Нейрум

Вопросы и ответы