Действительные числа

1 ПОСТРОЕНИЕ · 1 БАЛЛ

1. Координатная прямая действительных чисел

Построй на координатной прямой точки, соответствующие числам $-\sqrt{2}$, $\frac{3}{2}$ и $\sqrt{5}$.

1 ВОПРОС · 2 БАЛЛА

2. Классификация действительных чисел

Выберите единственное верное утверждение.

• Каждое иррациональное число является действительным.
• Каждое действительное число является рациональным.
• Сумма двух иррациональных чисел всегда иррациональна.
• Число $\sqrt{9}$ является иррациональным.

3 ПРОПУСКА · 2 БАЛЛА

3. Свойства множеств чисел

Заполните пропуски в цепочке включений и классификации.

$\mathbb{N}\subset \underline{}\subset \underline{}\subset \underline{}$, где и — числовые множества, а — множество всех действительных чисел.

1 ОТВЕТ · 2 БАЛЛА

4. Представление корня в виде степени

Запишите в виде степени с рациональным показателем число $\sqrt[3]{a^2}$ при $a\ge 0$.

4 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

5. Операции над множествами

Соедините выражение с равным ему множеством.

4 ШАГА · 2 БАЛЛА

6. Порядок решения рационального неравенства

Расположите этапы решения неравенства $\frac{(x-2)(x+1)}{x-5}\ge 0$ в правильном порядке.

1. Записать ответ с учётом строгой и нестрогой границ.
2. Определить знаки на промежутках методом интервалов.
3. Найти нули числителя и точку, исключённую из ОДЗ.
4. Нанести найденные точки на числовую прямую и разбить её на промежутки.

3 ВЫРАЖЕНИЯ · 2 БАЛЛА

7. Преобразование рациональных выражений

Упростите выражения, предварительно укажите ограничения на переменную.

3 СТРОКИ · 3 БАЛЛА

8. Знак рациональной функции на промежутках

Заполните таблицу знаков для каждой функции. В каждой строке исходные точки уже указаны, впишите знаки на трёх промежутках.

4 СРАВНЕНИЯ · 2 БАЛЛА

9. Сравнение выражений с корнями

Сравните числа, не вычисляя их десятичные приближения.

1 ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

10. Рациональная модель стоимости

После повышения цены на $20\%$ товар стал стоить 3600 рублей. Затем на новую цену сделали скидку $25\%$. Какова окончательная цена товара?

1 ПОСТРОЕНИЕ · 2 БАЛЛА

11. Интервалы на числовой прямой

Отметьте на числовой прямой множество решений неравенства $|x-1|<2$.

1 ВОПРОС · 2 БАЛЛА

12. ОДЗ рационального уравнения

Выберите все значения, которые могут быть решениями уравнения $\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x+2}=1$.

• $x=0$
• $x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$
• $x=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$
• $x=1$

3 ПРОПУСКА · 2 БАЛЛА

13. Решение рационального уравнения

Заполните пропуски в записи решения уравнения.

Для уравнения $\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x+2}=1$ ОДЗ: $x\ne \underline{}$, после умножения на общий знаменатель получаем $x^2-\underline{}x-\underline{}=0$.

1 ОТВЕТ · 3 БАЛЛА

14. Пересечение множеств с иррациональной границей

Найдите наименьшее целое число из множества $[\sqrt{20};\sqrt{50})\cap \mathbb{Z}$.

4 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

15. Неравенства и множества решений

Соедините неравенство с его множеством решений.

4 ШАГА · 3 БАЛЛА

16. Метод интервалов для дробного неравенства

Расположите этапы решения неравенства $\frac{(x-3)(x+2)}{(x-1)(x+4)}\le 0$.

1. Записать точки $-4$, $-2$, $1$, $3$ в порядке возрастания.
2. Определить знак выражения на каждом промежутке.
3. Исключить из ответа точку $x=1$ и включить нули числителя.
4. Выбрать промежутки, на которых выражение неположительно.

3 ВЫРАЖЕНИЯ · 3 БАЛЛА

17. Действия со степенями и корнями

Упростите выражения, учитывая область допустимых значений.

4 СТРОКИ · 3 БАЛЛА

18. Свойства действительных чисел

Заполните пропущенные свойства по указанным операциям и числам.

4 СРАВНЕНИЯ · 3 БАЛЛА

19. Сравнение рациональных и иррациональных выражений

Сравните выражения, обосновывая сравнение свойствами действительных чисел.

1 ЗАДАЧА · 5 БАЛЛОВ

20. Рациональное неравенство в прикладной ситуации

Стороны прямоугольника имеют длины $x$ см и $x-3$ см. Его площадь не меньше $40$ см${}^2$, а меньшая сторона положительна. Найдите все возможные значения $x$.