Свойства функций

4 ФУНКЦИИ · 2 БАЛЛА

1. Функция с другим поведением на области определения

Найдите функцию, которая не обладает тем же свойством монотонности, что и остальные, на указанном промежутке.

1. $y=2x-5$ на $[-3;4]$
2. $y=x^3$ на $[-2;2]$
3. $y=7-3x$ на $[0;5]$
4. $y=x^2$ на $[-2;2]$

4 ВЫРАЖЕНИЯ · 2 БАЛЛА

2. Значения функций и сравнение образов

Вычислите значения выражений. Ответы запишите в порядке следования.

ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

3. Монотонность составной функции

Исследуйте на монотонность функцию $f(x)=\frac{6}{x-2}$ на каждом из промежутков области определения. Укажите промежутки возрастания и убывания.

5 ШАГОВ · 2 БАЛЛА

4. Алгоритм исследования монотонности

Расположите этапы исследования функции на монотонность в правильном порядке.

1. Сравнить значения функции при двух аргументах из одного промежутка
2. Сформулировать промежутки возрастания и убывания
3. Выбрать произвольные $x_1<x_2$ из рассматриваемого промежутка
4. Записать область определения функции
5. Разбить область определения точками, где выражение меняет поведение или не определено

4 ВАРИАНТА · 2 БАЛЛА

5. Условия ограниченности функции

Выберите все верные утверждения о функции $f(x)=\sin x+2$.

• Функция ограничена сверху числом $3$
• Функция ограничена снизу числом $1$
• Функция возрастает на всей числовой прямой
• Функция принимает только положительные значения

4 ПРОПУСКА · 2 БАЛЛА

6. Термины для описания монотонности

Заполните пропуски в формулировках свойств функции.

Если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, функция возрастает. Если большему значению аргумента соответствует значение функции, функция . Функция ограничена сверху, если существует число , такое что для всех x выполняется .

1 ОТВЕТ · 2 БАЛЛА

7. Верхняя грань заданного множества значений

Функция задана на отрезке $[-2;3]$ формулой $f(x)=x^2-2x$. Найдите наибольшее значение функции на этом отрезке.

4 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

8. Формула и характер монотонности

Соедините функцию с верным описанием её монотонности на указанной области.

4 ФУНКЦИИ · 2 БАЛЛА

9. Функция без двусторонней ограниченности

Найдите функцию, которая не ограничена ни сверху, ни снизу на своей области определения.

1. $y=\sin x$
2. $y=x^2+1$
3. $y=x$
4. $y=\frac{1}{x}$

4 ВЫРАЖЕНИЯ · 2 БАЛЛА

10. Преобразование функций с модулем

Вычислите значения функций в указанных точках.

ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

11. Параметр и ограниченность снизу

При каких значениях параметра $a$ функция $f(x)=x^2-2ax+5$ ограничена снизу числом $1$ или большим числом? Ответ обоснуйте.

5 ШАГОВ · 2 БАЛЛА

12. Проверка ограниченности по преобразованию

Расположите шаги доказательства ограниченности функции $f(x)=\frac{x^2+1}{x^2+4}$ снизу.

1. Представить дробь в виде $1-\frac{3}{x^2+4}$
2. Сделать вывод о нижней границе функции
3. Сравнить числитель и знаменатель после преобразования
4. Записать $x^2\ge 0$
5. Получить $x^2+4\ge 4$

4 ВАРИАНТА · 2 БАЛЛА

13. Монотонность рациональной функции

Выберите все верные утверждения о функции $f(x)=\frac{x+1}{x-1}$.

• Область определения: $x\ne 1$
• Функция возрастает на каждом промежутке области определения
• Функция убывает на $(-\infty ;1)$ и $(1;+\infty )$
• Функция ограничена сверху на всей области определения

4 ПРОПУСКА · 2 БАЛЛА

14. Оценка значений через модуль

Заполните пропуски в оценке функции.

Для функции $f(x)=3-2\cos x$ используется неравенство ≤cos x≤. Поэтому ≤f(x)≤.

1 ОТВЕТ · 3 БАЛЛА

15. Максимум на промежутке монотонности

Функция $f(x)=\frac{5}{x+2}$ задана на отрезке $[1;3]$. Найдите разность между её наибольшим и наименьшим значениями.

4 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

16. Функция и её границы значений

Соедините функцию с подходящей двойной оценкой её значений.

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 2 БАЛЛА

17. Признаки, не гарантирующие монотонность

Найдите утверждение, которое неверно как общий признак монотонности функции.

1. Если функция возрастает, то при $x_1<x_2$ выполняется $f(x_1)<f(x_2)$
2. Если функция убывает, то при $x_1<x_2$ выполняется $f(x_1)>f(x_2)$
3. Если функция ограничена сверху, то она обязательно возрастает
4. Для строгого возрастания достаточно проверить неравенство для любых двух точек области определения

4 ВЫРАЖЕНИЯ · 2 БАЛЛА

18. Сравнение значений степенной функции

Вычислите значения выражений и определите их порядок по возрастанию.

ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

19. Ограниченность и монотонность кусочной функции

Функция задана формулой $f(x)=|x-2|$ на отрезке $[-1;5]$. Найдите промежутки убывания и возрастания, а также наименьшее значение функции.

5 ШАГОВ · 3 БАЛЛА

20. Полное исследование функции

Расположите этапы полного исследования функции $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$.

1. Сделать вывод о монотонности и ограниченности исходной функции
2. Сократить выражение при условии $x\ne 2$ и получить $f(x)=x+2$
3. Исследовать линейную функцию $x+2$ на монотонность
4. Указать исключённое значение $x=2$
5. Определить область определения исходной функции