Решение иррациональных уравнений и систем

1 ВОПРОС · 1 БАЛЛ

1. ОДЗ уравнения с двумя корнями

Выберите множество допустимых значений переменной для уравнения $\sqrt{x-2}+\sqrt{5-x}=3$.

• $x\in [2;5]$
• $x\in (-\infty ;2]\cup [5;+\infty )$
• $x\in (2;5)$
• $x\in \mathbb{R}$

4 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

2. Уравнение и множество корней

Соотнесите каждое иррациональное уравнение с множеством его корней.

3 ПРОПУСКА · 2 БАЛЛА

3. Алгоритм возведения в квадрат

Заполните пропуски в записи алгоритма решения иррационального уравнения.

Сначала находят , затем выполняют равносильные преобразования и после возведения в квадрат обязательно проводят полученных значений в исходном уравнении. Это необходимо, потому что возведение в квадрат может привести к появлению корней.

1 ОТВЕТ · 2 БАЛЛА

4. Корень после проверки

Решите уравнение $\sqrt{x+4}=x-2$. Запишите сумму всех его корней.

3 УРАВНЕНИЯ · 3 БАЛЛА

5. Базовые иррациональные уравнения

Решите уравнения. Запишите только множества корней: $\sqrt{2x+3}=5$; $\sqrt{x-1}=x-3$; $\sqrt{3-x}=x-1$.

1 ВОПРОС · 2 БАЛЛА

6. Отбор корней после преобразования

Какое множество является множеством корней уравнения $\sqrt{x+1}=2-x$?

• $\{3\}$
• $\{1\}$
• $\{-1\}$
• $\{1;3\}$

4 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

7. Метод решения системы

Соотнесите систему с наиболее подходящим первым действием.

3 ПРОПУСКА · 2 БАЛЛА

8. Система через замену

Заполните пропуски в преобразовании системы $\{\begin{array}{l}\sqrt{x}+\sqrt{y}=5\\ x+y=13\end{array}$.

После возведения первого уравнения в квадрат получаем $x+y+2\sqrt{xy}=25$. С учётом второго уравнения $\sqrt{xy}=\underline{}$, поэтому $xy=\underline{}$. Числа $x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2-13t+\underline{}=0$.

1 ОТВЕТ · 3 БАЛЛА

9. Симметричная система

Решите систему $\{\begin{array}{l}\sqrt{x}+\sqrt{y}=5\\ x+y=13\end{array}$. Запишите произведение координат каждой пары решений.

1 ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

10. Уравнение с разностью корней

Решите уравнение $\sqrt{x+5}-\sqrt{x-4}=1$. Найдите его корень.

1 ВОПРОС · 2 БАЛЛА

11. Параметр в иррациональном уравнении

При каком значении параметра $a$ уравнение $\sqrt{x+a}=x-1$ имеет ровно один корень?

• $a=0$
• $a=1$
• $a=2$
• $a=3$

4 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

12. Преобразование корневых выражений

Соотнесите выражение с его значением при указанных условиях.

3 ПРОПУСКА · 2 БАЛЛА

13. Модуль при раскрытии корня

Заполните пропуски, учитывая знак выражения под квадратом.

Для любого действительного $u$ справедливо $\sqrt{u^2}=\underline{}$. Поэтому при $x<3$ выражение $\sqrt{(x-3{)}^2}$ равно , а при $x\ge 3$ оно равно .

1 ОТВЕТ · 3 БАЛЛА

14. Рационализация без потери ОДЗ

Решите уравнение $\sqrt{x^2-5x+6}=x-2$. Запишите сумму всех корней.

2 СИСТЕМЫ · 3 БАЛЛА

15. Системы с корнями

Решите системы и запишите все пары $(x;y)$: $\{\begin{array}{l}\sqrt{x}+\sqrt{y}=4\\ x+y=10\end{array}$; $\{\begin{array}{l}\sqrt{x-y}=3\\ x+y=19\end{array}$.

1 ВОПРОС · 2 БАЛЛА

16. Число решений системы

Сколько решений имеет система $\{\begin{array}{l}\sqrt{x}+\sqrt{y}=3\\ x+y=5\end{array}$?

• 0
• 1
• 2
• Бесконечно много

4 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

17. Проверка решений иррациональных систем

Соотнесите систему с количеством её решений.

1 ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

18. Система с произведением

Решите систему $\{\begin{array}{l}\sqrt{x}+\sqrt{y}=6\\ xy=25\end{array}$ и найдите сумму всех значений $x+y$, полученных в решениях.

2 УРАВНЕНИЯ · 3 БАЛЛА

19. Сложные уравнения с параметрическим знаком

Решите уравнения: $\sqrt{x^2-4x+4}=x-2$; $\sqrt{x^2+6x+9}=2-x$.

1 ЗАДАЧА · 4 БАЛЛА

20. Система с разностью квадратов

Решите систему $\{\begin{array}{l}\sqrt{x+y}=5\\ sqrtx-y=1\end{array}$ и найдите значение $x$.