Свойства делимости суммы натуральных чисел
Цели и задачи
- Цель: систематизировать знания о свойствах делимости суммы и научиться применять их для обоснования делимости выражений без выполнения непосредственных вычислений.
- Образовательная задача: закрепить понимание двух основных свойств делимости суммы и рассмотреть случаи, когда слагаемые не делятся на данное число.
- Развивающая задача: развивать логическое мышление через построение цепочек рассуждений и умение работать в парах.
- Воспитательная задача: формировать навыки самоконтроля и ответственного отношения к совместной деятельности.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию.
- Умение ясно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Формирование критичности мышления при анализе математических утверждений.
Метапредметные
- Умение определять понятия, создавать обобщения, устанавливать аналогии.
- Развитие навыков смыслового чтения (анализ условий задач).
- Умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.
Предметные
- Знать формулировки свойств делимости суммы натуральных чисел.
- Уметь применять свойства делимости суммы для решения задач на доказательство.
- Владеть навыками использования признаков делимости в сочетании со свойствами суммы.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознание значимости математических знаний в повседневной жизни.
- Формирование позитивной самооценки на основе критериев успешности.
Регулятивные УУД
- Планирование пути достижения цели на основе алгоритма.
- Самостоятельный контроль времени при выполнении заданий.
- Оценка правильности выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки.
Познавательные УУД
- Поиск и выделение необходимой информации из текста задачи.
- Построение логической цепи рассуждений и доказательств.
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач.
Коммуникативные УУД
- Умение аргументировать свою позицию в паре.
- Адекватное использование речевых средств для решения коммуникативных задач.
- Слушание и понимание речи других.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для работы в парах (15 шт. — по одной на парту) с заданиями на проверку гипотез.
- Подготовить листы самооценки для каждого ученика с критериями по каждому этапу.
- Подготовить презентацию с визуализацией приёма «Математический десант».
- Проверить работу проектора и интерактивной доски.
- Заготовить «билеты на выход» (небольшие листочки с одним контрольным вопросом).
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: эмоционально настроить учащихся и создать ситуацию «интеллектуального голода» через жизненный контекст.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, ребята! Сегодня мы с вами превратимся в экспертов-контролёров. Представьте ситуацию: вы стоите на кассе в магазине. Кассир пробивает вам 3 одинаковых блокнота и 6 одинаковых ручек. Общая сумма чека — 251 рубль. Вы, не считая в уме точную сумму, сразу понимаете, что кассир ошибся. Как вы это поняли?» | Слушают учителя, настраиваются на работу. Высказывают предположения: «Сумма должна делиться на 3, так как количество предметов кратно 3». |
2 мин | «Верно! Вы использовали свойство делимости суммы, даже не задумываясь. Сегодня мы доведём этот навык до совершенства. Запишите в тетрадях дату и тему урока: "Свойства делимости суммы натуральных чисел"». | Записывают дату и тему в рабочие тетради. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что математика помогает нам в быту. Давайте вспомним теоретические правила, на которых строится эта магия».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить в памяти формулировки свойств и признаки делимости через интерактивный приём.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Проведём игру "Верю — не верю". Я читаю утверждение, если вы согласны — хлопок, если нет — тишина. 1. Если каждое слагаемое делится на 5, то и сумма делится на 5. 2. Если сумма делится на 2, то каждое слагаемое обязательно делится на 2. 3. Если одно слагаемое делится на 7, а другое нет, то сумма точно не делится на 7». | Участвуют в игре. Хлопают на 1 и 3 утверждения. Молчат на 2 утверждение. Один из учеников поясняет: «Во втором случае слагаемые могут быть нечётными, например 3 + 5 = 8». |
2 мин | «Отлично. Теперь посмотрите на экран. Дано выражение: 120 + 48 + 72. Не вычисляя результат, докажите, что оно делится на 12. Какое свойство вы примените?» | Отвечают: «Применим первое свойство: так как 120, 48 и 72 делятся на 12, то и их сумма делится на 12». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теорию мы вспомнили. Теперь пора переходить к более сложным испытаниям в парах».
Этап 3. Практическая работа в парах «Математический десант» (10 мин)
Цель этапа: отработать применение свойств в нестандартных ситуациях и развить навыки аргументации.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Ваш десант высаживается на неизведанную территорию. У каждой пары на столе карточка с тремя утверждениями-гипотезами. Ваша задача: обсудить в паре, верно ли каждое утверждение, и привести пример или контрпример. Записывайте свои рассуждения кратко». | Принимают карточки, распределяют роли (кто записывает, кто ищет пример). |
6 мин | Учитель обходит класс, консультирует. «Обратите внимание на вторую гипотезу: "Если оба слагаемых не делятся на 3, то и сумма не делится на 3". Так ли это всегда? Попробуйте подобрать числа». | Работают в парах. Обсуждают: «Если взять 4 и 5, они не делятся на 3, но 4 + 5 = 9 — делится! Значит, гипотеза неверна». Фиксируют выводы в тетрадях. |
2 мин | «Время вышло. Пара №3, зачитайте ваш вывод по первой гипотезе: "Если сумма (a + b) делится на c и слагаемое a делится на c, то слагаемое b тоже должно делиться на c"». | Представитель пары отвечает: «Это верно. Если бы b не делилось, то по второму свойству сумма бы не делилась. А у нас она делится». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Эталон решения (для гипотезы 2)
Утверждение: «Если $a \not\vdots c$ и $b \not\vdots c$, то $(a+b) \not\vdots c$» — ложно.
Пример: $a = 7, b = 5, c = 3$.
$7 \not\vdots 3$ и $5 \not\vdots 3$, но $(7 + 5) = 12$, а $12 \vdots 3$.
Пример: $a = 7, b = 5, c = 3$.
$7 \not\vdots 3$ и $5 \not\vdots 3$, но $(7 + 5) = 12$, а $12 \vdots 3$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы успешно справились с десантом! Мы выяснили, что если оба числа не делятся, то сумма может как делиться, так и нет. А теперь — время размяться».
Этап 4. Физкультминутка «Математическая зарядка» (2 мин)
Цель этапа: смена деятельности и физическая разгрузка с сохранением фокуса на теме.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Встаньте, пожалуйста. Я буду называть суммы. Если сумма делится на 2 — руки вверх и хлопок. Если не делится — приседаем. Если мы не можем точно сказать (нужно вычислять) — ставим руки на пояс. 1) 24 + 18; 2) 31 + 40; 3) 15 + 27; 4) 123 + 456 + 789». | 1) Хлопок (оба чётные). 2) Приседают (одно нечётное). 3) Хлопок (оба нечётные, сумма чётная). 4) Хлопок (три нечётных — сумма нечётная? Нет, три нечётных дают нечётное. Значит, приседают). |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Размялись и заодно проверили внимательность. Садитесь».
Этап 5. Межпредметные связи и обобщение (8 мин)
Цель этапа: показать связь математических свойств с информатикой и алгоритмикой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Ребята, знаете ли вы, как компьютеры проверяют ошибки при передаче данных? Они используют "бит чётности". Это почти то же самое свойство делимости суммы на 2. Если мы передаём цепочку из нулей и единиц, компьютер складывает их. Если сумма должна быть чётной, а пришла нечётная — значит, произошёл сбой. Посмотрите на экран: цепочка 10110. Чему равна сумма цифр? Делится ли она на 2?» | Слушают, анализируют. Отвечают: «Сумма равна 3. На 2 не делится. Значит, компьютер добавит ещё одну единицу в конце, чтобы сумма стала 4 и делилась на 2». |
4 мин | «Давайте сформулируем алгоритм проверки делимости суммы. Что мы должны сделать первым делом? Вторым? Запишем это в виде схемы-кластера в тетради». Учитель рисует на доске начало схемы: «Проверка слагаемых» -> «Вывод». | Вместе с учителем составляют алгоритм: 1. Проверить делимость каждого слагаемого. 2. Если все делятся — сумма делится. 3. Если одно не делится — сумма не делится. 4. Если несколько не делятся — нужно считать или преобразовывать. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Этот алгоритм — ваш главный инструмент. Проверим его в деле».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: индивидуальный контроль усвоения темы и развитие навыка рефлексии.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Выполните небольшую работу. Задание 1: Докажите, что $(350 + 77)$ делится на 7. Задание 2: Выясните, делится ли сумма $(144 + 25)$ на 12. Задание 3: Найдите значение x, при котором сумма $(x + 15)$ делится на 5, но x не равен 5». | Выполняют работу самостоятельно в тетрадях. |
2 мин | «Посмотрите на эталон на экране. Проверьте себя. Если всё верно — поставьте плюс на полях. Если есть ошибка — обведите её и напишите рядом правильный вариант». | Сверяют свои решения с образцом, проводят самооценку. |
Эталон решения
1) $350 \vdots 7$ и $77 \vdots 7 \Rightarrow (350+77) \vdots 7$.
2) $144 \vdots 12$, но $25 \not\vdots 12 \Rightarrow (144+25) \not\vdots 12$.
3) $x$ должен делиться на 5. Например: $x = 10, 20, 25$.
2) $144 \vdots 12$, но $25 \not\vdots 12 \Rightarrow (144+25) \not\vdots 12$.
3) $x$ должен делиться на 5. Например: $x = 10, 20, 25$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Поднимите руки, у кого нет ни одной ошибки. Молодцы! У кого одна — ничего страшного, мы потренируемся дома».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: подведение итогов, фиксация новых знаний и выдача дифференцированного задания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Наш урок подходит к концу. Заполните, пожалуйста, "билет на выход". Напишите на листочке ответ на вопрос: "В каком случае мы точно можем сказать, что сумма НЕ делится на число, глядя на слагаемые?" Сдайте листочки мне, когда будете выходить». | Пишут ответ: «Когда только одно слагаемое не делится на это число, а остальные делятся». |
2 мин | «Запишите домашнее задание. Оно на доске. Выберите тот уровень, который вам по силам, или попробуйте все три». | Записывают задание в дневники. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — все задания самостоятельной работы выполнены верно, в работе в парах проявлена активность, даны верные обоснования гипотез.
- «4» — допущена одна ошибка в самостоятельной работе или неполное обоснование в работе в парах.
- «3» — верно выполнено только одно задание самостоятельной работы, при этом понят общий принцип свойств делимости.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство делимости показалось самым простым? | Выявление уровня усвоения базовых понятий. |
Где в жизни нам может пригодиться знание о делимости суммы? | Осознание практической значимости темы. |
Что было труднее: решать самому или обсуждать в паре? | Диагностика коммуникативных навыков и предпочтений в работе. |
Завершающее слово учителя
«Ребята, сегодня мы убедились, что свойства делимости — это не просто строчки в учебнике, а мощный инструмент, который экономит наше время и помогает компьютерам работать без ошибок. Мы научились видеть структуру числа, не вычисляя его значения. На следующем уроке мы узнаем, как эти свойства работают для разности и произведения. Спасибо за активную работу в парах, вы настоящая команда!»
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 примера на проверку делимости суммы (например, делится ли 450 + 25 на 5) с письменным обоснованием по образцу урока. | Закрепление алгоритма применения первого и второго свойств. |
Средний (повышающий) | Составить 3 своих выражения, которые делятся на 9, используя свойства суммы, и 3 выражения, которые не делятся. | Развитие навыка конструирования математических объектов. |
Продвинутый (дополнительный) | Придумать задачу с жизненным сюжетом (про магазин, библиотеку или спорт), где для решения нужно применить свойство делимости суммы. | Развитие функциональной грамотности и творческого применения знаний. |
Контрольный вопрос перед выходом: «Если сумма двух чисел чётная, обязательно ли каждое из них чётное?»
