Нахождение наименьшего общего кратного
Цели и задачи
- Цель: к концу урока научиться находить наименьшее общее кратное двух и более натуральных чисел не менее чем двумя способами и применять НОК для решения практических задач.
- Закрепить понимание кратного числа и признаков делимости, необходимых для поиска общего кратного.
- Отработать алгоритм нахождения НОК перечислением кратных и разложением чисел на простые множители.
- Развивать умение выбирать рациональный способ решения, объяснять ход рассуждений и проверять результат.
- Воспитывать ответственное отношение к вычислениям, готовность сотрудничать и корректно оценивать работу одноклассников.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность НОК при согласовании повторяющихся событий и планировании действий.
- Проявляют интерес к поиску нескольких способов решения одной задачи.
- Формируют ответственное отношение к результату вычислений и взаимопроверке.
- Принимают необходимость аккуратной записи и проверки математического решения.
Метапредметные
- Планируют последовательность действий по алгоритму нахождения НОК и контролируют её выполнение.
- Сравнивают способы решения, выделяют более рациональный способ в конкретной ситуации.
- Извлекают информацию из условия практической задачи и переводят её на математический язык.
- Аргументируют ответ в паре и группе, используют математические термины.
- Осуществляют самопроверку по образцу и корректируют найденные ошибки.
Предметные
- Знать определение общего кратного и наименьшего общего кратного.
- Уметь находить НОК перечислением кратных чисел.
- Уметь находить НОК разложением чисел на простые множители.
- Уметь применять НОК при решении задач на периодичность событий.
- Уметь проверять, что найденное число является общим кратным и является наименьшим.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в совместное решение практической задачи.
- Осознают значение точности и последовательности математических действий.
- Проявляют готовность преодолевать затруднение при выборе способа решения.
- Оценивают собственную уверенность в применении алгоритма НОК.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель практической работы и планируют порядок выполнения заданий.
- Сверяют промежуточный результат с условием и эталоном.
- Находят причину ошибки: неверное разложение, пропуск множителя или арифметическая ошибка.
- Оценивают работу по заранее объявленным критериям.
- Вносят исправления и повторно проверяют решение.
Познавательные УУД
- Воспроизводят признаки кратности и свойства простых множителей.
- Выделяют общие и недостающие множители в разложениях чисел.
- Моделируют ситуацию периодического повторения с помощью числового ряда.
- Сравнивают перечисление кратных и разложение на простые множители.
- Делают вывод о рациональности выбранного способа.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре и группе при выполнении практических заданий.
- Формулируют полный ответ с использованием слов «кратное», «общее кратное», «НОК».
- Задают уточняющие вопросы и объясняют партнёру найденный способ.
- Сопоставляют решения без спора о личностях, аргументируя математическими фактами.
- Принимают общий вариант решения групповой задачи.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или записи на доске: определения кратного, общего кратного и НОК; два алгоритма; памятку проверки результата.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учеников класса.
- Подготовить маршрутные листы для работы в парах с полями «Дано», «Способ», «Решение», «Проверка», «Ответ».
- Подготовить 6 комплектов карточек для групповой игры «Синхронное расписание» с практическими задачами на периодичность.
- Распечатать мини-эталоны решений для самопроверки — по одному на парту, выдавать после выполнения задания.
- Подготовить зелёные, жёлтые и красные карточки для приёма «Светофор» — по одному комплекту на парту.
- Вывести на доску таблицу простых множителей чисел от 2 до 30 и оставить место для записи алгоритма.
- Подготовить таймер, маркеры, стикеры и проектор или интерактивную доску.
- Разложить на столах листы для взаимопроверки по критериям: правильность, объяснение способа, проверка НОК.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в практическую деятельность и показать жизненную необходимость поиска общего момента повторяющихся событий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране изображение двух мигающих сигналов: один повторяется каждые 6 секунд, другой — каждые 8 секунд. «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не только считать, но и искать момент, когда два повторяющихся события совпадут. Представьте, что один маячок мигает каждые 6 секунд, а второй — каждые 8 секунд. Через сколько секунд они снова мигнут одновременно?» | Рассматривают схему, называют известные числа 6 и 8, предполагают ответы: «Через 14 секунд», «Через 24 секунды», объясняют, что нужно проверить моменты повторения. |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». «Сначала подумайте молча 30 секунд и выпишите первые несколько кратных 6 и 8. Затем обсудите с соседом, какое число встретилось в обоих списках первым. После этого две пары объяснят классу свой ответ.» | Выписывают кратные 6: 6, 12, 18, 24; кратные 8: 8, 16, 24; обсуждают в парах и формулируют: «Первое общее число — 24, значит, сигналы совпадут через 24 секунды». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что для поиска общего момента нужно найти первое общее кратное двух чисел. Сегодня на практикуме научимся делать это быстро, разными способами и применять результат к задачам."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить знания о делителях, кратных и простых множителях, необходимые для выполнения практической работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске числа 4, 6, 12, 18, 24 и задаёт вопросы: «Какие числа являются кратными 4? Как проверить, что 24 кратно 6? Чем отличается делитель от кратного? Запишите по одному примеру полного ответа.» | Выделяют 4, 12, 24 как кратные 4; отвечают: «24 кратно 6, потому что 24 делится на 6 без остатка»; формулируют: «Делитель делит число, а кратное получается умножением числа на натуральное число». |
3 мин | Учитель проводит устную разминку «Математическая цепочка». «Разложите мысленно 12, 18 и 20 на простые множители. Называйте не только результат, но и произведение. Если ответ отличается, объясните, на каком шаге возникло расхождение.» | Называют: $12=2\cdot2\cdot3$, $18=2\cdot3\cdot3$, $20=2\cdot2\cdot5$; сверяют ответы с записью на доске и исправляют неточности. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что общее кратное делится на каждое из данных чисел, а простые множители помогают находить его рационально. Теперь определим точный алгоритм практической работы."
Этап 3. Инструктаж и постановка практической задачи (5 мин)
Цель этапа: сформулировать критерии правильного нахождения НОК и выбрать порядок выполнения практических заданий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: «НОК — наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел». «Прочитайте определение. Какие два условия должны выполняться? Почему недостаточно назвать любое общее кратное? Назовите число, которое является общим кратным 6 и 8, но не является наименьшим.» | Отвечают: «Число должно делиться на каждое данное число и быть самым маленьким». Называют 48 как общее, но не наименьшее кратное 6 и 8, сравнивают его с 24. |
3 мин | Учитель демонстрирует памятку: «Способ 1: выписать кратные большего числа и найти первое, делящееся на второе. Способ 2: разложить числа на простые множители, взять все множители из разложений, включая повторяющиеся в наибольшем количестве, и перемножить. После решения обязательно выполнить проверку делением». Учитель распределяет роли: один ученик решает, второй проверяет, затем роли меняются. | Переписывают алгоритм в маршрутный лист, задают уточняющие вопросы, распределяют роли в паре и формулируют критерии: «верный ответ, объясненный способ, проверка делением». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «НОК — наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел». Проверка: найденное число делится на каждое исходное, а меньшее общее кратное отсутствует.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у каждой пары есть понятный порядок действий и критерии успеха. Переходим к тренировке: сначала выполним задания вместе, затем вы самостоятельно выберете подходящий способ."
Этап 4. Практикум в парах: два способа нахождения НОК (10 мин)
Цель этапа: отработать нахождение НОК перечислением кратных и разложением чисел на простые множители с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт каждой паре маршрутный лист и задачу: «Найдите НОК чисел 12 и 18 двумя способами. При первом способе выпишите кратные 18 до первого совпадения. При втором разложите числа на простые множители и выделите множители, которые войдут в произведение». Учитель проходит между рядами и задаёт вопросы: «Почему начинаете с кратных 18? Какой множитель нужно добавить?» | Один ученик выписывает кратные 18: 18, 36; другой — кратные 12: 12, 24, 36. Затем записывают $12=2\cdot2\cdot3$, $18=2\cdot3\cdot3$ и делают вывод $НОК(12;18)=2\cdot2\cdot3\cdot3=36$. |
3 мин | Учитель предлагает задачу: «Найдите $НОК(8;15)$ разложением на простые множители. Объясните, почему в произведении должны присутствовать множители 2, 2, 2, 3 и 5». Просит одну пару представить решение у доски. | Решают в парах: $8=2\cdot2\cdot2$, $15=3\cdot5$, поэтому $НОК(8;15)=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot5=120$. Объясняют, что число 120 должно делиться и на 8, и на 15. |
3 мин | Учитель проводит взаимопроверку по приёму «Две звезды и пожелание». «Поставьте две отметки за сильные стороны решения и один совет. Проверьте не только ответ, но и наличие обоснования и деления результата на исходные числа.» | Обмениваются маршрутными листами, проверяют делимость: $36:12=3$, $36:18=2$; $120:8=15$, $120:15=8$. Записывают две сильные стороны и один конкретный совет. |
Эталон решения
$12=2\cdot2\cdot3$, $18=2\cdot3\cdot3$. В произведение для НОК берём две двойки и две тройки: $НОК(12;18)=2\cdot2\cdot3\cdot3=36$. Проверка: $36:12=3$, $36:18=2$. Следовательно, 36 — общее кратное; среди меньших кратных 12 и 18 общего числа нет, поэтому это НОК.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы применили оба способа и увидели, что разложение на простые множители особенно удобно, когда числа достаточно большие. Теперь проверим умение применять НОК в ситуации из повседневной жизни."
Этап 5. Практическая задача на периодичность (7 мин)
Цель этапа: применить НОК для определения момента совпадения периодически повторяющихся событий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт групповую карточку: «Два автобуса отправились от остановки одновременно. Первый отправляется каждые 12 минут, второй — каждые 18 минут. Через сколько минут они снова отправятся одновременно? Запишите, что обозначают числа 12 и 18, и объясните, почему нужно искать НОК». | Читают условие, подчёркивают периодичность, записывают: «12 и 18 — интервалы движения; требуется найти первое общее время». Предполагают: «Нужно найти НОК(12;18)». |
3 мин | Учитель организует работу в группах по четыре человека и напоминает роли: вычислитель, оформитель, проверяющий, докладчик. «Решите задачу двумя способами или одним рациональным способом с обязательной проверкой. Подготовьте ответ полным предложением.» | В группах находят $НОК(12;18)=36$, проверяют $36:12=3$, $36:18=2$, оформляют решение и готовят сообщение: «Автобусы снова отправятся одновременно через 36 минут». |
2 мин | Учитель приглашает докладчика одной группы, остальные сравнивают решения. «Почему нельзя сложить 12 и 18? Почему ответ 36 является первым совпадением?» | Представляют решение, отвечают: «Сложение даёт следующий разный момент, а не общий период; 36 — первое число, которое делится и на 12, и на 18». |
Эталон решения
Нужно найти первое общее кратное интервалов 12 и 18: $12=2\cdot2\cdot3$, $18=2\cdot3\cdot3$. Тогда $НОК(12;18)=2\cdot2\cdot3\cdot3=36$. Проверка: $36:12=3$, $36:18=2$. Ответ: автобусы снова отправятся одновременно через 36 минут.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "НОК помогает находить не просто любое совпадение, а самый ранний общий момент. Сейчас каждый самостоятельно покажет, насколько уверенно умеет выбирать способ и проверять ответ."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное владение алгоритмом нахождения НОК и умение применять его в задаче.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. «Выполните обязательное задание и выберите одно из двух дополнительных. В базовом задании найдите $НОК(9;12)$ и $НОК(14;21)$ разложением на простые множители. В повышенном задании решите задачу: один сигнал повторяется каждые 15 секунд, другой — каждые 20 секунд; через сколько секунд они совпадут? Записывайте все действия и проверку». | Индивидуально решают задания. Для базового уровня получают $НОК(9;12)=36$, $НОК(14;21)=42$; в задаче находят $НОК(15;20)=60$ и записывают полный ответ. |
2 мин | Учитель выдаёт эталон на каждую парту. «Сверьте решение построчно: разложение, выбор множителей, произведение, проверка. Ошибку не стирайте полностью — подчеркните место затруднения и исправьте рядом». | Сопоставляют решение с эталоном, отмечают ошибки условным знаком, выполняют исправление и проверяют делением. |
2 мин | Учитель проводит самооценку «Светофор». «Покажите зелёную карточку, если находите НОК самостоятельно и умеете проверить; жёлтую — если нужен контроль одного шага; красную — если пока не можете объяснить выбор множителей». | Показывают карточки, формулируют личную трудность: «Путаю количество повторяющихся множителей», «Не забываю проверять делением», «Могу объяснить весь алгоритм». |
Эталон решения
$9=3\cdot3$, $12=2\cdot2\cdot3$, поэтому $НОК(9;12)=2\cdot2\cdot3\cdot3=36$. $14=2\cdot7$, $21=3\cdot7$, поэтому $НОК(14;21)=2\cdot3\cdot7=42$. Для сигналов: $15=3\cdot5$, $20=2\cdot2\cdot5$, значит $НОК(15;20)=2\cdot2\cdot3\cdot5=60$ секунд.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что основной алгоритм уже освоен. Осталось зафиксировать, какое действие помогает избежать ошибки и какой способ вы будете выбирать в дальнейшем."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить способы нахождения НОК, оценить достижение цели и объяснить домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает «Билет на выход»: «На отдельном стикере запишите ответ на два вопроса: что такое НОК и как вы проверяете результат? Приведите пример нахождения $НОК(6;8)$». | Пишут: «НОК — наименьшее общее кратное; проверяю делением на каждое исходное число». Находят $НОК(6;8)=24$ и сдают стикер при выходе. |
1 мин | Учитель просит завершить фразы: «Сегодня я научился…», «Мне нужно потренироваться…», «В практической задаче НОК нужен, чтобы…». | Устно завершают фразы: «Научился раскладывать числа», «Нужно потренироваться в выборе множителей», «Чтобы найти первый общий момент». |
2 мин | Учитель объясняет уровни домашней работы и напоминает критерии проверки. «Выберите уровень осознанно: обязательный выполняют все, повышающий — для дополнительной тренировки, продвинутый — для тех, кто готов объяснить решение несколькими способами». | Записывают выбранный уровень, уточняют количество заданий и критерии оформления. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы нашли НОК двумя способами, применили его к задаче о движении автобусов и научились проверять ответ. Сохраните в тетради алгоритм как рабочую памятку: он понадобится при сложении дробей и решении задач на периодичность."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные задания, корректно записаны разложения на простые множители, найден НОК в практической задаче и выполнена проверка делением; объяснение последовательное.
- «4» — верно выполнено большинство заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не повлиявшая на понимание алгоритма; проверка результата в основном выполнена.
- «3» — правильно выполнено не менее половины обязательных заданий, определение НОК понято, но есть ошибки в выборе множителей, произведении или оформлении проверки.
- Ниже отметки «3» — алгоритм пока не применён устойчиво; требуется повторно разобрать разложение чисел и выполнить задания с опорой на памятку.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое НОК и какие два условия должен выполнять найденный результат? | Проверка понимания определения и критериев правильного ответа. |
Какой способ нахождения НОК оказался для вас удобнее и почему? | Выявление осознанности выбора способа и умения сравнивать алгоритмы. |
На каком шаге возникло затруднение: разложение, выбор множителей, умножение или проверка? | Выявление конкретной точки затруднения для коррекции. |
Где в жизни можно использовать НОК? | Проверка переноса предметного знания в практический контекст. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились находить наименьшее общее кратное перечислением кратных и разложением чисел на простые множители. Главное — не просто получить число, а проверить, делится ли оно на каждое исходное число и действительно ли является наименьшим. Типичная ошибка — взять каждый множитель только один раз, не учитывая его повторение в разложении. На следующем уроке мы применим НОК при работе с дробями и увидим, почему общий знаменатель связан с этой темой."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на нахождение НОК двух чисел разложением на простые множители; в каждом решении записать проверку делением найденного результата на оба числа. | Закрепляет алгоритм, правильный выбор множителей и навык самопроверки. |
Средний (повышающий) | Решить 3 практические задачи на периодичность событий: расписания, мигание сигналов или повторение тренировок; в каждой задаче обосновать, почему используется НОК. | Формирует умение переводить жизненную ситуацию на язык математики и давать ответ с единицами времени. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу, в которой три события повторяются через разные промежутки времени; найти НОК трёх чисел двумя способами и объяснить, какой способ рациональнее. | Развивает создание математической модели, аргументацию и перенос алгоритма на новый уровень сложности. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что означает слово “наименьшее” в определении НОК? Как проверить, что число является общим кратным? Почему при разложении нужно учитывать максимальное количество повторений каждого простого множителя?»
