Решение текстовых задач, включающих понятие делимости
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться решать не менее трёх текстовых задач на делимость, выбирать признак или алгоритм решения, записывать обоснование и проверять полученный ответ.
- Закрепить умение распознавать в условии ситуации деления нацело, нахождения делителей, кратных чисел и общего кратного.
- Развивать умение переводить жизненную ситуацию на математический язык, составлять краткую запись или таблицу и объяснять ход решения.
- Формировать навыки сотрудничества при парной работе, взаимопроверки и аргументированной оценки решения.
- Воспитывать внимательность к условию задачи, ответственность за результат и интерес к применению математики в повседневной жизни.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску математического решения практической ситуации.
- Осознают ценность точности, последовательности и проверки результата.
- Принимают необходимость сотрудничества и уважительно оценивают решение одноклассника.
- Проявляют самостоятельность при выборе способа решения задачи.
Метапредметные
- Выделяют в тексте задачи известные и неизвестные величины, существенные условия и вопрос.
- Моделируют ситуацию с помощью краткой записи, таблицы, схемы или выражения.
- Планируют последовательность действий, осуществляют самопроверку и исправляют ошибки.
- Аргументированно объясняют выбор признака делимости или способа решения в паре и при обсуждении.
- Используют математическую речь для формулировки вывода и ответа на вопрос задачи.
Предметные
- Знать смысл понятий «делитель», «кратное», «делится нацело», «остаток».
- Уметь применять признаки делимости на 2, 3, 5, 9 и 10 при анализе условия задачи.
- Уметь решать текстовые задачи на распределение предметов поровну, составление групп и поиск наименьшего общего кратного.
- Уметь записывать решение по действиям с пояснениями и формулировать ответ.
- Уметь проверять, соответствует ли ответ условию задачи и является ли количество целым числом.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в решение общей задачи пары.
- Сопоставляют полученный результат с реальной ситуацией и оценивают его правдоподобие.
- Сохраняют учебную мотивацию при возникновении затруднения.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель повторения и план решения текстовой задачи.
- Распределяют время между чтением условия, решением и проверкой.
- Сверяют решение с эталоном, находят и исправляют арифметические ошибки.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Извлекают данные из текста и представляют их в виде схемы или таблицы.
- Классифицируют задачи по используемому понятию делимости.
- Применяют признаки делимости и находят связь между условием и математической моделью.
- Сравнивают два способа решения и обосновывают более удобный.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: читающий условие, решающий, проверяющий и докладчик.
- Задают уточняющие вопросы по условию и формулировке ответа.
- Объясняют ход решения, используя математические термины.
- Принимают замечания партнёра и корректно предлагают исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с памяткой: признаки делимости на 2, 3, 5, 9 и 10.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на каждую пару, всего по числу пар в классе.
- Подготовить карточки трёх уровней сложности для самостоятельной работы: минимального, базового и повышенного.
- Распечатать лист самооценки и мини-лист взаимопроверки по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить цветные маркеры или магниты для выделения ключевых чисел в условии.
- Вывести на экран проблемную задачу о размещении участников по командам и таблицу для самопроверки.
- Разместить на доске алгоритм: прочитать условие — выделить данные — выбрать признак делимости — решить — проверить — ответить.
- Подготовить таймер на 3–5 минут для парной и самостоятельной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практический смысл делимости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, всё ли готово для работы: тетрадь, ручка, линейка. Сегодня мы будем не просто считать, а расследовать, можно ли справедливо распределить предметы и людей по группам без остатка." | Проверяют готовность, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на экране ситуацию: "В школьной столовой приготовили 48 булочек. Можно ли разложить их поровну на 6 подносов? А на 5 подносов? Не выполняйте деление столбиком сразу: попробуйте объяснить, что должно быть верно для справедливого распределения." | Предполагают: "На 6 подносов можно, потому что 48 делится на 6 без остатка; на 5 нельзя, потому что останутся булочки". Формулируют связь с делимостью. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что понятие делимости помогает быстро принимать практические решения. Теперь вспомним признаки и способы, которые понадобятся нам при решении текстовых задач."
Этап 2. Актуализация знаний. Приём «Математический светофор» (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия делителя, кратного и признаки делимости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает по очереди числа 126, 235, 417, 540 и говорит: "Поднимите зелёную карточку, если число делится на указанное число без остатка, жёлтую — если сомневаетесь, красную — если не делится. Объясняйте ответ признаком, а не только результатом." Учитель называет делители 2, 3, 5, 9 и 10. | Определяют делимость чисел, поднимают карточки, объясняют: "126 делится на 2 и 3, потому что последняя цифра чётная, а сумма цифр равна 9"; "235 делится на 5, но не делится на 2 и 10". |
3 мин | Учитель задаёт вопросы: "Что называют делителем числа? Что называют кратным? Как понять по условию, что нужно искать количество групп?" На доске фиксирует краткие определения. | Отвечают: "Делитель — число, на которое делят без остатка"; "Кратное — результат умножения числа на натуральное число"; выделяют слова «поровну», «без остатка», «каждая группа». |
Запись в тетрадях: признаки делимости: на 2 — последняя цифра чётная; на 3 и 9 — сумма цифр делится соответственно на 3 или 9; на 5 — последняя цифра 0 или 5; на 10 — последняя цифра 0.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили инструменты, которыми будем пользоваться. Но в текстовой задаче сначала нужно понять не только, делится ли число, но и что именно означает найденное частное или кратное."
Этап 3. Постановка проблемы и планирование решения (5 мин)
Цель этапа: сформулировать общий алгоритм решения текстовых задач на делимость.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задачу: "Для экскурсии нужно рассадить 36 учеников поровну по автобусам. В каждом автобусе должно быть одинаковое количество детей, а число автобусов — больше одного. Какие варианты возможны?" Учитель спрашивает: "Что неизвестно? Какие числа мы ищем?" | Выделяют неизвестное количество автобусов и количество детей в автобусе; называют пары делителей числа 36. |
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала 30 секунд подумайте самостоятельно, затем одну минуту обсудите план с соседом. Назовите шаги, которые помогут решить любую похожую задачу." Учитель записывает предложения на доске. | В парах формулируют алгоритм: прочитать условие, выделить данные, определить искомое, найти делители или кратные, проверить ограничения, записать ответ. Представляют варианты классу. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Наш план готов: от текста — к модели, от модели — к вычислению и проверке. Применим его к задачам, где потребуется внимательно различать делители и кратные числа."
Этап 4. Обобщение способов решения в парах (10 мин)
Цель этапа: обобщить способы решения текстовых задач на делимость через парную работу и взаимное объяснение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с задачей и инструкцией: "В паре один ученик читает условие и составляет краткую запись, второй предлагает математическую модель. Затем поменяйтесь ролями и вместе проверьте решение. В ответе обязательно объясните, что означает число." | Распределяют роли, подчёркивают в условии числовые данные и слова, связанные с делимостью. |
5 мин | Учитель предлагает задачи: "В кружке 24 участника. Их хотят разделить на одинаковые команды так, чтобы в каждой было не менее 3 и не более 8 человек. Какие размеры команд возможны?" и "Есть 45 красных и 30 синих фишек. Нужно составить одинаковые наборы без остатка, используя все фишки. Какое наибольшее число наборов можно составить и сколько фишек каждого цвета будет в наборе?" Учитель обходит пары и задаёт вопросы: "Что является общим делителем? Почему выбранное число допустимо?" | Решают задачи в парах. Для первой задачи находят делители 24 в заданном диапазоне: 3, 4, 6, 8. Для второй находят НОД чисел 45 и 30: 15; определяют состав набора: 3 красные и 2 синие фишки. |
3 мин | Учитель приглашает две пары представить решения и организует взаимопроверку: "Сравните не только ответы, но и пояснения. Если нашли отличие, задайте вопрос партнёрам и обоснуйте свою позицию." | Представляют решения у доски, задают вопросы, отмечают в листе взаимопроверки: верно выделены данные, выбран способ, записан ответ. |
Эталон решения
Задача о фишках: общий делитель чисел 45 и 30 должен быть максимальным, поэтому наибольшее число наборов равно $НОД(45,30)=15$. В каждом наборе $45:15=3$ красные фишки и $30:15=2$ синие фишки. Ответ: 15 наборов, в каждом по 3 красные и 2 синие фишки.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели два типа задач: в одной перечисляли допустимые делители, в другой искали наибольший общий делитель. Теперь каждый самостоятельно проверит, умеет ли выбирать способ по условию."
Этап 5. Первичное закрепление. Приём «Корзина идей» (6 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание математической модели и осмыслить типичные ошибки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт небольшие листы: "Запишите в свою корзину идей три сигнала из текста и соответствующий способ действия. Например, слова «поровну без остатка» могут подсказать поиск делителя. Добавьте одну типичную ошибку." | Записывают: «одинаковые группы — делитель», «повторяется через одинаковый интервал — кратное или общее кратное», «нельзя забывать ограничения». |
3 мин | Учитель зачитывает утверждения: "Если число делится на 6, оно обязательно делится на 2 и 3. Если число делится на 5, оно обязательно делится на 10. В задаче ответом всегда является частное." Просит поставить «верно» или «неверно» и объяснить. | Отмечают: первое утверждение верно; второе неверно, например 15 делится на 5, но не на 10; третье неверно, ответ может быть числом групп, размером группы или числом наборов. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Главная ошибка — механически выполнить деление и не спросить себя, что означает результат. Перед самостоятельной работой ещё раз сверимся с алгоритмом."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение решать текстовые задачи на делимость и объяснять ответ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень по своей готовности. Обязательная часть есть у всех. Работайте самостоятельно, сначала составьте краткую запись, затем решайте и проверяйте ответ." | Выбирают карточку, записывают номер варианта и начинают работу. |
6 мин | Учитель предлагает базовую задачу: "В лагере 42 ребёнка нужно разделить на одинаковые отряды по 6, 7 или 8 человек. Какие варианты возможны?" Для повышенного уровня: "Найдите наименьшее число, которое делится одновременно на 6, 8 и 9, и объясните, как оно может быть использовано в расписании повторяющихся мероприятий." | Решают индивидуально. В базовой задаче проверяют $42:6=7$, $42:7=6$, а на 8 без остатка не делится. В повышенной задаче находят НОК: $НОК(6,8,9)=72$. |
3 мин | Учитель выводит эталон: "Проверьте три пункта: правильно ли поняли вопрос, выполнено ли условие делимости, дан ли ответ словами. Ошибку не зачёркивайте молча: рядом запишите, на каком шаге она появилась." | Сверяют решение с эталоном, исправляют ошибки, отмечают уровень самостоятельности в листе самооценки. |
Эталон решения
В задаче о лагере число детей равно 42. Проверяем размеры отрядов: $42:6=7$, значит, по 6 человек можно составить 7 отрядов; $42:7=6$, значит, по 7 человек можно составить 6 отрядов; $42:8=5$ и остаток 2, поэтому по 8 человек разделить всех детей нельзя. Ответ: возможны варианты по 6 или по 7 человек в отряде.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, умеем ли мы выбирать действие по смыслу, а не по внешнему виду чисел. Осталось оценить собственный результат и сформулировать, что именно стало понятнее."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить способы решения, выявить затруднения и объяснить домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Билет на выход»: "Ответьте письменно на три вопроса: какой признак делимости сегодня применяли чаще всего; как отличить задачу на делители от задачи на кратные; на каком шаге вам нужна дополнительная тренировка?" | Заполняют билет на выход, формулируют ответы: «делители нужны для составления одинаковых групп», «кратные помогают найти момент общего совпадения», «нужно внимательнее записывать ответ». |
1 мин | Учитель проводит самооценку: "Покажите пальцами от 1 до 3: 1 — пока нужна помощь, 2 — решаю по алгоритму, 3 — могу объяснить решение другому. Поднимите руку, кто готов объяснить разницу между НОД и НОК." | Показывают уровень, называют различие: НОД связан с максимальным числом одинаковых наборов, НОК — с первым общим кратным. |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выполните обязательный уровень. Если готовы, выберите повышающий или дополнительный. В каждой задаче подчёркивайте слова, связанные с делимостью, и записывайте ответ с пояснением." | Записывают домашнее задание и задают уточняющие вопросы. |
Домашнее задание: выполнить одно задание базового уровня; повышающий и продвинутый уровни выбрать по желанию.
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все предложенные задачи, правильно выбраны признаки делимости или НОД/НОК, есть краткая запись, пояснения, проверка и полный ответ.
- «4» — верно решены основные задачи, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не повлиявшая на общий способ решения.
- «3» — правильно выполнена обязательная часть хотя бы одной задачи и показано понимание связи между условием и делимостью, но есть ошибки в вычислениях или пояснениях.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какие слова в условии помогли понять, что нужно использовать делимость? | Выявление умения распознавать математическую модель по тексту. |
Чем отличается поиск делителей от поиска кратных чисел? | Проверка осознания двух способов решения. |
На каком шаге решения возникло затруднение? | Выявление точек затруднения в алгоритме. |
Можете ли вы объяснить решение задачи однокласснику? | Субъективная оценка глубины понимания и коммуникативной готовности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы убедились, что делимость помогает решать реальные задачи о группах, наборах и повторяющихся событиях. Важно не останавливаться на найденном частном, а объяснять, что оно означает и отвечает ли условию. Типичная ошибка — перепутать НОД и НОК или забыть проверить ограничения задачи. На следующем уроке мы продолжим работать с делимостью и научимся применять полученные способы в более сложных составных задачах."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 текстовые задачи: одну на распределение предметов поровну, одну на поиск допустимых размеров групп и одну на применение признака делимости. В каждой задаче выделить данные и записать полный ответ. | Закрепляет алгоритм перевода текста в математическую модель; при проверке смотреть на обоснование и смысл ответа. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задачи на НОД и НОК в жизненном контексте: составление одинаковых наборов, совпадение расписаний и распределение участников. Для каждой указать, почему выбран НОД или НОК. | Развивает умение различать способы решения; при проверке смотреть на выбор операции и пояснение. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную текстовую задачу на делимость, решить её двумя способами или изменить условие так, чтобы изменился ответ. Подготовить устное объяснение выбора способа. | Формирует умение создавать математическую модель и оценивать корректность условия. |
