Решение задач с применением признаков делимости
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться решать не менее 4 из 5 текстовых и практических задач на признаки делимости на 2, 3, 5, 9 и 10, объясняя выбор признака и проверяя полученный ответ.
- Закрепить умение распознавать признаки делимости на 2, 3, 5, 9 и 10 и применять их без выполнения полного деления.
- Развивать умение анализировать условие задачи, выделять существенные данные, составлять план решения и аргументировать выбор признака делимости.
- Формировать навыки сотрудничества при работе в парах, взаимопроверки по критериям и корректного обсуждения ошибок.
- Поддерживать интерес к математике через задачи, связанные с распределением предметов, упаковкой и проверкой числовых данных.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к поиску удобного способа проверки чисел.
- Осознают ценность точности, последовательности и ответственности при решении практических задач.
- Понимают значение взаимопомощи и уважительного обсуждения различных способов решения.
- Формируют положительное отношение к самостоятельной проверке результата и исправлению ошибки.
Метапредметные
- Выделяют условие, требование и дополнительные ограничения в текстовой задаче.
- Планируют решение, выбирая подходящий признак делимости, и контролируют соответствие ответа условию.
- Сравнивают решения одноклассников, находят ошибочные рассуждения и формулируют способ исправления.
- Используют математическую речь для объяснения выбора признака и представляют результат в паре и перед классом.
Предметные
- Знают признаки делимости натурального числа на 2, 3, 5, 9 и 10.
- Умеют определять, делится ли число на указанное число, используя соответствующий признак.
- Умеют находить пропущенную цифру в числе при заданном условии делимости.
- Умеют решать текстовые задачи на группировку и распределение предметов с применением признаков делимости.
- Умеют записывать решение с кратким обоснованием и выполнять проверку результата.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную задачу: научиться быстро проверять делимость числа без деления.
- Осознают необходимость доводить рассуждение до обоснованного ответа.
- Проявляют готовность принимать помощь партнёра и предлагать собственное объяснение.
- Оценивают своё продвижение по итогам самостоятельной работы и рефлексии.
Регулятивные УУД
- Принимают и удерживают цель урока при переходе от устной разминки к решению задач.
- Составляют последовательность действий: прочитать условие, выбрать признак, выполнить проверку, записать ответ.
- Сверяют решение с эталоном и отмечают место возникшего затруднения.
- Корректируют решение после взаимопроверки и объясняют внесённое исправление.
Познавательные УУД
- Классифицируют числа по признакам делимости на 2, 3, 5, 9 и 10.
- Устанавливают связь между последней цифрой, суммой цифр и делимостью числа.
- Моделируют условие задачи с помощью краткой записи, таблицы или набора подходящих чисел.
- Анализируют ошибочные решения и выделяют нарушенный шаг рассуждения.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: решающий и проверяющий, затем меняются ролями.
- Задают уточняющие вопросы: «Какой признак ты применил?» и «Почему этого достаточно?»
- Аргументированно представляют общее решение, не перебивая собеседника.
- Приходят к единому варианту ответа и корректно формулируют замечания к работе партнёра.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с таблицей признаков делимости на 2, 3, 5, 9 и 10, оставив несколько пропусков для устного восстановления.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на пару, всего по числу пар в классе, с задачами трёх уровней сложности.
- Подготовить индивидуальные листы самостоятельной работы по одному на каждого ученика и два запасных экземпляра.
- Подготовить цветные карточки или сигналы «зелёный — решил», «жёлтый — нужна проверка», «красный — есть затруднение».
- Разместить на доске памятку алгоритма: «Прочитай условие — определи требование — выбери признак — проверь — запиши ответ».
- Подготовить таймер на 2, 4 и 5 минут для смены форм работы.
- Освободить проход между рядами для физкультминутки; заранее определить безопасные движения без использования оборудования.
- Подготовить стикеры для рефлексии и карточку «Билет на выход» по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить эталонные ответы для парной и самостоятельной работы, чтобы вывести их на экран после выполнения заданий.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую необходимость быстрых проверок делимости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: «Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка и карточка для сигналов должны лежать перед вами. Сегодня мы будем не просто повторять признаки делимости, а использовать их как инструмент быстрой проверки. Работать будем индивидуально, в парах и всей группой». | Проверяют принадлежности, записывают дату и готовятся к работе. |
2 мин | Учитель показывает на доске числа 248, 315, 470 и 729 и предлагает приём «Математический светофор»: «Поднимите зелёную карточку, если можете сразу назвать хотя бы один признак делимости каждого числа. Жёлтую — если нужно вспомнить правило. Красную — если пока трудно. Наша задача — к концу урока уверенно объяснить свой выбор». | Рассматривают числа, поднимают сигналы и называют предварительные ответы: «248 делится на 2», «315 делится на 3 и 5», «470 делится на 2, 5 и 10», «729 делится на 3 и 9». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы проверим, насколько хорошо умеем применять признаки делимости не только к отдельным числам, но и к задачам. Важно будет не угадать ответ, а объяснить, почему выбранный признак подходит».
Этап 2. Актуализация знаний. Приём «Цепочка признаков» (6 мин)
Цель этапа: восстановить признаки делимости и выявить возможные затруднения перед решением задач.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает неполную таблицу и говорит: «Восстановим нашу шпаргалку-напоминание. На какое число делится натуральное число, если его последняя цифра чётная? Если последняя цифра равна 0 или 5? Если последняя цифра 0? Что нужно сделать, чтобы проверить делимость на 3 и на 9? Я буду называть число, а вы — признак и краткое объяснение». | Заполняют пропуски в тетради и отвечают: «На 2 — если последняя цифра чётная», «На 5 — если последняя цифра 0 или 5», «На 10 — если последняя цифра 0», «На 3 и 9 — по сумме цифр». |
3 мин | Учитель проводит приём «Верно — неверно»: «Определите, верны ли утверждения, и исправьте неверные. Число, делящееся на 9, всегда делится на 3. Число, оканчивающееся на 4, делится на 5. Если сумма цифр равна 12, число делится на 3. Число, делящееся на 2, обязательно делится на 10». После каждого ответа спрашивает: «Какой признак подтверждает ваше решение?» | Записывают В или Н, исправляют ошибки и объясняют: «Первое утверждение верно», «Второе неверно: последняя цифра должна быть 0 или 5», «Третье верно», «Четвёртое неверно: для делимости на 10 последняя цифра должна быть 0». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы восстановили пять признаков. Теперь попробуем применить их в ситуации, где недостаточно просто назвать правило: нужно будет понять, какое условие задачи связано с делимостью».
Этап 3. Постановка проблемы и планирование решения (4 мин)
Цель этапа: научить выделять математическое содержание практической задачи и выбирать признак делимости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает условие: «В школьную столовую привезли 246 яблок. Можно ли разложить их поровну в коробки по 3 яблока, не разрезая яблоки?» Учитель спрашивает: «Что требуется узнать? Какое действие можно было бы выполнить? Можно ли решить задачу быстрее, используя признак делимости?» | Читают условие, выделяют требование и формулируют: «Нужно узнать, делится ли 246 на 3. Можно сложить цифры: 2 + 4 + 6 = 12». |
2 мин | Учитель организует краткое обсуждение в парах: «За 30 секунд предложите план решения из трёх шагов. Один ученик формулирует, второй проверяет, все ли шаги названы. Затем две пары представят свои варианты». Учитель фиксирует на доске алгоритм: прочитать — выбрать признак — сделать вывод. | В парах составляют план: «Сначала определяем, на что нужно разделить число. Затем применяем признак делимости на 3. В конце записываем ответ о возможности разложить яблоки поровну». Представляют план классу. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают алгоритм: 1) определить, о какой делимости спрашивается; 2) выбрать признак; 3) применить признак к числу; 4) сформулировать ответ по условию задачи.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что задача о коробках сводится к проверке делимости числа 246 на 3. Теперь закрепим этот способ на разных типах задач и будем обязательно связывать математический вывод с ответом на вопрос задачи».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 4. Парная работа «Математический конструктор» (8 мин)
Цель этапа: закрепить выбор признака делимости при решении задач и развивать умение объяснять ход рассуждения партнёру.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку и объясняет роли: «В первой задаче один ученик будет решающим, второй — проверяющим. В следующей задаче поменяйтесь ролями. Проверяющий не сообщает готовый ответ, а задаёт вопрос: “Какой признак ты применил?” На карточке три задания: обязательное, повышающее и дополнительное». | Получают карточки, распределяют роли, читают критерии: выбран правильный признак, приведено обоснование, ответ связан с условием. |
4 мин | Учитель предлагает задания: «Задача 1. В актовом зале 135 стульев нужно расставить в 5 одинаковых рядов. Возможно ли это? Задача 2. В олимпиаде участвовали 327 учеников. Можно ли разделить их на команды по 3 человека без остатка? Задача 3. Подберите цифру $a$ в числе 47a, чтобы число делилось на 9». Учитель посещает пары, задаёт вопросы: «Что в условии указывает на деление? Почему ты проверяешь сумму цифр, а не последнюю цифру?» | В парах решают задачи, проговаривают выбор признака и записывают краткое обоснование. Получают ответы: «135 делится на 5, поэтому расставить можно; 327 делится на 3, потому что сумма цифр равна 12; $4+7+a=11+a$, поэтому $a=7$, тогда сумма цифр равна 18». |
3 мин | Учитель организует взаимопроверку: «Обменяйтесь карточками с соседней парой. Проверьте три позиции: признак, вычисление, ответ. Поставьте рядом с каждым заданием знак “+” или коротко напишите, что нужно исправить. После этого верните карточку и обсудите одно замечание». | Обмениваются карточками, проверяют решения по критериям, формулируют замечания: «В первом задании правильно выбран признак, но нужно явно написать, что рядов будет 27» или «В третьем задании пропущено объяснение, почему сумма цифр должна быть кратна 9». |
Эталон решения
Задача 1: $135$ оканчивается цифрой $5$, значит, делится на $5$. Можно расставить стулья в $5$ одинаковых рядов; в каждом ряду будет $135:5=27$ стульев. Задача 2: $3+2+7=12$, число $12$ делится на $3$, значит, $327$ делится на $3$. Команды по 3 человека составить можно. Задача 3: для делимости на 9 сумма цифр должна делиться на 9: $4+7+a=11+a$. Подходящая цифра $a=7$, поскольку $11+7=18$, а $18$ делится на 9.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «В парной работе вы не только получили ответы, но и проверили рассуждения друг друга. Сейчас сделаем короткую разминку, чтобы переключить внимание, а затем каждый самостоятельно покажет, насколько уверенно применяет алгоритм».
Этап 5. Физкультминутка «Чётное — нечётное» (3 мин)
Цель этапа: снять напряжение, переключить внимание и повторить признаки делимости в двигательной форме.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель говорит: «Встаньте рядом с партами. Я называю число. Если оно делится на 2, делаем хлопок над головой; если делится на 5 — хлопок перед собой; если делится на 10 — приседание. Если число не подходит ни под одно условие, спокойно остаёмся на месте. Выполняем движения без резких наклонов». | Встают, освобождают пространство, повторяют правила движений. |
2 мин | Учитель называет числа 18, 25, 40, 33, 70, 47 и комментирует: «После каждого движения коротко объясняйте соседу, почему выбрали именно его. Для числа 40 можно выполнить сразу несколько подходящих действий, но сначала назовите все признаки». | Выполняют движения и объясняют партнёру: «18 делится на 2», «25 делится на 5», «40 делится на 2, 5 и 10», «33 не делится на 2, 5 или 10», «70 делится на 2, 5 и 10», «47 не подходит». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы повторили признаки делимости в движении. Садимся, открываем тетради на новой строке и переходим к самостоятельной проверке: теперь помощь партнёра не используется, зато после работы будет эталон для самопроверки».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (12 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение решать задачи с применением признаков делимости и исправлять ошибки по эталону.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт листы и говорит: «Работаем самостоятельно. Сначала внимательно прочитайте каждое условие. В решении обязательно указывайте признак делимости, а в ответе возвращайтесь к вопросу задачи. Можно выбрать базовый вариант, а после его выполнения перейти к повышенному». | Получают листы, записывают фамилию, читают инструкции и выбирают уровень выполнения. |
6 мин | Учитель предлагает базовые задания: «1. Определите, можно ли разложить 218 карандашей в коробки по 2 карандаша. 2. Можно ли распределить 426 учеников на группы по 3 человека? 3. Найдите цифру $b$, чтобы число 58b делилось на 5 и на 10. 4. Из чисел 135, 248, 360 и 721 выберите те, которые делятся одновременно на 2 и на 5». Учитель наблюдает, не подсказывает ответ, при необходимости напоминает алгоритм. | Индивидуально решают задания, записывают признаки и выводы. Получают: 218 делится на 2; 426 делится на 3, так как $4+2+6=12$; для делимости на 5 цифра $b$ может быть 0 или 5, но для делимости на 10 $b=0$; одновременно на 2 и 5 делятся 360. |
3 мин | Учитель предлагает повышенное задание: «В числе 6a4 заменили букву цифрой. Подберите все цифры $a$, при которых число делится на 3, но не делится на 9. Запишите рассуждение, а не только ответ». | Находят условие: $6+a+4=10+a$. Для делимости на 3 сумма должна быть кратна 3, поэтому $a=2,5,8$. При $a=8$ сумма равна 18, число делится на 9, поэтому исключаем 8. Ответ: $a=2$ или $a=5$. |
2 мин | Учитель выводит эталон и говорит: «Проверьте каждую строку по трём вопросам: выбран ли признак, верно ли выполнена проверка, отвечает ли итог условию задачи. Ошибку не стирайте полностью: зачеркните неверный шаг одной линией и рядом запишите исправленный». | Сверяют решения с эталоном, отмечают количество верных заданий, исправляют ошибки и ставят себе условный знак: зелёный, жёлтый или красный. |
Эталон решения
1) Последняя цифра числа $218$ чётная, значит, $218$ делится на 2; карандаши можно разложить в пары. 2) $4+2+6=12$, сумма цифр делится на 3, значит, $426$ делится на 3; группы составить можно. 3) Чтобы число $58b$ делилось на 10, последняя цифра должна быть 0, поэтому $b=0$. 4) Число должно оканчиваться на 0, поскольку делимость одновременно на 2 и 5 означает делимость на 10; из списка подходит $360$. 5) Для $6a4$: $10+a$ должно делиться на 3, поэтому $a=2,5,8$; при $a=8$ сумма равна 18 и число делится на 9, следовательно, остаются $a=2$ и $a=5$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что главный шаг — правильно распознать требование задачи и связать его с нужным признаком. Ошибки чаще всего возникают, когда ученик проверяет только последнюю цифру там, где нужна сумма цифр. На следующем этапе обобщим способы и составим короткую памятку для будущих задач».
Этап 7. Обобщение и включение в систему знаний (5 мин)
Цель этапа: систематизировать признаки делимости и научить выбирать способ решения в зависимости от условия задачи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель чертит на доске пять колонок с заголовками «2», «3», «5», «9», «10» и говорит: «Приём “Кластер”: распределите примеры по признакам. Одно число может попасть в несколько колонок. Числа такие: 120, 234, 375, 540, 729. Объясняйте не только куда помещаете число, но и почему». | По очереди называют и распределяют числа: 120 — в колонки 2, 5, 10; 234 — в 2 и 3; 375 — в 3 и 5; 540 — в 2, 3, 5, 9 и 10; 729 — в 3 и 9. Обосновывают ответы последней цифрой или суммой цифр. |
2 мин | Учитель задаёт вопрос: «Какой признак следует выбрать, если в задаче сказано “поровну на 10 групп”? А если “по 5 предметов в упаковке”? А если “на команды по 3 человека”? Сформулируйте правило выбора в одной фразе». | Формулируют: «Число должно делиться на количество групп или предметов в одной группе; затем выбираем признак делимости на это число». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь у нас есть общая схема: смысл условия подсказывает делитель, а признак делимости позволяет быстро проверить число. Осталось оценить собственный результат, назвать трудность и зафиксировать домашнее задание».
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: организовать осмысление результатов урока, выявить затруднения и объяснить разноуровневое домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт стикеры и предлагает приём «Билет на выход»: «Закончите две фразы: “Теперь я умею…” и “Мне нужно ещё потренироваться в…”. Затем решите устно: можно ли разложить 415 конфет поровну в 5 пакетов и какой признак это подтверждает?» | Заполняют стикеры: «Теперь я умею выбирать признак по условию задачи», «Мне нужно потренироваться находить пропущенную цифру». Отвечают: «Да, 415 делится на 5, потому что оканчивается цифрой 5». |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание: «Выберите обязательный уровень. Повышающий и дополнительный уровни выполняйте по готовности. В каждой задаче записывайте признак делимости и полный ответ. Перед уходом проверьте, что записали дату и выбранный уровень». | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, отмечают выбранный уровень в дневнике. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы применяли признаки делимости как способ рассуждения, а не как набор отдельных правил. Особенно важно, что вы учились проверять решение и объяснять его партнёру. Спасибо за работу».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все 4 базовые задачи и повышенное задание либо не менее 5 заданий из 6; для каждого решения выбран правильный признак, приведено обоснование и записан ответ по условию.
- «4» — верно решены 3–4 задания из базового блока или допущена одна несущественная ошибка в объяснении при правильном выборе признака.
- «3» — верно решены не менее 2 базовых заданий, но имеются ошибки в выборе признака, вычислении суммы цифр или формулировке ответа.
- «2» — верно решено менее 2 заданий или решение не содержит обоснования применения признаков делимости.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой признак делимости вы сегодня применяли чаще всего и почему? | Выявление осознанности выбора признака и понимания связи между условием и способом решения. |
Как определить, что в задаче нужно использовать сумму цифр числа? | Проверка понимания признаков делимости на 3 и 9. |
На каком шаге алгоритма возникло затруднение: при чтении условия, выборе признака, вычислении или записи ответа? | Выявление конкретной точки затруднения для последующей коррекции. |
Какой совет по решению таких задач вы дали бы однокласснику? | Фиксация обобщённого способа действия и развитие метапредметной рефлексии. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы закрепили признаки делимости на 2, 3, 5, 9 и 10 и применили их к задачам о распределении предметов и поиске цифр. Помните: сначала нужно понять, на что требуется разделить число, а уже затем выбирать признак. Типичная ошибка — проверять только последнюю цифру в задаче на делимость на 3 или 9. На следующем уроке мы продолжим решать задачи, где потребуется комбинировать признаки и анализировать несколько условий одновременно».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи: определить возможность равного распределения предметов на 2, 3, 5 и 10 групп; в каждой задаче применить соответствующий признак делимости и записать полный ответ. | Закрепляет распознавание делителя по условию и применение основных признаков; при проверке обратить внимание на обоснование и связь ответа с вопросом задачи. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на восстановление пропущенной цифры в числах, чтобы они делились на 3, 9 или 5; для каждой задачи указать все подходящие цифры или объяснить, почему подходит только одна. | Развивает анализ ограничений и умение использовать сумму цифр или последнюю цифру; при проверке смотреть, не включены ли лишние варианты. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную практическую задачу о распределении или упаковке предметов, в которой нужно применить не менее двух признаков делимости. Записать условие, решение и ответ. | Формирует умение создавать математическую модель и выбирать способ решения; при проверке оценить реалистичность условия, корректность признаков и полноту объяснения. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какой признак используется для проверки делимости на 3? Чем проверка делимости на 9 отличается от проверки делимости на 3? Какую последнюю цифру должно иметь число, делящееся на 10? Почему число, делящееся одновременно на 2 и на 5, делится на 10?»
