Деление с остатком. Свойства остатков
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться выполнять деление натуральных чисел с остатком, записывать результат в виде a = b · q + r и применять свойства остатка при проверке решений.
- Сформировать представление о делимом, делителе, неполном частном и остатке, а также о связи между ними.
- Научиться находить остаток и неполное частное при делении натуральных чисел и проверять результат обратным действием.
- Развивать умение анализировать условие задачи, выдвигать гипотезу, сравнивать способы решения и аргументировать вывод.
- Воспитывать аккуратность вычислений, ответственность за общий результат и готовность сотрудничать при работе в паре и группе.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую значимость деления с остатком в ситуациях распределения предметов и упаковки товаров.
- Проявляют интерес к поиску закономерностей и самостоятельному открытию математического правила.
- Развивают ответственное отношение к записи вычислений и проверке полученного результата.
- Оценивают собственный вклад в парную и групповую работу.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе возникшего затруднения и планируют последовательность действий.
- Извлекают информацию из условия практической задачи, таблицы и математической записи.
- Сравнивают примеры, выделяют существенные признаки и формулируют свойство остатка.
- Работают в паре, задают уточняющие вопросы, аргументируют ответ и сверяют его с эталоном.
- Осуществляют самоконтроль по критериям: правильность частного, остатка и неравенства остатка делителю.
Предметные
- Знать названия компонентов деления с остатком: делимое, делитель, неполное частное, остаток.
- Уметь выполнять деление натуральных чисел с остатком и записывать результат в виде $a = b \cdot q + r$.
- Уметь устанавливать, что остаток меньше делителя: $0 \leq r < b$.
- Уметь находить неизвестный компонент по равенству $a = b \cdot q + r$ и проверять решение.
- Применять деление с остатком при решении задач на распределение предметов по группам.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения деления с остатком через связь с жизненными ситуациями.
- Проявляют готовность доводить вычисление до проверенного результата.
- Понимают ценность точности и взаимопомощи при совместном решении.
- Оценивают собственное продвижение по шкале «могу сам — нужна подсказка».
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока и составляют план открытия нового способа действия.
- Прогнозируют, каким должен быть остаток при заданном делителе.
- Контролируют вычисления по формуле и неравенству остатка.
- Исправляют ошибки после сверки с эталоном и объясняют причину затруднения.
- Оценивают достижение цели по результатам самостоятельной работы и рефлексии.
Познавательные УУД
- Выделяют делимое, делитель, частное и остаток в математической записи.
- Моделируют деление с остатком с помощью предметных групп и схемы.
- Сравнивают несколько случаев деления и находят общую закономерность.
- Преобразуют словесное условие в математическую запись.
- Используют формулу деления с остатком для проверки и нахождения неизвестного компонента.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: вычислитель и проверяющий.
- Формулируют ответ полным предложением и используют математические термины.
- Задают вопросы о способе решения и корректно уточняют ошибку товарища.
- Сравнивают решения групп и аргументированно выбирают верное.
- Соблюдают правила диалога и учитывают мнение партнёра.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с практической задачей о распределении 23 карандашей по коробкам по 5 штук.
- Распечатать карточки с примерами трёх уровней: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учеников класса.
- Подготовить 6 карточек для групповой работы с примерами деления и таблицей «делимое — делитель — неполное частное — остаток».
- Подготовить 15–20 жетонов или стикеров для отметки правильных ответов в мини-соревновании.
- Вывести на доску памятку: $a = b \cdot q + r$ и $0 \leq r < b$.
- Подготовить цветные маркеры, листы формата А4 для групп и сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета.
- Раздать каждому ученику небольшой лист для самостоятельной работы и выхода из урока.
- Проверить наличие доски, проектора или интерактивной панели, таймера на 3–4 минуты.
- Заранее разделить класс на пары и четыре рабочие группы, назначив в группах роли вычислителя, записывающего, докладчика и проверяющего.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую необходимость деления с остатком.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, всё ли готово к работе: тетрадь, ручка, линейка и сигнальная карточка. Сегодня нам понадобится не только умение считать, но и умение замечать закономерности. Работать будем быстро, точно и с объяснением каждого ответа." | Проверяют принадлежности, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на доске рисунок: 23 карандаша нужно разложить поровну в коробки по 5 карандашей. "Можно ли разложить все карандаши без остатка? Сколько полных коробок получится? Что произойдёт с оставшимися карандашами?" Учитель фиксирует ответы без оценки и объявляет приём «Проблемный вопрос». | Рассуждают индивидуально 20 секунд, затем обсуждают с соседом и отвечают: "Получится 4 полные коробки, останутся 3 карандаша". Формулируют проблему: "Нужно научиться записывать такое деление". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что не всякое деление заканчивается точным результатом. Сейчас выясним, как правильно описать количество полных групп и оставшихся предметов математически."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать смысл деления, связь умножения и деления и навыки проверки вычислений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит устную разминку: "Вычислите 24 : 6, 35 : 5 и 48 : 8. Назовите компоненты действия в записи 24 : 6 = 4. Как проверить деление умножением?" Учитель записывает на доске 24 = 6 · 4. | Вычисляют устно, отвечают: "24 — делимое, 6 — делитель, 4 — частное"; проверяют: "6 · 4 = 24". |
3 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сравните выражения 20 : 4 и 22 : 4. В первом случае деление точное. А что можно сказать о втором? Попробуйте найти наибольшее число, кратное 4 и не превосходящее 22." Учитель фиксирует варианты 20 и 22, просит объяснить выбор. | Работают в парах 1 минуту, находят 20 как ближайшее кратное 4 число, формулируют: "22 можно разделить на 4 нацело только до 20, ещё 2 останется". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что деление связано с умножением и что при неточном делении нужно выбрать наибольшее возможное произведение. Теперь точно определим, как называется оставшаяся часть и какими свойствами она обладает."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: зафиксировать затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске примеры: 17 : 5 и 29 : 6. "Запишите результат так, чтобы было видно количество полных групп и оставшиеся единицы. Можно ли просто написать 3 или 4? Почему такой ответ будет неполным?" Учитель предлагает назвать неизвестные элементы будущей записи. | Пробуют записать результаты, замечают затруднение. Отвечают: "Нужно указать и количество оставшихся единиц"; называют предполагаемые элементы: "частное и остаток". |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Что мы должны узнать сегодня? Какие действия нужно научиться выполнять? Как проверить, что остаток найден верно?" На доске оформляется план: 1) узнать термины; 2) вывести запись; 3) установить свойство остатка; 4) потренироваться. | Формулируют цель: "Научиться делить с остатком и проверять результат". Записывают план в тетрадь или проговаривают его по пунктам. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение определено: обычной записи частного недостаточно. Давайте сами откроем способ записи деления с остатком и проверим его на нескольких примерах."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести формулу деления с остатком и сформулировать основное свойство остатка.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель возвращается к задаче: "Разложим 23 карандаша по 5. Четыре полные коробки содержат 5 · 4 = 20 карандашей. До 23 не хватает ещё 3, значит, 3 — остаток. Запишем: 23 = 5 · 4 + 3. Прочитайте равенство и назовите каждое число." | Записывают равенство, отвечают: "23 — делимое, 5 — делитель, 4 — неполное частное, 3 — остаток". |
3 мин | Учитель показывает схему: делимое разделено на несколько полных групп и остаток. "Если делимое обозначить буквой $a$, делитель — $b$, неполное частное — $q$, а остаток — $r$, какая формула получится?" Учитель подводит к записи $a = b \cdot q + r$. | Составляют формулу и записывают её в тетрадь: $a = b \cdot q + r$. Объясняют смысл каждого обозначения. |
2 мин | Учитель предлагает сравнить примеры: $23 = 5 \cdot 4 + 3$, $29 = 6 \cdot 4 + 5$, $18 = 7 \cdot 2 + 4$. "Что общего у остатков и делителей? Может ли остаток быть равен делителю или больше него?" | Сравнивают числа и делают вывод: "Остаток всегда меньше делителя". Проверяют: $3 < 5$, $5 < 6$, $4 < 7$. |
2 мин | Учитель формулирует и записывает памятку: "При делении с остатком остаток меньше делителя. Если остаток равен нулю, деление выполняется нацело. Запомните запись: $0 \leq r < b$. Теперь проверим правило на примерах." | Переписывают памятку, приводят собственный пример деления с остатком, например $14 = 4 \cdot 3 + 2$, и называют неравенство $0 \leq 2 < 4$. |
Запись в тетрадях
- Деление с остатком записывают так: $a = b \cdot q + r$.
- $a$ — делимое, $b$ — делитель, $q$ — неполное частное, $r$ — остаток.
- Основное свойство остатка: $0 \leq r < b$.
- Если $r = 0$, деление выполняется нацело.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели формулу и обнаружили главное ограничение: остаток не может быть равен делителю или превышать его. Теперь закрепим новый способ сначала вместе, а затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление. Работа в группах (7 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм деления с остатком и научиться объяснять решение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт группам карточки с заданиями: 1) $37 : 5$; 2) $46 : 7$; 3) $58 : 9$. "Работаем по алгоритму: найдите наибольшее произведение, не превышающее делимое; определите неполное частное; найдите остаток; запишите равенство и проверьте неравенство остатка." | Распределяют роли, решают задания на листе, записывают: $37 = 5 \cdot 7 + 2$; $46 = 7 \cdot 6 + 4$; $58 = 9 \cdot 6 + 4$. |
3 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь листами с соседней группой. Проверьте четыре позиции: произведение, остаток, равенство и условие $r < b$. За каждую верную позицию поставьте отметку." | Проверяют работу другой группы, находят ошибки и формулируют замечания: "В равенстве должно быть 5 · 7, потому что 5 · 7 = 35". |
2 мин | Учитель вызывает представителей групп: "Объясните не только ответ, но и почему частное нельзя увеличить на единицу. Что произойдёт в первом примере, если взять частное 8?" | Докладывают решение. Отвечают: "5 · 8 = 40, это больше 37, значит, частное 8 невозможно". Формулируют правило выбора неполного частного. |
Эталон решения
Для деления $37 : 5$ находим наибольшее произведение, не превышающее 37: $5 \cdot 7 = 35$, а $5 \cdot 8 = 40 > 37$. Значит, неполное частное равно 7. Остаток: $37 - 35 = 2$. Запись: $37 = 5 \cdot 7 + 2$. Проверка свойства остатка: $0 \leq 2 < 5$. Аналогично: $46 = 7 \cdot 6 + 4$, $0 \leq 4 < 7$; $58 = 9 \cdot 6 + 4$, $0 \leq 4 < 9$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Группы показали, что результат деления с остатком обязательно проверяется равенством и неравенством. Теперь каждый выполнит задание самостоятельно, чтобы понять, какой шаг уже получается уверенно, а какой требует внимания."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и сформировать навык самоконтроля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. Базовый: выполнить $32 : 6$ и $45 : 8$. Средний: найти $x$ в равенстве $53 = 7 \cdot x + 4$. Повышенный: придумать два разных деления с остатком 3 и объяснить, почему делитель должен быть больше 3. "Выберите уровень, который позволит вам работать продуктивно. Записывайте не только ответ, но и проверку." | Индивидуально решают выбранные задания. Базовый уровень: $32 = 6 \cdot 5 + 2$, $45 = 8 \cdot 5 + 5$. Средний: $x = 7$, так как $7 \cdot 7 + 4 = 53$. Повышенный уровень: например, $17 = 7 \cdot 2 + 3$ и $23 = 10 \cdot 2 + 3$. |
3 мин | Учитель открывает эталон на доске: $32 = 6 \cdot 5 + 2$; $45 = 8 \cdot 5 + 5$; $53 = 7 \cdot 7 + 4$. "Проверьте каждую запись. Если обнаружили ошибку, зачеркните неверный шаг одной линией и исправьте рядом. Поднимите зелёную карточку, если всё проверено, жёлтую — если нужна консультация." | Сверяют решения с эталоном, проверяют неравенства $2 < 6$, $5 < 8$, оценивают свою работу сигнальной карточкой, при необходимости задают вопрос учителю. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже можно применять без подсказки. Осталось включить его в жизненную задачу и убедиться, что мы умеем объяснять смысл остатка, а не только выполнять вычисление."
Этап 7. Включение в систему знаний. Практическая задача (5 мин)
Цель этапа: применить деление с остатком в реальном контексте и интерпретировать ответ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задачу: "Для школьной экскурсии подготовили 67 бутылок воды. В одну коробку помещается 8 бутылок. Сколько полных коробок можно собрать и сколько бутылок останется? Можно ли остаток положить в ещё одну полную коробку?" Учитель просит сначала составить математическую модель, затем дать ответ словами. | Записывают $67 = 8 \cdot 8 + 3$. Отвечают: "Можно собрать 8 полных коробок, останутся 3 бутылки. В ещё одну полную коробку их положить нельзя, потому что 3 < 8". |
2 мин | Учитель задаёт обратный вопрос: "Как изменится ответ, если нужно перевезти все бутылки и каждая коробка должна быть заполнена полностью или может содержать неполное количество?" Подводит к различию математического и практического ответа. | Обсуждают в парах и отвечают: "Если нужна упаковка для всех бутылок, понадобится 9 коробок, последняя будет неполной". Объясняют, что в математической записи частное равно 8, остаток 3. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы применили формулу не только для вычисления, но и для ответа на вопрос жизненной задачи. Теперь кратко проверим, что каждый уносит с урока и что ещё нужно потренировать."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осознать результат обучения, выявить затруднения и зафиксировать домашнюю практику.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт «Билет на выход»: "Запишите одно равенство деления с остатком, назовите свойство остатка и ответьте, какой шаг алгоритма для вас самый важный. Используйте начало фразы: ‘Сегодня я научился…’" | Индивидуально записывают пример, например $26 = 4 \cdot 6 + 2$, указывают $0 \leq 2 < 4$, формулируют: "Сегодня я научился проверять остаток". |
1 мин | Учитель подводит итог: "Оцените себя: зелёный — могу объяснить способ другому; жёлтый — решаю, но иногда ошибаюсь; красный — нужна дополнительная тренировка. Домашнее задание выберите по своему уровню." | Показывают сигнальную карточку, записывают выбранный уровень домашнего задания и сдают «Билет на выход». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились представлять делимое как сумму произведения делителя на неполное частное и остатка. Главное условие — остаток меньше делителя. На следующем уроке мы продолжим применять это свойство при решении задач и исследовании признаков делимости."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все предложенные вычисления или задачи выбранного уровня, каждое равенство записано в виде $a = b \cdot q + r$, проверено условие $0 \leq r < b$, решение объяснено.
- «4» — допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, но способ решения выбран верно, смысл деления и свойство остатка поняты.
- «3» — правильно выполнено не менее половины заданий, однако есть ошибки в нахождении остатка или в проверке неравенства; после подсказки ученик исправляет решение.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что означает запись $a = b \cdot q + r$? | Проверка понимания компонентов деления с остатком и их связи. |
Почему остаток не может быть равен делителю или быть больше него? | Выявление осознанности свойства $0 \leq r < b$. |
Какой шаг алгоритма оказался самым сложным? | Выявление точек затруднения в выборе неполного частного и вычислении остатка. |
Где в обычной жизни может понадобиться деление с остатком? | Осознание практической значимости изученного способа. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились выполнять деление с остатком и записывать его с помощью формулы $a = b \cdot q + r$. Запомните: остаток всегда меньше делителя, а равенство нужно проверять обратным действием. Частая ошибка — назвать только неполное частное и забыть про остаток или сравнить остаток не с тем числом. На следующем уроке мы потренируемся использовать свойства остатков в более сложных задачах."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 5 примеров на деление натуральных чисел с остатком с делителями от 2 до 9; каждое решение записать в виде $a = b \cdot q + r$ и выполнить проверку $0 \leq r < b$. | Закрепить алгоритм вычисления неполного частного и остатка; при проверке обратить внимание на равенство и сравнение остатка с делителем. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи практического содержания на распределение предметов по группам, упаковку или рассадку; в каждой задаче дать математический и словесный ответ. | Научиться интерпретировать остаток в зависимости от условия; проверять, отвечает ли полученный результат вопросу задачи. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить 4 собственных примера деления с остатком: два с остатком 1 и два с остатком 3, причём выбрать разные делители; к каждому примеру записать равенство и объяснить, почему остаток допустим. | Развить умение конструировать математические примеры и применять условие $0 \leq r < b$ не только при проверке, но и при создании задания. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как называются числа в записи деления с остатком?», «Как записать деление с остатком через умножение и сложение?», «Каким должно быть отношение остатка к делителю?», «Как проверить полученный результат?»
