НОД и НОК натуральных чисел: вычисление и применение
Цели и задачи
- Цель: к концу урока научиться находить НОД и НОК двух натуральных чисел разными способами, выбирать подходящий способ и применять его при решении практических задач.
- Закрепить понимание делителей, кратных чисел, простых множителей, признаков делимости и разложения числа на простые множители.
- Отработать вычисление НОД и НОК перебором делителей и кратных, а также с помощью разложения на простые множители.
- Развивать умение анализировать условие задачи и определять, требуется ли найти общий делитель или общее кратное.
- Формировать навыки взаимопроверки, самоконтроля и уважительного сотрудничества при работе в парах и группах.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску разных способов решения математических задач.
- Осознают практическую значимость НОД и НОК при планировании повторяющихся действий и распределении объектов.
- Развивают ответственное отношение к результату индивидуальной и совместной работы.
- Оценивают собственные успехи и затруднения без сравнения себя с одноклассниками.
Метапредметные
- Извлекают необходимую информацию из условия задачи и преобразуют её в математическую модель.
- Сравнивают способы нахождения НОД и НОК, выбирают рациональный способ решения.
- Планируют последовательность действий, выполняют самопроверку по эталону и исправляют ошибки.
- Формулируют объяснение решения, слушают партнёра и аргументированно оценивают ответ.
Предметные
- Знать определения НОД и НОК двух натуральных чисел.
- Уметь находить НОД и НОК перебором делителей и кратных чисел.
- Уметь находить НОД и НОК по разложениям чисел на простые множители.
- Уметь решать практические задачи на совместную периодичность и разбиение на равные группы без остатка.
- Уметь проверять полученный результат по смыслу условия и с помощью делимости.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают личную ответственность за точность вычислений и достоверность ответа.
- Проявляют готовность преодолевать затруднение через поиск другого способа решения.
- Связывают математическое содержание с ситуациями распределения и планирования.
- Формируют положительную мотивацию к совместному выполнению практических заданий.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют учебную цель: различать ситуации для НОД и НОК.
- Планируют действия при разложении чисел на простые множители.
- Контролируют вычисления по признакам делимости и обратной проверке.
- Оценивают результат по предложенным критериям и корректируют найденные ошибки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки НОД и НОК.
- Классифицируют задачи по математическому действию, необходимому для решения.
- Строят модели разложения чисел на простые множители.
- Сравнивают множители двух чисел, устанавливают общие и отличающиеся элементы.
- Используют таблицу простых чисел, записи делителей и кратных для поиска ответа.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре по распределённым ролям: вычислитель, проверяющий, докладчик.
- Задают уточняющие вопросы о выборе НОД или НОК.
- Объясняют ход решения с использованием математических терминов.
- Согласовывают общий ответ и корректно сообщают о найденной ошибке.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить доску или слайд с определениями НОД и НОК, алгоритмами и двумя краткими примерами.
- Распечатать индивидуальные карточки трёх уровней сложности — по одной на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить карточки для парной игры «Домино»: на одной половине выражение или условие, на другой — возможный ответ.
- Подготовить листы с заданиями для групп, маркеры и листы формата А4 — по одному комплекту на группу из 4 человек.
- Разложить на парты таблицы простых чисел от 2 до 50 — по одной на пару.
- Подготовить карточки для приёма «Светофор»: зелёная, жёлтая и красная карточка на каждого ученика.
- Вывести на доску памятку: для НОД ищем общие делители и выбираем наибольший; для НОК ищем общие кратные и выбираем наименьшее.
- Подготовить эталоны ответов для самостоятельной работы и критерии оценивания на отдельном листе.
- Оборудование: интерактивная доска или проектор, таймер, доска, маркеры, ручки и рабочие тетради.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую деятельность и показать жизненную необходимость НОД и НОК.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня нам понадобится не только внимательность, но и умение быстро выбирать способ решения. Проверьте, что на парте есть тетрадь, ручка и карточка с таблицей простых чисел. Работать будем в парах и индивидуально, поэтому важно слышать друг друга и обязательно проверять вычисления." | Проверяют готовность к уроку, кладут на парту тетрадь, ручку и таблицу простых чисел. |
2 мин | Учитель показывает на экране условие: "Один сигнал повторяется каждые 6 секунд, другой — каждые 8 секунд. Через сколько секунд они прозвучат одновременно? А если 24 конфеты нужно разложить поровну в одинаковые наборы, какое число наборов можно сделать максимально?" Учитель уточняет: "Сегодня мы найдём математические инструменты для обеих ситуаций." | Предполагают ответы: «24 секунды» и «максимально возможное число равных групп связано с делителями». Формулируют, что в задачах потребуются общие кратные и общие делители. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели две разные ситуации: в одной нужно дождаться совместного повторения, а в другой — разделить предметы на максимально большие одинаковые группы. Теперь проверим, какие знания о делителях и кратных помогут нам это сделать."
Этап 2. Актуализация знаний. Математическая разминка (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о делителях, кратных, простых числах и разложении на простые множители.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит устный блиц: "Назовите делители числа 18. Какие числа называют кратными 5? Как проверить, делится ли число на 2, 3 и 5?" Учитель фиксирует правильные ответы на доске и просит назвать способ проверки. | Отвечают: «1, 2, 3, 6, 9, 18»; «10, 15, 20 и другие числа, делящиеся на 5»; формулируют признаки делимости на 2, 3 и 5. |
2 мин | Учитель предлагает в парах разложить числа 24 и 36 на простые множители: "Один ученик выполняет разложение, второй проверяет делимость каждого шага. Через минуту поменяйтесь ролями." | В парах записывают: $24=2\cdot2\cdot2\cdot3$, $36=2\cdot2\cdot3\cdot3$. Сверяют разложения, исправляют ошибки. |
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если уверенно различаете делитель и кратное, жёлтую — если нужна тренировка, красную — если требуется объяснение." После сигнала кратко комментирует типичные затруднения. | Показывают карточки, называют затруднение или приводят пример делителя и кратного числа 12. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что делитель делит число без остатка, а кратное получается умножением числа на натуральное число. Теперь узнаем, как из общих делителей выбрать главный результат и как не перепутать его с общим кратным."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать различие между НОД и НОК через практические задачи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам две карточки: «18 красных и 24 синих карандаша нужно разложить в одинаковые наборы без остатка. Какое наибольшее число наборов можно составить?» и «Автобус приходит каждые 12 минут, а троллейбус — каждые 18 минут. Они отправились одновременно. Через сколько минут встретятся у остановки снова?». Учитель спрашивает: "Одинаковым ли действием решаются эти задачи?" | Обсуждают в парах 1 минуту. Формулируют: в первой задаче ищется наибольшее общее число групп, во второй — наименьшее общее время повторения. |
2 мин | Учитель записывает на доске тему и задаёт цель: "Сегодня мы научимся находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное, а затем применять их к задачам. Какие шаги нам понадобятся?" Учитель принимает ответы и оформляет план: вспомнить определение — научиться вычислять — решить практические задачи — проверить себя. | Записывают тему урока. Предлагают план действий: определить понятия, найти НОД и НОК разными способами, решить задачи, проверить ответ. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема ясна: похожие слова обозначают разные математические действия. Сначала разберём определения и сразу применим их к небольшим числам, чтобы правило стало рабочим инструментом, а не формулой для запоминания."
Этап 4. Открытие нового знания и практическая отработка (10 мин)
Цель этапа: сформировать алгоритмы нахождения НОД и НОК и отработать их на конкретных числах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске: "НОД двух натуральных чисел — наибольший из их общих делителей. НОК двух натуральных чисел — наименьшее из их общих кратных." Затем показывает пример для чисел 12 и 18: "Делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Делители 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Общие делители: 1, 2, 3, 6, значит, НОД равен 6. Кратные 12: 12, 24, 36; кратные 18: 18, 36. Первое общее кратное — 36, значит, НОК равен 36." | Записывают определения и пример. Подчёркивают общие делители и первое общее кратное, отвечают: «НОД(12;18)=6», «НОК(12;18)=36». |
4 мин | Учитель предлагает работу «Эстафета алгоритма»: "Разложите числа 24 и 36 на простые множители. Для НОД возьмите общие множители в наименьших степенях, для НОК — все множители в наибольших степенях. Выполняйте по строкам: один ученик раскладывает, второй составляет НОД, затем меняйтесь." Учитель контролирует записи. | Выполняют: $24=2^3\cdot3$, $36=2^2\cdot3^2$. Делают вывод: $НОД(24;36)=2^2\cdot3=12$, $НОК(24;36)=2^3\cdot3^2=72$. Проверяют вычисления партнёра. |
3 мин | Учитель предлагает три быстрых задания на доске: "Найдите НОД(15;25), НОК(6;8), НОД(14;21). Выберите способ — перебор или разложение. Объясните, почему он удобен." | Решают в тетрадях и называют ответы: $НОД(15;25)=5$, $НОК(6;8)=24$, $НОД(14;21)=7$. Объясняют: для небольших чисел удобен перебор, для более крупных — разложение. |
Запись в тетрадях
- $НОД(a;b)$ — наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$.
- $НОК(a;b)$ — наименьшее общее кратное чисел $a$ и $b$.
- Для НОД по разложениям берут общие простые множители в наименьших степенях.
- Для НОК по разложениям берут все простые множители в наибольших степенях.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть два способа вычисления и главный ориентир: НОД связан с делением на равные части, а НОК — с совместным повторением. Проверим это на заданиях, где нужно не только посчитать, но и объяснить выбор."
Этап 5. Первичное закрепление. Парная практика (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритмы вычисления НОД и НОК в заданиях разного уровня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет правила работы: "Каждая пара получает карточку с тремя заданиями. Решайте по очереди: первый пример выполняет один ученик, второй — другой, третье задание решаете вместе. В каждой записи должны быть указаны способ и промежуточные действия." | Распределяют роли, читают карточку и готовят тетради. |
4 мин | Учитель раздаёт карточки. Вариант 1: «Найдите НОД(28;42), НОК(9;12), НОД(32;48). Вариант 2: «Найдите НОД(45;60), НОК(14;21), НОК(16;20). Вариант 3: «Найдите НОД(72;90), НОК(24;36), объясните выбор способа». Учитель оказывает адресную помощь учащимся, которым трудно начать. | Решают задания в парах, записывают разложения или списки делителей и кратных, сверяют ответы с партнёром. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь карточкой с соседней парой. Проверьте три элемента: правильность результата, наличие способа решения и отсутствие арифметической ошибки. Поставьте знак плюс или запишите короткое замечание." | Проверяют работу другой пары. Находят и объясняют ошибки, например неверный выбор наибольшего делителя или пропуск множителя в НОК. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы потренировались вычислять результаты и увидели, что аккуратная запись помогает заметить ошибку. Теперь каждый самостоятельно покажет, насколько уверенно умеет выбирать НОД и НОК."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение способов нахождения НОД и НОК и умение применять их в задаче.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор уровня: "На карточке три маршрута. Базовый выполняют все. После него можно выбрать повышенный или дополнительный уровень. Работайте самостоятельно, не подсказывайте соседям. В конце получите эталон и выполните самопроверку." | Выбирают карточку с учётом своих возможностей, записывают фамилию и начинают работу. |
5 мин | Учитель наблюдает и консультирует вопросами: "Что требуется найти в условии — максимально возможное число групп или время совместного повторения? Какое понятие соответствует этой ситуации?" Задания: базовый — найти $НОД(36;48)$ и $НОК(8;12)$; повышенный — решить задачу «36 красных и 48 синих фишек разложили в одинаковые наборы без остатка. Какое наибольшее число наборов можно составить и сколько фишек каждого цвета будет в наборе?»; дополнительный — решить задачу «Два маяка мигают через 15 и 20 секунд. Через сколько секунд они мигнут вместе ещё раз? Сколько миганий каждого маяка произойдёт за это время, не считая начального?» | Индивидуально находят значения и оформляют решение. В практической задаче выбирают НОД или НОК, записывают вычисления и полный ответ. |
2 мин | Учитель выводит эталон: "$НОД(36;48)=12$, $НОК(8;12)=24$. В задаче про фишки: $НОД(36;48)=12$, в наборе 3 красные и 4 синие фишки. В задаче про маяки: $НОК(15;20)=60$, за 60 секунд первый маяк мигнёт 4 раза, второй — 3 раза после начального." Просит отметить совпадения и исправить ошибки другим цветом. | Сверяют решение с эталоном, ставят количество верных ответов, исправляют ошибки и указывают причину: вычислительная ошибка, неверный выбор НОД или НОК, неполный ответ. |
Эталон решения
$36=2^2\cdot3^2$, $48=2^4\cdot3$. Поэтому $НОД(36;48)=2^2\cdot3=12$. Для фишек 12 — максимальное число одинаковых наборов; в каждом наборе $36:12=3$ красные и $48:12=4$ синие фишки. Для маяков $15=3\cdot5$, $20=2^2\cdot5$, поэтому $НОК(15;20)=2^2\cdot3\cdot5=60$. За 60 секунд первый маяк подаст $60:15=4$ сигнала, второй — $60:20=3$ сигнала после начального совместного мигания.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что вычисление НОД и НОК уже получается у большинства. Особенно важно было объяснить, почему в задаче о наборах нужен НОД, а в задаче о повторяющихся событиях — НОК. Осталось обобщить правило и зафиксировать личный результат."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: обобщить способы решения, оценить степень освоения материала и дать посильное задание для закрепления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Закончи фразу»: "НОД нужен, когда... НОК нужен, когда... Чтобы проверить НОД, нужно... Чтобы проверить НОК, нужно..." Учитель просит привести по одному примеру. | Формулируют: «НОД нужен для разбиения на максимально большие равные группы»; «НОК нужен для определения момента совместного повторения»; проверяют делимость на оба числа и отсутствие меньшего общего кратного. |
2 мин | Учитель раздаёт мини-билет на выход: "Запишите ответ на два вопроса: 1) Что больше подходит для задачи о повторяющихся событиях — НОД или НОК? 2) Найдите $НОД(18;30)$." | Индивидуально отвечают: «НОК»; находят $НОД(18;30)=6$ и сдают билет при выходе. |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание и критерии: "Выберите обязательный уровень. Повышенный и дополнительный уровни выполняются по желанию. Проверьте, чтобы в каждой задаче были вычисления и полный ответ." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, оценивают свою работу по шкале: «уверенно», «нужна тренировка», «нужна помощь». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились различать НОД и НОК не только по определениям, но и по смыслу задачи. Используйте главный ориентир: разделить поровну на максимально большие группы — это НОД, дождаться совместного повторения — это НОК. На следующем уроке продолжим решать более сложные задачи и сравним несколько способов вычисления."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно выполнены все задания выбранного уровня, обоснован выбор НОД или НОК в практической задаче, вычисления записаны последовательно, ответ сформулирован полностью.
- «4» — правильно выполнены не менее 80% заданий, допущена одна вычислительная ошибка или неполное объяснение выбора понятия, но алгоритм в целом применён верно.
- «3» — правильно выполнены базовые задания, но допущены ошибки в разложении на простые множители, выборе НОД или НОК либо в оформлении практической задачи.
- Ниже отметки «3» — менее половины базовых заданий выполнено верно; требуется повторить определения и алгоритмы с помощью учителя.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о НОД и НОК? | Выявление осознания ключевых определений и различий между понятиями. |
Как понять по условию задачи, что нужен НОД, а не НОК? | Проверка смыслового выбора математического действия. |
На каком шаге вычисления вы ошиблись или могли ошибиться? | Выявление точек затруднения в разложении и выборе множителей. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и почему? | Формирование самооценки и навыка осознанного выбора сложности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы научились находить НОД и НОК несколькими способами и применять их к задачам из жизни. Запомните смысловую подсказку: НОД помогает делить на самые большие равные группы, а НОК показывает ближайший момент совместного повторения. Типичная ошибка — выбрать НОД или НОК только по знакомому слову, не разобрав условие. На следующем уроке мы продолжим практику и научимся быстрее выбирать рациональный способ решения."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 вычисления: два на нахождение НОД и два на нахождение НОК для пар натуральных чисел, включая один пример с разложением на простые множители. Решить одну задачу на разбиение предметов на одинаковые группы. | Закрепляет определения и алгоритмы; при проверке обратить внимание на выбор НОД, разложение чисел и полный ответ задачи. |
Средний (повышающий) | Выполнить 6 заданий: три на НОД и три на НОК, из них минимум два — с разложением на простые множители. Решить две практические задачи: одну на совместное повторение событий и одну на распределение объектов. | Формирует устойчивое различение НОД и НОК; проверить объяснение выбора действия и отсутствие лишних или пропущенных множителей. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить две собственные задачи: одну, для которой требуется НОД, и одну, для которой требуется НОК. Дополнительно сравнить для одной пары чисел результаты НОД и НОК и проверить равенство $НОД(a;b)\cdotНОК(a;b)=a\cdot b$. | Развивает создание математической модели, аргументацию и самопроверку; обратить внимание на корректность условия и доказательство полученного равенства. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что называют НОД двух чисел? Что называют НОК? Какое понятие используем для максимального числа равных групп? Какое — для ближайшего совместного повторения? Как проверить правильность найденного НОД?»
