Пропорция
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться распознавать пропорцию, называть её крайние и средние члены, проверять пропорцию с помощью основного свойства и находить неизвестный член пропорции в не менее чем 3 из 4 учебных заданий.
- Сформулировать определение пропорции как равенства двух отношений и научиться читать пропорции двумя способами.
- Установить и применять основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов.
- Развивать умение анализировать условие, выбирать алгоритм решения, выполнять вычисления и проверять результат.
- Воспитывать аккуратность записи, ответственность за общий результат и готовность аргументировать собственное решение.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к математическим закономерностям и видят применение пропорций в жизненных ситуациях.
- Осознают ценность точной и аккуратной математической записи.
- Развивают уверенность в самостоятельном поиске способа решения и готовность исправлять ошибки.
- Соблюдают правила сотрудничества при работе в паре и группе.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения и планируют последовательность действий.
- Извлекают информацию из текста учебника, математической записи и примеров.
- Сравнивают отношения, анализируют равенство произведений и делают вывод об основном свойстве пропорции.
- Осуществляют самопроверку по эталону, объясняют выбор действия и аргументируют ответ.
- Используют математическую речь при чтении и преобразовании пропорций.
Предметные
- Знать определение пропорции и обозначение $a:b=c:d$ или $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.
- Уметь читать пропорцию двумя способами и называть крайние и средние члены.
- Уметь проверять пропорцию по равенству произведений крайних и средних членов.
- Уметь находить неизвестный член пропорции с использованием основного свойства.
- Уметь составлять пропорцию из равных отношений и выполнять проверку результата.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в достижение цели урока и оценивают собственную готовность применять новый алгоритм.
- Осознают необходимость внимательного отношения к порядку членов пропорции.
- Проявляют интерес к поиску общего правила на основе конкретных примеров.
- Принимают ситуацию ошибки как возможность уточнить способ действия.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют учебную задачу: научиться распознавать и решать пропорции.
- Планируют действия: определить члены пропорции, составить равенство произведений, найти неизвестное, выполнить проверку.
- Контролируют порядок вычислений и соответствие ответа условию.
- Сравнивают решение с эталоном, находят и исправляют ошибку.
- Оценивают результат по предложенным критериям.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки пропорции в математической записи.
- Сравнивают отношения $5,2:1,3$ и $9,6:2,4$, выявляя их равенство.
- Устанавливают связь между произведением крайних и произведением средних членов.
- Преобразуют пропорцию, меняя местами крайние или средние члены.
- Моделируют алгоритм нахождения неизвестного члена в виде последовательности шагов.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопросы и ответы при эвристической беседе.
- Работают в парах: сравнивают вычисления и согласуют общий вывод.
- Объясняют решение с использованием терминов «пропорция», «крайние члены», «средние члены».
- Аргументируют, почему равенство является или не является пропорцией.
- Корректно воспринимают замечания партнёра и уточняют собственную запись.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить учебник с разделом «Пропорция» и заранее выделить определения, примеры $5,2:1,3=9,6:2,4$, основное свойство и пример нахождения неизвестного члена.
- Вывести на доску или экран записи $5,2:1,3=9,6:2,4$ и $4,6:2,3=52,8:17,6$ для проблемного сравнения.
- Подготовить памятку-алгоритм: распознать пропорцию; назвать члены; перемножить известные члены; разделить произведение на известный множитель; проверить ответ.
- Распечатать карточки трёх уровней: по одной на каждого ученика, всего по числу учеников класса.
- Подготовить 4 карточки для парной работы с пропорциями $0,5:2,5=3,4:17$, $1:42,4=26,1:63,6$, $4,5:2,25=y:3,5$ и $\frac{12,6}{x}=\frac{5,34}{1,15}$.
- Подготовить сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета для приёма «Светофор».
- Подготовить стикеры для рефлексии и лист с эталоном самостоятельной работы.
- Организовать на доске место для записи темы, определения, схемы крайних и средних членов и формулы $a\cdot d=b\cdot c$.
- Подготовить проектор или интерактивную доску для демонстрации страниц учебника и математических записей.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать ситуацию познавательного затруднения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и учебника. Сегодня нам потребуется не только считать, но и внимательно сравнивать математические записи. Сядьте так, чтобы вы могли быстро обсудить решение с соседом." | Проверяют готовность, открывают тетради и учебник, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на доске две записи: $5,2:1,3=9,6:2,4$ и $4,6:2,3=52,8:17,6$. "Посмотрите на эти равенства. Оба выражения имеют одинаковый вид. Как вы думаете, оба ли равенства верны? Сегодня мы выясним, как называется такое равенство и как его проверять." | Рассматривают записи, высказывают предположения: "Первое, возможно, верно, а второе нужно проверить". Формулируют вопрос урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели два внешне похожих равенства и пока не можем уверенно назвать их пропорциями. Чтобы ответить на вопрос, сначала вспомним, что такое отношение и как сравнивать отношения."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия отношения и равенства отношений, необходимые для открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель говорит: "Вспомним, что показывает отношение двух чисел. Как найти отношение 6 к 3? Как можно записать отношение 6 к 3? Теперь вычислите в парах отношения $5,2:1,3$ и $9,6:2,4$. Запишите промежуточные действия." | Вспоминают: "Отношение показывает, во сколько раз одно число больше или меньше другого". Вычисляют: $5,2:1,3=4$, $9,6:2,4=4$. |
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала 30 секунд подумайте самостоятельно, затем сравните ответы с соседом. Почему первое равенство можно считать равенством отношений? Какие признаки вы использовали?" | Сначала работают индивидуально, затем обсуждают в парах и сообщают: "Оба отношения равны 4, поэтому равенство верно". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что равенство двух отношений можно проверить вычислением. Сейчас выясним, как называется такое равенство, как называются его части и какое свойство позволит проверять его быстрее."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать тему, учебную проблему и план открытия нового правила.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обращается к классу: "Откройте учебник на теме урока и найдите, как называется равенство двух отношений. Прочитайте определение про себя, затем один ученик прочитает его вслух. Запишите тему: «Пропорция»." | Находят определение в учебнике, читают: "Равенство двух отношений называют пропорцией". Записывают тему. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Что нам нужно узнать сегодня? Как проверить пропорцию без полного деления? Как найти неизвестный член? Составим план: определить пропорцию, назвать её члены, открыть основное свойство, применить алгоритм." | Формулируют цель: "Научиться распознавать пропорции, проверять их и находить неизвестный член". Записывают план урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: от равенства отношений мы перейдём к удобному правилу проверки и решения. Начнём с устройства пропорции и её названий."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформулировать определение пропорции, понятия крайних и средних членов и основное свойство пропорции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на доске запись $5,2:1,3=9,6:2,4$ и говорит: "Это пропорция. Её можно прочитать двумя способами: отношение 5,2 к 1,3 равно отношению 9,6 к 2,4; число 5,2 так относится к 1,3, как 9,6 относится к 2,4. В дробной записи это $\frac{5,2}{1,3}=\frac{9,6}{2,4}$." | Читают пропорцию двумя способами, записывают равенство в дробной форме. |
3 мин | Учитель выделяет скобками на доске $a:b=c:d$: "Числа $a$ и $d$ называются крайними членами, а $b$ и $c$ — средними. Посмотрите на запись и назовите крайние и средние члены пропорции $\frac{5,2}{1,3}=\frac{9,6}{2,4}$." | Отвечают: "Крайние члены — 5,2 и 2,4; средние — 1,3 и 9,6". Отмечают их в тетради. |
4 мин | Учитель организует наблюдение: "Перемножим крайние члены: $5,2\cdot2,4=12,48$. Теперь перемножим средние: $1,3\cdot9,6=12,48$. Что заметили? Запишите вывод: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов. Формула: $a\cdot d=b\cdot c$." | Выполняют два умножения, сравнивают результаты и формулируют: "Произведения равны". Записывают основное свойство. |
Запись в тетрадях
Пропорция — это равенство двух отношений: $a:b=c:d$ или $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. В пропорции $a:b=c:d$ числа $a$ и $d$ — крайние члены, $b$ и $c$ — средние. Основное свойство: $a\cdot d=b\cdot c$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли главное свойство: в верной пропорции произведения крайних и средних членов одинаковы. Теперь проверим, как это свойство работает в конкретных примерах и поможет найти неизвестное число."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание пропорции и применение основного свойства при совместном решении.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки парам: "Проверьте, являются ли пропорциями записи $0,5:2,5=3,4:17$ и $4,6:2,3=52,8:17,6$. Используйте основное свойство, а не только деление. Запишите два произведения и сделайте вывод." | В парах вычисляют: $0,5\cdot17=8,5$, $2,5\cdot3,4=8,5$ — пропорция; $4,6\cdot17,6=80,96$, $2,3\cdot52,8=121,44$ — не пропорция. Формулируют вывод. |
4 мин | Учитель разбирает пример на доске: "Найдём неизвестный член в пропорции $0,6:x=4:17$. По основному свойству произведение крайних равно произведению средних: $0,6\cdot17=4x$. Значит, $x=\frac{0,6\cdot17}{4}=2,55$. Почему нужно выполнить проверку?" | Записывают решение по шагам, отвечают: "Чтобы убедиться, что найденное значение сохраняет равенство отношений". Проверяют: $0,6:2,55=4:17$. |
Эталон решения
$0,6:x=4:17$. По основному свойству пропорции $0,6\cdot17=4x$. Тогда $x=\frac{0,6\cdot17}{4}=\frac{10,2}{4}=2,55$. Ответ: $x=2,55$. Проверка: $0,6:2,55=4:17$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы проверили пропорцию по произведениям и нашли неизвестный член. В самостоятельной работе каждый покажет, умеет ли выполнять этот алгоритм без подсказки."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать самостоятельное применение определения и основного свойства пропорции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет дифференциацию: "Выберите карточку по готовности. На базовой карточке нужно определить члены пропорции и проверить равенство, на повышающей — найти неизвестный член, на дополнительной — составить пропорцию. Работайте молча 6 минут, затем получите эталон." | Выбирают уровень, записывают фамилию и начинают индивидуальное выполнение. |
6 мин | Учитель наблюдает и оказывает адресную помощь вопросами: "Что является крайними членами? Какое произведение нужно составить? Где будет неизвестный множитель?" Не сообщает готовый ответ. | Решают выбранные задания. Базовый вариант: назвать крайние и средние члены в $\frac{3,5}{7}=\frac{1,5}{3}$ и проверить равенство. Повышенный вариант: найти $y$ в $4,5:2,25=y:3,5$. Дополнительный вариант: решить $\frac{12,6}{x}=\frac{5,34}{1,15}$. |
3 мин | Учитель показывает эталон: "Сверьте не только ответ, но и порядок действий. Отметьте зелёным полностью верное решение, жёлтым — решение с исправимой ошибкой, красным — место, которое пока непонятно." | Сверяют решения, исправляют вычисления, отмечают цветом результат и формулируют вопрос при затруднении. |
Эталон решения
Для $4,5:2,25=y:3,5$: $4,5\cdot3,5=2,25y$, поэтому $y=\frac{4,5\cdot3,5}{2,25}=7$. Для $\frac{12,6}{x}=\frac{5,34}{1,15}$: $12,6\cdot1,15=5,34x$, поэтому $x=\frac{12,6\cdot1,15}{5,34}\approx2,71$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что важны не только вычисления, но и правильное определение крайних и средних членов. Осталось связать новый алгоритм с задачами из учебника и проверить, где пропорции встречаются в практических ситуациях."
Этап 7. Включение в систему знаний. Применение (3 мин)
Цель этапа: показать применение пропорциональных отношений при решении практической задачи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задачу из материала учебника: "Для того чтобы заквасить капусту, хозяйка взяла 0,7 кг моркови и 4,9 кг капусты. В каком отношении по массе были взяты морковь и капуста? Составьте отношение и объясните, почему его можно сократить." Учитель напоминает: "Сначала запишите отношение, затем разделите оба числа на общий делитель или выполните деление." | Записывают $0,7:4,9$. Делят оба числа на $0,7$ и получают $1:7$. Формулируют: "На 1 часть моркови приходится 7 частей капусты". Объясняют связь отношения и пропорции. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что отношение и пропорция помогают описывать реальные количества. Теперь обобщим, что узнали, и определим, какой шаг алгоритма требует ещё одной тренировки."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (2 мин)
Цель этапа: осмыслить результат урока, выявить затруднения и сообщить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если вы можете объяснить определение пропорции и применить основное свойство; жёлтую — если нужна тренировка; красную — если алгоритм пока непонятен. На стикере допишите одно предложение: «Сегодня я научился…»." | Поднимают карточки, дописывают на стикере фразу: "Сегодня я научился проверять пропорцию" или "Сегодня я научился находить неизвестный член". |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень, но сначала ответьте на контрольные вопросы: что называют пропорцией, какие члены являются крайними, чему равно произведение крайних членов, как найти неизвестный член?" | Отвечают устно, записывают выбранный уровень домашнего задания. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранной карточки, правильно названы крайние и средние члены, применено основное свойство, вычисления и проверка записаны аккуратно.
- «4» — выполнено не менее 75% заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, но алгоритм пропорции выбран правильно.
- «3» — выполнено не менее половины заданий, определение пропорции воспроизведено, но есть ошибки в выборе крайних и средних членов или в нахождении неизвестного множителя.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что называют пропорцией? | Проверка осознания определения нового понятия. |
Как отличить крайние члены от средних в записи $a:b=c:d$? | Выявление понимания структуры пропорции. |
Какое равенство используют для проверки пропорции? | Осознание основного свойства пропорции. |
На каком шаге нахождения неизвестного члена возникло затруднение? | Выявление индивидуальной точки затруднения в алгоритме. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили, что пропорция — это равенство двух отношений. Вы научились называть крайние и средние члены, проверять пропорцию по равенству произведений и находить неизвестный член. Самая частая ошибка — перепутать крайние и средние члены, поэтому всегда внимательно смотрите на порядок записи. Дома закрепите алгоритм на выбранном уровне. На следующем уроке мы продолжим решать задачи с пропорциями и рассмотрим их применение в более сложных практических ситуациях."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: определить, являются ли данные равенства пропорциями; в двух пропорциях назвать крайние и средние члены; проверить одну пропорцию по основному свойству. | Закрепляет определение, терминологию и умение проверять пропорцию; при проверке смотреть на правильность выделения членов и равенство произведений. |
Средний (повышающий) | Решить 4 пропорции с одним неизвестным членом, используя алгоритм из урока, и выполнить проверку подстановкой. | Формирует навык преобразования пропорции и нахождения неизвестного; при проверке смотреть на запись произведений и обязательную проверку ответа. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить 2 практические задачи на отношения величин, например о рецепте, расстоянии или количестве продуктов, записав математическую модель в виде пропорции. | Развивает функциональную грамотность и умение самостоятельно создавать математическую модель; при проверке смотреть на соответствие пропорции условию и обоснованность ответа. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называют пропорцией? Как называются первый и последний члены записи $a:b=c:d$? Как звучит основное свойство пропорции? Как найти неизвестный член, если он является средним членом?»
