Разложение числа на простые множители. Урок 2
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся научатся раскладывать составные числа на простые множители, применять признак делимости и записывать результат в виде произведения простых чисел, верно выполняя не менее 4 заданий из 5.
- Закрепить понятия простого и составного числа, делителя, кратного и разложения числа на множители.
- Научить выбирать рациональный порядок деления числа на простые делители и выполнять проверку результата умножением.
- Развивать умения работать в паре, объяснять ход решения, находить и исправлять ошибку в готовом разложении.
- Формировать ответственное отношение к точности вычислений и понимание связи математики с информатикой и практическими задачами.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску разных способов решения и осознают ценность математической точности.
- Понимают, что проверка результата помогает самостоятельно обнаруживать и исправлять ошибки.
- Проявляют готовность сотрудничать с одноклассником и уважительно обсуждать различия в решениях.
- Осознают практическую значимость алгоритмов как последовательности понятных действий.
Метапредметные
- Составляют план разложения числа и контролируют последовательность выполненных действий.
- Извлекают информацию из схемы, таблицы делимости и записи разложения.
- Сравнивают два способа решения, находят ошибочный шаг и аргументируют исправление.
- Работают в паре, распределяют роли, формулируют математическое объяснение и представляют общий результат.
- Используют связь с информатикой: понимают разложение как последовательное выполнение алгоритма с проверкой условия.
Предметные
- Знать определение простого множителя и понимать, что в разложении составного числа все множители должны быть простыми.
- Уметь раскладывать составные числа на простые множители способом последовательного деления.
- Уметь использовать признаки делимости на 2, 3, 5 и 10 при выборе первого делителя.
- Уметь проверять разложение умножением и исправлять ошибки в готовой записи.
- Уметь применять разложение числа на простые множители при решении практической задачи.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в работу пары и оценивают собственную готовность выполнять алгоритм без подсказки.
- Связывают аккуратность вычислений с достоверностью математического результата.
- Формируют положительное отношение к преодолению затруднения через последовательные действия.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную цель: научиться быстро и без ошибок раскладывать числа на простые множители.
- Планируют решение по шагам: выбрать простой делитель, разделить, повторить действие, проверить результат.
- Осуществляют самопроверку умножением и сверяют решение с эталоном.
- Находят причину ошибки и корректируют собственную запись.
Познавательные УУД
- Классифицируют числа на простые и составные по количеству делителей.
- Применяют признаки делимости для выбора простого делителя.
- Моделируют разложение в виде дерева множителей и преобразуют его в линейную запись.
- Анализируют готовые решения, выделяют верные и ошибочные действия.
- Устанавливают связь между исходным числом и произведением его простых множителей.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: один выполняет деление, второй контролирует простоту множителя и запись.
- Задают уточняющие вопросы: «Почему выбран именно этот делитель?» и «Как проверить результат?».
- Аргументированно объясняют ход решения математическими терминами.
- Сравнивают решения без критики личности партнёра и формулируют корректное предложение по исправлению ошибки.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с определениями простого и составного числа, признаками делимости на 2, 3, 5 и 10.
- Распечатать карточки для парной работы: 15 карточек с числами для разложения, по одной на пару.
- Распечатать карточки «Найди ошибку» — 8 вариантов с ошибочными разложениями, по одной на пару.
- Подготовить листы самооценки по 4 критериям: выбор делителя, последовательность действий, запись простых множителей, проверка.
- Подготовить цветные маркеры или магниты двух цветов для обозначения простых и составных чисел.
- Вывести на доску алгоритм: выбрать простой делитель; разделить число; повторять, пока частное не станет простым; записать произведение; выполнить проверку.
- Подготовить таймер на 2, 3 и 5 минут для смены форматов работы.
- Организовать на партах тетради, линейки и ручки; для межпредметной связи подготовить небольшую схему последовательного алгоритма из информатики.
- Подготовить три варианта самостоятельной работы: обязательный, базовый и повышенный.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и вызвать интерес к повторному применению алгоритма разложения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на доске число 60, записанное крупно: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы продолжим работу с числами, но начнём с небольшой математической загадки. Представьте, что число 60 — это набор деталей конструктора. Как можно разобрать его на самые простые детали, из которых оно собрано? Не называйте первый ответ сразу — сначала подумайте самостоятельно." | Рассматривают число 60, в течение нескольких секунд предлагают варианты: "60 можно разделить на 2", "60 равно 6 умножить на 10", "можно найти простые множители". |
2 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Запишите один возможный первый шаг. Теперь обсудите его с соседом и решите, какой вариант приведёт нас к простым множителям. Поднимите руки те пары, которые готовы объяснить выбор делителя." Учитель фиксирует на доске удачные варианты: $60=2\cdot30$, $60=3\cdot20$, $60=5\cdot12$. | Сначала записывают индивидуальный вариант, затем обсуждают его в паре и формулируют ответ: "Лучше начать с 2, потому что 60 делится на 2, а 2 — простое число". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одно и то же число можно начать раскладывать разными способами. Сегодня выясним, как довести любое такое разложение до конца и убедиться, что все множители простые."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о простых числах, признаках делимости и множителях, необходимые для открытия алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске числа 2, 9, 11, 15, 17, 21, 25: "Разделите числа на две группы: простые и составные. Объясните, по какому признаку вы действовали. Напоминаю: простое число имеет ровно два делителя — 1 и само себя." | Распределяют числа в тетради: простые — 2, 11, 17; составные — 9, 15, 21, 25. Объясняют: "У составных чисел есть делители, отличные от 1 и самого числа". |
2 мин | Учитель проводит устную разминку «Светофор»: "Если число делится на 2, поднимите зелёную карточку; если на 5 — жёлтую; если не подходит ни один признак — красную. Числа будут 18, 35, 47, 120." После каждого ответа просит назвать основание. | Определяют делимость: 18 — на 2, 35 — на 5, 47 — ни на 2, ни на 5, 120 — и на 2, и на 5. Формулируют признаки: чётность, последняя цифра 0 или 5. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Что называют множителями числа? Как проверить, что найденные множители дают исходное число? Можно ли остановиться, если один из множителей равен 9?" Учитель подчёркивает ответ на последний вопрос. | Отвечают: "Множители — числа, произведением которых получают данное число"; "нужно перемножить множители"; "останавливаться на 9 нельзя, потому что 9 — составное число и его нужно разложить: $9=3\cdot3$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, как распознавать простые числа и выбирать делитель по признакам делимости. Теперь найдём точный признак того, что разложение завершено, и составим общий алгоритм."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при неполном разложении и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает два решения: $84=2\cdot42$ и $84=2\cdot2\cdot3\cdot7$. "Обе записи начинаются одинаково. Какая запись уже является разложением на простые множители? Почему первая запись ещё не закончена?" Затем показывает пример $72=8\cdot9$ и спрашивает: "Что потребуется сделать с 8 и 9?" | Сравнивают записи и отвечают: "Вторая запись закончена, потому что 2, 3 и 7 — простые числа"; "8 и 9 составные, их нужно разложить дальше". |
2 мин | Учитель организует «Снежный ком»: "Сначала каждый запишите два действия, которые обязательно нужны для полного разложения. Затем объединитесь в пары и составьте общий алгоритм из четырёх-пяти шагов. Какую цель поставим на урок?" | Индивидуально записывают шаги, объединяются в пары, уточняют порядок действий и формулируют цель: "Научиться раскладывать составные числа на простые множители и проверять результат". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение возникло потому, что мы иногда принимаем составной множитель за последний. Наша задача — научиться видеть момент завершения и действовать по алгоритму. Переходим к открытию этого алгоритма."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформировать и осознанно применить алгоритм разложения числа на простые множители.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель демонстрирует на доске схему последовательного деления числа 180: $180:2=90$, $90:2=45$, $45:3=15$, $15:3=5$, $5:5=1$. "Посмотрите на цепочку. На каждом шаге мы выбирали простой делитель текущего числа. Какой признак помог начать? Почему после получения 45 мы выбрали 3?" | Читают схему, называют делители 2, 2, 3, 3, 5. Объясняют: "180 чётное, поэтому начали с 2"; "сумма цифр числа 45 равна 9, поэтому 45 делится на 3". |
3 мин | Учитель преобразует цепочку в произведение: "Все найденные простые делители записываем через знак умножения: $180=2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5$. Повторяющиеся множители можно записать короче: $180=2^2\cdot3^2\cdot5$. Сейчас вместе сформулируем правило остановки: когда заканчиваем деление?" | Записывают разложение в тетради, объясняют: "Останавливаемся, когда получаем простое частное" или "когда дальнейшее деление уже не нужно; в цепочке последнее простое число — 5". |
4 мин | Учитель закрепляет алгоритм на примере 126: "Разложим 126. Сначала назовите возможный первый простой делитель и объясните выбор. Затем один ученик выполняет деление, а партнёр контролирует каждый шаг по алгоритму. Я буду фиксировать цепочку на доске." Учитель задаёт вопросы: "126 делится на 2? Что получим? Как проверить делимость 63 на 3?" | В парах выполняют: $126:2=63$, $63:3=21$, $21:3=7$. Записывают $126=2\cdot3\cdot3\cdot7=2\cdot3^2\cdot7$. Отвечают: "126 чётное, поэтому делится на 2"; "6+3=9, значит 63 делится на 3". |
Запись в тетрадях
- Разложение числа на простые множители — представление составного числа в виде произведения простых чисел.
- Алгоритм: выбрать простой делитель; разделить число; повторять деление; остановиться, когда частное станет простым; записать произведение; проверить результат.
- Пример: $126=2\cdot3\cdot3\cdot7=2\cdot3^2\cdot7$.
Эталон решения
$126:2=63$, потому что 126 — чётное число. $63:3=21$, потому что сумма цифр 63 равна 9. $21:3=7$, потому что сумма цифр 21 равна 3. Число 7 простое, поэтому деление прекращаем. Получаем $126=2\cdot3\cdot3\cdot7=2\cdot3^2\cdot7$. Проверка: $2\cdot3\cdot3\cdot7=126$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы составили алгоритм и увидели, как признаки делимости помогают быстро выбирать делитель. Теперь применим алгоритм в парах, а затем проверим не только ответ, но и каждый шаг решения."
Этап 5. Первичное закрепление. Парная работа (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм разложения и развить умение объяснять выбор каждого действия партнёру.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с числом и объясняет роли: "В паре один ученик — исполнитель, второй — контролёр. Исполнитель выполняет деление и проговаривает причину выбора делителя. Контролёр сверяет шаг с алгоритмом и задаёт вопрос: «Почему этот делитель простой и почему он подходит?» Через три минуты поменяйтесь ролями." | Получают карточки, распределяют роли, читают число и готовят место для цепочки делений. |
3 мин | Учитель запускает таймер и наблюдает за парами. На доске напоминает числа: 96, 150, 210, 225, 294. При необходимости задаёт наводящие вопросы: "Какой признак поможет начать? Что делать с составным частным?" | Раскладывают числа по шагам. Например: $96=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3$; $150=2\cdot3\cdot5\cdot5$. Проговаривают причины выбора делителей и записывают проверку. |
3 мин | Учитель даёт сигнал сменить роли и предлагает двум парам представить решения. "Не просто назовите ответ, а объясните один наиболее важный шаг. Остальные пары покажите зелёную карточку, если согласны, и жёлтую, если нашли вопрос." | Меняются ролями, продолжают разложение, затем представители пар объясняют решения. Одноклассники сверяют цепочки, задают вопросы и исправляют неточности. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парной работе вы убедились, что один алгоритм подходит к разным числам, но выбор первого делителя может быть разным. Сейчас проверим умение анализировать готовое решение и находить в нём ошибку."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом и умение самостоятельно обнаруживать ошибку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень, на котором сможете показать самостоятельное решение. Обязательный минимум выполняют все. Перед записью результата проверьте: каждый множитель простой, произведение равно исходному числу." Задания: уровень 1 — разложить 48 и 75; уровень 2 — разложить 168 и 225; уровень 3 — найти все ошибки в записях $90=2\cdot3\cdot15$, $120=2^3\cdot3\cdot5$, $196=2\cdot98$. | Индивидуально выполняют выбранные задания. Записывают цепочку делений или дерево множителей, затем линейное разложение. Проверяют произведение и подчёркивают простые множители. |
3 мин | Учитель вывешивает эталон: $48=2^4\cdot3$, $75=3\cdot5^2$, $168=2^3\cdot3\cdot7$, $225=3^2\cdot5^2$. "Сверьте не только конечную запись, но и путь решения. Если есть ошибка, зачеркните неверный шаг одной линией и рядом запишите исправление." | Сверяют решения с эталоном, выполняют коррекцию. В дополнительных заданиях исправляют: $90=2\cdot3^2\cdot5$; $120=2^3\cdot3\cdot5$ — верно; $196=2^2\cdot7^2$. |
2 мин | Учитель проводит самопроверку по листу критериев: "Поставьте плюс напротив каждого выполненного действия: выбрал простой делитель; выполнил деление без ошибки; дошёл до простого частного; записал произведение; проверил результат. Поднимите зелёную карточку при полной готовности, жёлтую — если нужна помощь." | Заполняют лист самооценки, отмечают затруднение конкретным пунктом, формулируют вопрос соседу или учителю: "Мне нужно ещё потренироваться выбирать делитель". |
Эталон решения
Для числа 168: $168:2=84$, $84:2=42$, $42:2=21$, $21:3=7$. Число 7 простое, поэтому получаем $168=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot7=2^3\cdot3\cdot7$. Проверка: $8\cdot3\cdot7=168$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что главное — не скорость первой операции, а контроль каждого шага. Ошибка в одном составном множителе делает всё разложение незавершённым. Осталось связать алгоритм с другими областями знаний и зафиксировать, чему мы научились."
Этап 7. Межпредметная связь и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: осмыслить алгоритмический характер действия, связать математический способ с информатикой и оценить достижение цели урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает схему алгоритма в виде блоков: «Число → выбрать простой делитель → разделить → частное простое? → да: записать; нет: повторить». "В информатике алгоритм состоит из последовательных команд и проверки условия. Где в нашем математическом алгоритме находится проверка условия? Что произойдёт, если её пропустить?" | Указывают на блок «частное простое?». Отвечают: "Если пропустить проверку, можно остановиться на 9, 15 или 21 и получить неполное разложение". |
3 мин | Учитель проводит приём «Одноминутная бумага»: "На маленьком листе ответьте на три вопроса: какое действие теперь умеете выполнять; какая ошибка наиболее опасна; составьте разложение числа 30 и объясните первый шаг. В конце поставьте себе оценку от 1 до 3: 1 — нужна помощь, 2 — могу с подсказкой, 3 — могу самостоятельно." | Пишут ответы: "30=2\cdot3\cdot5"; "нельзя остановиться на составном частном"; оценивают свою готовность и сдают лист учителю. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы не просто получили несколько произведений, а освоили алгоритм, который можно выполнять как последовательность команд с проверкой условия. Теперь запишем домашнее задание и уточним, что именно нужно проверить перед уходом."
Этап 8. Домашнее задание и итоговая рефлексия (0 мин)
Цель этапа: зафиксировать домашнюю работу и дать учащимся ориентиры для дальнейшего закрепления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
— | Учитель сообщает домашнее задание и обращается к классу: "Запишите выбранный уровень. Перед закрытием тетради проверьте, что вы понимаете разницу между простым множителем и составным частным. На следующем уроке мы будем использовать разложение чисел при нахождении наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного." | Записывают домашнее задание выбранного уровня, задают уточняющие вопросы, устно отвечают на контрольные вопросы: "Когда останавливаем деление? Как проверить разложение?" |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные задания и выбранное дополнительное задание, каждый множитель является простым, цепочка делений записана последовательно, выполнена проверка умножением.
- «4» — верно выполнены обязательные задания, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, которая исправлена при самопроверке; алгоритм в целом соблюдён.
- «3» — выполнено не менее половины обязательных разложений, но есть ошибки в выборе делителя или остановке на составном частном; ученик может исправить решение с опорой на алгоритм.
- Ниже «3» — менее половины заданий выполнено верно или ученик не может объяснить, почему множители должны быть простыми; требуется индивидуальная отработка алгоритма.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы сегодня научились делать с составным числом? | Выявление осознания алгоритма полного разложения. |
Как вы определяете, что разложение пора закончить? | Проверка понимания роли простого частного. |
Какая ошибка в записи $90=2\cdot3\cdot15$ является главной и как её исправить? | Диагностика умения анализировать и корректировать готовое решение. |
Что помогло вам работать в паре или самостоятельно: признаки делимости, дерево множителей, проверка умножением? | Выявление эффективных способов действия и зон дальнейшей поддержки. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились представлять составное число как произведение простых множителей и проверять разложение обратным умножением. Помните о типичной ошибке: нельзя останавливаться на составном частном, даже если первая часть вычислений выполнена верно. Вы работали как исследователи: предлагали способ, проверяли его и исправляли неточности. На следующем уроке мы применим разложение на простые множители для нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Разложить на простые множители 5 составных чисел в диапазоне от 40 до 150, используя последовательное деление; для каждого выполнить проверку умножением. | Закрепить основной алгоритм и контроль простоты всех множителей; при проверке смотреть на последовательность делений и совпадение произведения с исходным числом. |
Средний (повышающий) | Разложить 4 числа в диапазоне от 150 до 400, включая числа, делящиеся на 2, 3 и 5, и записать результат также с использованием степеней одинаковых множителей. | Закрепить применение признаков делимости и сокращённую запись произведения; проверить корректность показателей степеней. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить два разных начала разложения одного числа, например 360, довести оба способа до простых множителей и объяснить, почему конечный набор простых множителей совпадает. | Развивать анализ и аргументацию; при проверке смотреть на полноту обоих способов и доказательство равенства результатов. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что называется разложением числа на простые множители? По какому признаку понимаем, что нужно продолжить деление? Как проверить готовую запись? Разложите устно число 42 и назовите все его простые множители».
