Отношения чисел и величин
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся научатся составлять и читать отношения двух чисел и однородных величин, находить значение отношения и объяснять, что оно показывает, успешно выполняя не менее 3 из 4 предложенных заданий.
- Сформировать представление об отношении двух чисел как о частном этих чисел и научить записывать отношение в виде $a:b$ и дроби $\frac{a}{b}$.
- Научить определять, какую часть одно число составляет от другого и во сколько раз одно число больше или меньше другого.
- Развивать умение анализировать условие текстовой задачи, выбирать порядок деления и переводить однородные величины в одинаковые единицы измерения.
- Воспитывать аккуратность вычислений, готовность аргументировать решение и сотрудничать при обсуждении математической задачи.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к математическому описанию жизненных ситуаций с помощью отношений.
- Осознают значение точной записи величин и единиц измерения при решении практических задач.
- Развивают ответственное отношение к собственной работе и доброжелательное отношение к ответам одноклассников.
- Формируют установку на проверку результата и исправление обнаруженной ошибки.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения.
- Извлекают информацию из текста задачи и преобразуют её в математическую запись.
- Сравнивают два способа представления отношения: частное и запись через двоеточие.
- Работают в паре, задают уточняющие вопросы и аргументируют выбор делимого и делителя.
- Осуществляют самопроверку по эталону и оценивают степень освоения алгоритма.
Предметные
- Знать определение отношения двух чисел как частного от деления одного числа на другое.
- Уметь записывать отношение чисел $a$ и $b$ в виде $a:b$ и $\frac{a}{b}$, если $b\ne0$.
- Уметь находить, какую часть одного числа составляет другое число, и во сколько раз одно число больше другого.
- Уметь находить отношение однородных величин, предварительно выражая их в одинаковых единицах.
- Владеть алгоритмом деления числа $m$ в отношении $a:b$.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в парную работу и осознают смысл изучения отношения для решения практических задач.
- Проявляют самостоятельность при выборе способа вычисления и проверке ответа.
- Оценивают собственное затруднение без боязни сообщить о необходимости помощи.
- Соблюдают правила уважительного математического диалога.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют цель урока, сформулированную на основе проблемной ситуации.
- Планируют последовательность действий при нахождении отношения величин.
- Контролируют единицы измерения, порядок чисел и правильность деления.
- Сверяют решение с эталоном, находят и исправляют ошибку.
- Оценивают результат работы по предложенным критериям.
Познавательные УУД
- Выделяют в условии задачи величины, которые требуется сравнить.
- Устанавливают связь между отношением, частным и дробью.
- Классифицируют отношения как сравнение «во сколько раз» и как указание части.
- Моделируют условие задачи краткой записью и математическим выражением.
- Преобразуют единицы измерения однородных величин перед вычислением.
Коммуникативные УУД
- Формулируют полный ответ с использованием слов «отношение», «часть» и «раз».
- Объясняют партнёру, почему в отношении выбран именно такой порядок чисел.
- Согласовывают общий способ решения и распределяют действия в паре.
- Задают вопросы по непонятному шагу решения и корректно принимают замечания.
- Представляют результат работы классу и отвечают на уточняющие вопросы.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить доску с записью темы «Отношения» и пустой схемой: «отношение → частное → во сколько раз / какая часть».
- Распечатать карточки для пар с заданиями на составление и чтение отношений: по одной карточке на пару, всего по числу парт.
- Подготовить индивидуальные листы самостоятельной работы трёх уровней: минимальный, базовый и повышенный — по одному на каждого ученика.
- Вывести на экран или записать на доске задачу: «Ученик решил 4 задачи из пяти. Какую часть задач он решил?»
- Подготовить карточку-эталон с алгоритмом: определить сравниваемые величины; привести их к одинаковым единицам; записать отношение; вычислить частное; сформулировать ответ.
- Подготовить для пар пример из источника: площадь катка $480\ м^2$, расчищенная площадь $320\ м^2$.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» и небольшие листы для «Билета на выход».
- Организовать работу с текстом учебника по теме «Отношения»: учащиеся используют определения и разобранные образцы без указания конкретных страниц.
- Подготовить калькуляторы только как средство проверки десятичного результата, а не как замену записи решения.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практический смысл сравнения двух величин.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, тетрадь, ручку и учебник. Сегодня нам понадобится умение внимательно читать условие и объяснять, что означает полученное число. Запишите дату и тему урока: «Отношения»." | Проверяют готовность, записывают дату и тему урока. |
2 мин | Учитель показывает на доске запись «4 задачи из 5» и спрашивает: "Как можно сравнить число решённых задач с общим числом задач? Можно ли сказать, какую часть работы выполнил ученик? А во сколько раз общее число задач больше числа решённых? Сегодня мы найдём единый математический способ для таких вопросов." | Предполагают: «Нужно разделить 4 на 5»; формулируют: «Можно узнать часть и сравнить количества». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одно и то же сравнение может отвечать на разные вопросы. Теперь вспомним, какие действия и записи помогут нам выполнить такое сравнение точно."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать навыки деления, работы с дробями и единицами измерения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает устный счёт: "Вычислите без подробной записи: $4:5$, $320:480$, $480:320$. Что общего у этих выражений? Как связаны деление и дробь?" | Вычисляют: $4:5=\frac45$; $320:480=\frac23$; $480:320=\frac32$. Отвечают: «Деление можно записать дробью». |
2 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сравните 4 и 5 двумя способами. Сначала найдите, на сколько одно число больше другого, затем — во сколько раз. Обсудите, чем отличаются ответы." | Индивидуально вычисляют $5-4=1$ и $5:4=1,25$, затем обсуждают различие и формулируют: «Разность показывает, на сколько, частное — во сколько раз». |
1 мин | Учитель спрашивает: "Можно ли найти отношение 4 кг к 300 г сразу делением 4 на 300? Что сначала нужно сделать?" | Отвечают: «Нет, нужно привести величины к одной единице; 4 кг = 4000 г». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы повторили деление, дроби и перевод единиц. Но пока не назвали специальное понятие для такого сравнения. Найдём его через учебную проблему."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задачу: "На спортивной площадке длина одной дорожки 40 м, а другой — 10 м. Во сколько раз первая дорожка длиннее второй? Какую часть длины первой дорожки составляет длина второй? Запишите выражения и объясните порядок чисел." | Записывают $40:10=4$ и $10:40=\frac14$, формулируют: «Порядок чисел зависит от вопроса». |
2 мин | Учитель фиксирует разные ответы и спрашивает: "Как одним математическим понятием назвать запись $40:10$ или $\frac{40}{10}$? Что мы должны научиться делать к концу урока?" | Предполагают название «отношение», формулируют цель: «Научиться составлять, читать и находить значения отношений, объяснять их смысл». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: мы узнаем определение отношения и научимся применять его к числам и однородным величинам. Откройте учебник на теме «Отношения» и найдите в тексте формулировку нового понятия."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформировать понятие отношения и вывести алгоритм нахождения отношения величин.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает прочитать определение в учебнике и поясняет: "Частное $\frac{a}{b}$ двух чисел $a$ и $b$ называют отношением этих чисел. Отношение $\frac{a}{b}$ показывает, во сколько раз число $a$ больше числа $b$ или какую часть числа $a$ составляет от числа $b$. Запись $a:b$ имеет тот же смысл, что и дробь $\frac{a}{b}$." | Читают определение, находят в тексте записи $a:b$ и $\frac{a}{b}$, приводят пример $4:5=\frac45$. |
3 мин | Учитель разбирает задачу из источника: "Площадь катка $480\ м^2$. От снега расчищено $320\ м^2$. Какую часть катка расчищено? Во сколько раз весь каток больше расчищенной части? Сначала определим, какие величины сравниваем." | Записывают решение: $320:480=\frac{320}{480}=\frac23$; затем $480:320=\frac{480}{320}=\frac32=1,5$. Формулируют ответы. |
2 мин | Учитель обращает внимание на единицы: "Если масса кошки 4,4 кг, а масса котёнка 99 г, нельзя делить числа до перевода единиц. Запишем 4,4 кг = 4400 г, затем найдём отношение массы котёнка к массе кошки." | Записывают $\frac{99}{4400}=\frac{9}{400}=0,0225$ и объясняют: «Масса котёнка составляет 0,0225 массы кошки, или 2,25%». |
2 мин | Учитель выводит алгоритм: "Чтобы разделить число $m$ в отношении $a:b$, сначала разделите $m$ на сумму $a+b$, затем результат умножьте на каждый член отношения. Проговорите алгоритм вместе со мной." | Читают алгоритм хором, записывают его в тетрадь и составляют пример для отношения $3:2$. |
Запись в тетрадях
- Отношение двух чисел $a$ и $b$ — это их частное: $a:b=\frac{a}{b}$, где $b\ne0$.
- Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго.
- Для однородных величин сначала приводят единицы измерения к одинаковым.
- Алгоритм деления числа $m$ в отношении $a:b$: $m:(a+b)$; полученное число умножают на $a$ и на $b$.
Эталон решения
В задаче о катке: 1) для вопроса «какую часть расчищено» берём расчищенную площадь первой: $320:480=\frac{320}{480}=\frac23$; 2) для вопроса «во сколько раз весь каток больше» берём площадь всего катка первой: $480:320=\frac{480}{320}=\frac32=1,5$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы установили, что отношение — это частное, а порядок чисел определяется вопросом задачи. Теперь проверим новое правило на коротких заданиях, проговаривая каждый шаг."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить чтение отношений и выбор порядка чисел в парной работе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки и говорит: "Работаем в парах. На карточке три задания: составьте отношение 113 к 5; запишите отношение 0,5 к 2,5; объясните, что показывает отношение 320 к 480. Один ученик выполняет запись, второй проверяет порядок чисел, затем поменяйтесь ролями." | В парах записывают $113:5=\frac{113}{5}$, $0,5:2,5=\frac{0,5}{2,5}=\frac15$, объясняют: «Отношение 320 к 480 показывает, какую часть площади катка расчищено». |
2 мин | Учитель проводит взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками с соседней парой. Проверьте наличие двоеточия или дробной черты, правильность порядка чисел и пояснение смысла. Поставьте две звезды за верные элементы и одно пожелание, если обнаружили неточность." | Проверяют решения по трём критериям, записывают две сильные стороны и одно исправление. |
2 мин | Учитель предлагает устный вопрос: "Какое отношение показывает, какую часть число 24 составляет от числа 42? А какое — во сколько раз 42 больше 24?" | Отвечают: $24:42=\frac47$; $42:24=\frac74=1\frac34$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы научились составлять отношение по формулировке вопроса. Теперь каждый самостоятельно покажет, умеет ли применять алгоритм без подсказки пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание определения отношения и алгоритма решения практической задачи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет уровни: "Выполните обязательное задание, затем выберите одно дополнительное. В обязательном задании запишите отношение 6 к 15 и объясните его смысл; найдите отношение 300 г к 1,2 кг. Единицы сначала приведите к одинаковым." | Записывают условия и планируют порядок действий. |
5 мин | Учитель напоминает критерий: "Не ограничивайтесь одним числом. В каждом ответе должны быть выражение, вычисление и пояснение. Для отношения 300 г к 1,2 кг сначала запишите 1,2 кг в граммах." | Индивидуально решают: $6:15=\frac25$; $1,2\ кг=1200\ г$, $300:1200=\frac14$; формулируют ответы. |
2 мин | Учитель выводит эталон: "Сверьте сначала единицы, затем порядок чисел, затем сокращение дроби. Ошибку не зачёркивайте полностью: исправьте её рядом и подпишите причину." | Сверяют работу, исправляют ошибки, отмечают результат символом «+» или «?». |
2 мин | Учитель предлагает повышенное задание: "Разделите 35 в отношении $3:4$. Запишите, сколько приходится на одну часть, затем найдите оба результата." | Вычисляют: $3+4=7$, $35:7=5$, $5\cdot3=15$, $5\cdot4=20$; отвечают: «Получились числа 15 и 20». |
Эталон решения
$6:15=\frac{6}{15}=\frac25$ — число 6 составляет $\frac25$ числа 15. Для второй задачи: $1,2\ кг=1200\ г$; $300:1200=\frac{300}{1200}=\frac14$. Для деления 35 в отношении $3:4$: $35:(3+4)=35:7=5$; $5\cdot3=15$, $5\cdot4=20$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что основная трудность возникает не в самом делении, а в выборе порядка чисел и единиц. Последний этап поможет каждому определить, какой шаг уже получается уверенно, а какой нужно повторить."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: обобщить новое знание, провести самооценку и объяснить содержание домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете объяснить определение отношения; жёлтую — если определение понятно, но путается порядок чисел; красную — если нужна помощь с переводом единиц или вычислением." | Поднимают карточку соответствующего цвета, называют конкретный шаг, который освоен или требует повторения. |
2 мин | Учитель раздаёт «Билет на выход»: "Запишите: 1) что называют отношением; 2) что показывает отношение $2:5$; 3) какое отношение нужно составить, чтобы узнать, во сколько раз 18 больше 6." | Пишут: «Отношение — частное двух чисел»; «$2:5$ показывает, какую часть 2 составляет от 5»; «$18:6=3$». |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень с учётом своей самооценки. Во всех решениях записывайте отношение, вычисление и ответ словами. Не забывайте привести однородные величины к одинаковым единицам." | Записывают выбранный уровень, задают уточняющие вопросы, отмечают в дневнике необходимость повторить правило. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены обязательные задания и задание на деление числа в отношении, правильно выбран порядок чисел, выполнен перевод единиц и даны пояснения к ответам.
- «4» — верно выполнены обязательные задания, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не повлиявшая на понимание алгоритма.
- «3» — правильно записано хотя бы одно отношение и начато решение задачи с однородными величинами, но допущены ошибки в единицах, порядке чисел или пояснении.
- Ниже отметки «3» — работа требует доработки: отсутствует понимание связи между отношением и делением или не выполнена проверка единиц.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса | |
|---|---|---|
Что называют отношением двух чисел? | Проверка осознания основного определения урока. | |
Что показывает отношение $a:b$? | Выявление понимания двух смыслов отношения: «во сколько раз» и «какую часть». | |
Какой порядок действий нужен при нахождении отношения величин, выраженных в разных единицах? | Выявление понимания необходимости предварительного приведения единиц. | |
Какое задание оказалось самым сложным и почему? | Определение индивидуальных точек затруднения и планирование коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы выяснили, что отношение двух чисел — это их частное, а запись $a:b$ равносильна дроби $\frac{a}{b}$. Мы научились определять, какую часть одно число составляет от другого и во сколько раз одно число больше другого. Помните о типичной ошибке: перед отношением величин нужно привести их к одинаковым единицам. На следующем уроке продолжим применять отношения в задачах и рассмотрим пропорции."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на составление и вычисление отношений чисел, включая натуральные, десятичные и дробные числа; в двух заданиях письменно объяснить смысл отношения. | Закрепляет определение отношения и умение читать результат; при проверке смотреть на порядок чисел и сокращение дроби. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на отношение однородных величин, в том числе одну задачу с переводом килограммов в граммы и одну на определение части величины; оформить краткую запись и полный ответ. | Формирует навык выбора единиц и применения отношения в практическом контексте; проверять обязательность перевода единиц. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу, в которой требуется разделить число в отношении $a:b$, затем проверить, что сумма полученных частей равна исходному числу. | Развивает умение создавать математическую модель и проверять результат; оценивать корректность условия, решения и проверки. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что такое отношение? Чем отличаются выражения $a:b$ и $b:a$? Как узнать, какую часть одно число составляет от другого? Что нужно сделать с единицами однородных величин перед делением?»
