Повторение процентов: вычисление процентов, нахождение числа и решение практических задач
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока учащиеся повторят три основных типа задач на проценты и решат не менее 4 из 5 практических заданий, объясняя выбор действия и проверяя разумность ответа.
- Закрепить умение переводить проценты в дробь и находить процент от числа, число по его проценту и процентное отношение двух величин.
- Развивать умение анализировать условие задачи, выбирать алгоритм решения, работать с таблицами и представлять результат в жизненном контексте.
- Формировать навыки сотрудничества в паре, взаимопроверки по критериям и корректного математического объяснения своего решения.
- Воспитывать внимательность при работе с денежными величинами, ответственное отношение к расчётам и уверенность в применении математики в повседневной жизни.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют положительное отношение к математике как к инструменту решения повседневных задач.
- Осознают значение точных расчётов при планировании покупок, скидок, расходов и накоплений.
- Развивают самостоятельность, учебную мотивацию и готовность исправлять ошибки после проверки.
- Соблюдают правила конструктивного взаимодействия при работе в паре и уважительно относятся к способу решения одноклассника.
Метапредметные
- Выделяют величины, известные и неизвестные в задаче, и устанавливают связь между ними.
- Выбирают подходящий способ решения, составляют краткую запись или таблицу и контролируют промежуточные действия.
- Смыслово читают условие практической задачи, извлекают данные из текста и таблицы.
- Формулируют математическое объяснение, сравнивают решения и аргументированно оценивают ответ.
- Используют навыки финансовой грамотности при расчёте скидки, стоимости покупки и изменения цены.
Предметные
- Знать смысл понятия «процент» и соотношение $1\% = \frac{1}{100}$.
- Уметь находить процент от числа по формуле $a \cdot \frac{p}{100}$.
- Уметь находить число по его проценту по формуле $a : \frac{p}{100}$.
- Уметь находить, сколько процентов одно число составляет от другого, по формуле $\frac{a}{b} \cdot 100\%$.
- Уметь решать текстовые задачи на проценты, записывать ответ с единицами измерения и выполнять проверку.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную значимость умения считать проценты в ситуациях покупки, скидки и планирования бюджета.
- Оценивают собственную готовность решать задачи на проценты и фиксируют индивидуальное затруднение.
- Проявляют ответственность за результат общей работы в паре.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную цель урока и планируют последовательность действий при решении задачи.
- Проверяют вычисления обратным действием или оценкой порядка величины.
- Сопоставляют решение с эталоном, находят ошибку и корректируют запись.
- Оценивают достижение цели по листу самооценки и результату самостоятельной работы.
Познавательные УУД
- Классифицируют задачи по трём типам: найти процент от числа, число по проценту, процентное отношение.
- Преобразуют процент в десятичную дробь и используют таблицу «величина — процент — значение».
- Анализируют условие, выделяют существенные данные и строят математическую модель.
- Сравнивают два способа решения и обосновывают более удобный.
- Извлекают информацию из текста, таблицы и ценника.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: решающий и проверяющий, затем меняются ролями.
- Задают уточняющие вопросы о выборе действия и формулируют полный ответ.
- Аргументированно объясняют решение, используя математические термины.
- Приходят к общему решению и корректно сообщают о найденной ошибке.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с тремя схемами: «найти процент от числа», «найти число по проценту», «найти процентное отношение».
- Распечатать карточки для парной работы с практическими задачами — по одной карточке на пару, всего по числу пар класса.
- Подготовить индивидуальные карточки трёх уровней для самостоятельной работы — по одной на каждого ученика.
- Распечатать лист самооценки с пунктами «Я умею находить процент от числа», «Я умею находить число по его проценту», «Я умею находить процентное отношение».
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» и листы с эталонами решений для взаимопроверки.
- Вывести на экран или записать на доске таблицу: «Процент — дробь — действие» и памятку проверки ответа.
- Подготовить набор условных ценников: куртка 2400 рублей, рюкзак 1500 рублей, книга 800 рублей; указать скидки 10%, 15% и 25%.
- Обеспечить наличие учебника: задания выбираются учителем из раздела о процентах без привязки к номерам и страницам.
- Подготовить маркеры, таймер на 3–4 минуты и калькулятор только для демонстрационной проверки, а не для основной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу и показать практическую значимость повторения процентов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и организует проверку готовности: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и учебника. Сегодня нам понадобятся внимательность, быстрый расчёт и умение объяснять решение. Работать будем индивидуально и в парах, поэтому сразу приготовьтесь к сотрудничеству." | Проверяют принадлежности, открывают тетради, записывают дату и готовятся к уроку. |
2 мин | Учитель показывает на экране ценник: «Рюкзак — 1500 рублей, скидка 20%». Учитель задаёт проблемный вопрос: "Сколько рублей составит скидка? Сколько нужно заплатить? Не называйте только число — объясните, какую величину мы ищем первой." Учитель фиксирует разные предположения и сообщает: "Сегодня мы проверим, насколько уверенно умеем решать все основные задачи на проценты." | Рассматривают ценник, предлагают способы: «Нужно найти 20% от 1500, затем вычесть скидку». Формулируют ожидаемый результат урока: «Повторить способы решения задач на проценты». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проценты встречаются в ценниках, банковских расчётах, статистике и рецептах. Сегодня мы не будем долго повторять правила, а проверим их в разных практических ситуациях. Сначала восстановим опорные знания."
Этап 2. Актуализация знаний. Приём «Светофор» (5 мин)
Цель этапа: восстановить смысл процента и основные способы решения задач.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает три утверждения: «1% — это одна сотая часть числа»; «Чтобы найти 25% от числа, нужно умножить число на 25»; «40% = 0,4». Учитель говорит: "Поднимите зелёную карточку, если утверждение верно, жёлтую — если сомневаетесь, красную — если считаете его неверным. После каждого выбора объясните ответ соседу." | Поднимают карточки, обсуждают ответы в парах. Исправляют второе утверждение: «Нужно умножить число на 0,25 или разделить на 4». |
3 мин | Учитель организует устный блиц: "Как найти 15% от 200? Как найти число, если 30% этого числа равны 18? Сколько процентов составляет 12 от 60? Назовите действие и кратко объясните его." Учитель фиксирует на доске три модели: $a \cdot \frac{p}{100}$; $a : \frac{p}{100}$; $\frac{a}{b} \cdot 100\%$. | Решают устно и проговаривают: «15% от 200 — это 30»; «Искомое число равно $18 : 0{,}3 = 60$»; «12 составляет $12 : 60 \cdot 100\% = 20\%$». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили три вида задач и увидели, что главное — определить, какая величина известна и какая неизвестна. Теперь проверим, умеем ли мы быстро распознавать тип задачи по условию."
Этап 3. Классификация задач и постановка цели (4 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: научить учащихся выбирать алгоритм решения по смыслу условия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре три короткие карточки: «Найти 18% от 250», «35% числа равны 70. Найти число», «45 из 60 — сколько это процентов?». Учитель говорит: "Не решайте примеры. За две минуты распределите их по трём группам и подпишите, какая величина неизвестна." | В парах классифицируют карточки: процент от числа; число по проценту; процентное отношение. Подписывают неизвестную величину. |
2 мин | Учитель просит две пары объяснить классификацию и задаёт вопрос: "Какой вопрос нужно задать себе перед началом решения?" После ответов формулирует цель: "Сегодня мы повторим алгоритмы, решим практические задачи и проверим, можем ли объяснить выбор действия." | Формулируют правило: «Сначала определить, что известно и что нужно найти». Записывают тему и цель урока в тетрадь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Тип задачи определяется не внешним видом числа, а вопросом условия. Теперь переходим к практике и применим каждый алгоритм в реальной ситуации."
Этап 4. Практикум в парах «Математика в магазине» (10 мин)
Цель этапа: закрепить решение задач на проценты через анализ ценников и взаимопроверку в паре.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки с ценниками и инструкцией: "В каждой паре один ученик сначала решает задачу 1, второй — задачу 2, затем поменяйтесь ролями. В каждой записи должны быть краткая запись, действие, ответ с единицей измерения и проверка. Используйте учебник как источник похожего способа оформления, но решайте именно данные на карточке." | Читают инструкцию, распределяют роли, записывают данные из карточки в тетрадь. |
4 мин | Учитель предлагает задачи: «Куртка стоит 2400 рублей. Скидка 15%. Найдите размер скидки и новую цену». «После повышения цены на 20% товар стал стоить 1800 рублей. Какова была первоначальная цена?» Учитель подходит к парам, задаёт вопросы: "Что является 100%? Какая величина соответствует 15%? Почему во второй задаче нужно делить на 1,2?" | Решают задачи в парах. Объясняют: «Размер скидки — $2400 \cdot 0{,}15 = 360$ рублей; новая цена — $2400 - 360 = 2040$ рублей». Во второй задаче находят $1800 : 1{,}2 = 1500$ рублей. |
4 мин | Учитель предлагает задачу повышенного уровня: «В понедельник магазин продал 60 тетрадей, а во вторник — 75. На сколько процентов увеличилось число проданных тетрадей?» Учитель напоминает: "Процентное изменение сравниваем с первоначальным количеством, то есть с понедельником. После решения обменяйтесь тетрадями и проверьте работу по трём критериям: правильная модель, вычисления, единица ответа." | Решают: разность равна 15 тетрадей; $15 : 60 \cdot 100\% = 25\%$. Обмениваются тетрадями, отмечают сильную сторону и одну рекомендацию партнёру. |
Эталон решения
1) Скидка на куртку: $2400 \cdot 0{,}15 = 360$ рублей. Новая цена: $2400 - 360 = 2040$ рублей. 2) Если после повышения на 20% цена стала 1800 рублей, то 1800 рублей — это 120% первоначальной цены: $1800 : 1{,}2 = 1500$ рублей. 3) Увеличение продаж: $75 - 60 = 15$ тетрадей; $15 : 60 \cdot 100\% = 25\%$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы применили проценты к скидке, повышению цены и сравнению двух величин. Обратите внимание: при процентном изменении основанием сравнения является первоначальная величина. Теперь проверим каждый навык самостоятельно."
Этап 5. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: выявить индивидуальный уровень освоения алгоритмов и научить выполнять самопроверку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. Базовый вариант: «Найдите 12% от 250»; «40% числа равны 28. Найдите число»; «18 из 72 — сколько процентов?». Повышенный вариант содержит задачу о скидке и процентном изменении. Учитель говорит: "Работайте молча, но обязательно записывайте формулу или пояснение выбора действия. Если закончили раньше, решите дополнительную задачу с обратной проверкой." | Индивидуально решают три задания выбранного уровня, записывают действия и ответы. Проверяют, что процент записан со знаком %, а денежная величина — в рублях. |
3 мин | Учитель выводит эталон: «30; 70; 25%». Пошагово напоминает: "Сначала сравните свою модель с эталоном, затем проверьте вычисления. Если ответ отличается, не стирайте ошибку сразу: подчеркните место, где изменился ход решения, и исправьте его рядом." | Сверяют решения с эталоном, подчёркивают исправления, ставят себе условный балл и записывают, какой тип задачи требует повторения. |
Эталон решения
$12\%$ от $250$: $250 \cdot 0{,}12 = 30$. Если $40\%$ числа равны $28$, то число равно $28 : 0{,}4 = 70$. Число $18$ от $72$ составляет $18 : 72 \cdot 100\% = 25\%$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка нужна не для того, чтобы просто узнать количество ошибок, а чтобы увидеть причину затруднения. Если ошибка связана с выбором формулы, обратитесь к таблице на доске; если с вычислением — выполните обратную проверку. Осталось обобщить правило и оценить свою работу."
Этап 6. Обобщение и межпредметная практическая задача (7 мин)
Цель этапа: применить знания о процентах в контексте естественно-научной и финансовой грамотности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает таблицу состава напитка: «В 200 г напитка содержится 12 г сахара. Какой процент массы напитка составляет сахар?» Учитель связывает задачу с естествознанием: "В естественно-научных задачах важно понимать, какую часть от общей массы составляет вещество. Что здесь является целым, то есть 100%?" | Называют целое: «200 г напитка». Составляют выражение $12 : 200 \cdot 100\%$. |
3 мин | Учитель предлагает финансовую задачу: «Семья планировала потратить на покупки 4000 рублей. На продукты ушло 2600 рублей. Какой процент запланированной суммы составили расходы на продукты? Сколько процентов осталось?» Учитель просит решить в парах и объяснить ответ. | В парах находят $2600 : 4000 \cdot 100\% = 65\%$, затем $100\% - 65\% = 35\%$. Формулируют вывод: «На продукты ушло 65% бюджета, осталось 35%». |
2 мин | Учитель организует приём «Микрофон»: "Одним предложением назовите вопрос, который нужно задать себе перед решением любой задачи на проценты." | По очереди формулируют: «Что принято за 100% и какую величину нужно найти?» |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проценты помогают описывать не только цены, но и состав веществ, структуру расходов, результаты наблюдений. Мы увидели, что математическая модель остаётся одной и той же, даже если меняется жизненный сюжет. Теперь подведём личный итог урока."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осознать результат работы, зафиксировать затруднения и получить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт лист самооценки и говорит: "Отметьте зелёным пункт, который выполняете уверенно, жёлтым — тот, где иногда ошибаетесь, красным — тот, который пока требует помощи. Допишите одно действие, которое поможет вам исправить затруднение." | Заполняют лист самооценки: оценивают три типа задач, называют личное затруднение и способ его преодоления. |
2 мин | Учитель проводит «Билет на выход»: "На отдельной строке ответьте: 1) Что принимают за 100% в задаче? 2) Как найти 30% от 500? 3) Какой тип задачи оказался самым трудным?" | Письменно отвечают: «Целую величину»; «$500 \cdot 0{,}3 = 150$»; называют трудный тип и сдают билет. |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень и при желании один повышающий. В тетради оформляйте решение полностью: краткая запись, действие или формула, ответ и проверка. Используйте материал учебника о процентах для подбора аналогичных заданий, но не переписывайте только ответы." | Записывают выбранный уровень домашнего задания, задают уточняющие вопросы, сверяют запись с доской. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы повторили три вида задач на проценты, применили их к ценам, составу продукта и семейному бюджету. Главное правило — определить, что принято за 100%, и только затем выбирать действие. На следующем уроке мы продолжим решать задачи на проценты и разберём более сложные изменения величин."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все три задачи практикума, правильно определён тип каждой задачи, вычисления записаны последовательно, ответы содержат единицы измерения и выполнена проверка хотя бы одного результата.
- «4» — верно решены две задачи из трёх, в третьей допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, но способ решения выбран правильно.
- «3» — верно решена хотя бы одна задача и частично выполнена вторая; ученик различает не менее двух типов задач, но нуждается в помощи при выборе действия или проверке результата.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового или важного вы сегодня вспомнили о процентах? | Выявление осознания ключевых алгоритмов и смысла понятия «100%». |
Какой тип задачи вы теперь решаете увереннее всего? | Определение субъективной оценки освоения материала. |
На каком шаге решения возникло затруднение? | Выявление точек затруднения: анализ условия, выбор формулы или вычисления. |
Как вы проверите, что ответ задачи на проценты разумен? | Проверка сформированности навыка самоконтроля и оценки результата. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы повторили, что процент — это одна сотая часть целого, и научились различать три основных вида задач. Особенно важно не путать нахождение процента от числа с нахождением числа по его проценту. Всегда спрашивайте себя, что принято за 100%, и проверяйте, соответствует ли ответ смыслу задачи. На следующем уроке мы продолжим работу с процентами в более сложных практических ситуациях."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи: две на нахождение процента от числа, одну на нахождение числа по его проценту и одну на нахождение процентного отношения. Использовать числа, аналогичные разобранным на уроке, но с другими значениями. | Закрепить три алгоритма и проверить правильность выбора действия, вычислений и записи единиц измерения. |
Средний (повышающий) | Решить 3 практические задачи: на скидку, на повышение цены и на распределение семейного бюджета. В каждой задаче записать, что принято за 100%, и выполнить проверку ответа. | Перенести алгоритмы в жизненный контекст и развивать финансовую грамотность. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу на проценты по одному из сюжетов: магазин, состав продукта, результаты опроса или спортивная статистика. Обязательно привести решение и кратко объяснить, почему выбранная модель верна. | Развивать умение создавать математическую задачу, моделировать ситуацию и аргументировать решение. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что означает 1%? Как найти 20% от числа? Как найти число, если известны его 20%? От какой величины считают процентное увеличение или уменьшение? Какие единицы измерения должны быть в ответе задачи о деньгах?»
