Свойства делимости произведения натуральных чисел
Цели и задачи
- Цель: сформировать умение применять свойства делимости произведения натуральных чисел для решения вычислительных и логических задач без выполнения полного деления.
- Образовательная задача: вывести и доказать свойства делимости произведения на число (если один из множителей делится на число, то и произведение делится на это число).
- Развивающая задача: развивать логическое мышление через установление причинно-следственных связей и навык работы в парах.
- Воспитательная задача: способствовать формированию познавательного интереса к математике через решение практико-ориентированных задач.
- Межпредметная задача: показать применение свойств делимости в логистике и экономике (расчет партий товара).
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению.
- Умение ясно, точно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Развитие навыков сотрудничества со сверстниками в процессе выполнения парной работы.
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать аналогии, классифицировать, строить логическое рассуждение и делать выводы.
- Регулятивные: умение самостоятельно определять цели обучения, ставить и формулировать для себя новые задачи.
- Коммуникативные: умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.
Предметные
- Знать формулировку свойств делимости произведения натуральных чисел.
- Уметь обосновывать делимость произведения, не вычисляя его значения.
- Применять свойства при упрощении выражений и решении текстовых задач.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование ответственного отношения к учению.
- Развитие критичности мышления.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи.
- Планирование последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата.
- Оценка — выделение и осознание того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели.
- Поиск и выделение необходимой информации.
- Структурирование знаний.
Коммуникативные УУД
- Планирование учебного сотрудничества с партнером.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для работы в парах с набором числовых выражений (15 шт.).
- Подготовить презентацию с визуализацией «кейса кондитерской фабрики» (межпредметная связь).
- Заготовить на доске таблицу для приемов «Знаю — Хочу узнать — Узнал».
- Подготовить листы самооценки «Светофор» для каждого ученика.
- Проверить работу проектора и интерактивной доски.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать благоприятный психологический климат и настроить учеников на активную мыслительную деятельность.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, ребята! Я рада вас видеть. Сегодня у нас необычный урок — урок-открытие. Математика часто кажется сложной из-за длинных вычислений. Но что, если я скажу вам, что сегодня мы научимся видеть ответ, даже не приступая к умножению и делению в столбик? Проверьте, чтобы у вас на столах были тетради, ручки и хорошее настроение." | Ученики приветствуют учителя, проверяют готовность рабочих мест, настраиваются на работу. |
2 мин | "Посмотрите на экран. Представьте, что вы — менеджеры крупного склада. К вам привезли 12 коробок, в каждой из которых по 175 плиток шоколада. Вам нужно срочно распределить их поровну между 3 магазинами. Сможете ли вы это сделать, не вскрывая коробки и не пересчитывая весь шоколад? Как быстро дать ответ директору?" | Ученики высказывают предположения: "Нужно общее количество разделить на 3", "Наверное, можно, если 12 делится на 3". Выражают интерес к способу быстрого решения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Ваши догадки очень близки к истине. Чтобы точно отвечать на такие вопросы за секунду, нам нужно изучить свойства делимости произведения. Запишите тему урока в тетради."
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (5 мин)
Цель этапа: повторить базовые понятия делимости и создать ситуацию интеллектуального затруднения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Давайте вспомним основы. Что значит 'число a делится на число b'? Приведите примеры. Как называются числа при делении? Запишите на доске: 45 : 5 = 9. Где здесь делимое, делитель и частное?" | Ученики отвечают: "Это значит, что остаток равен нулю". Называют компоненты деления. Один ученик записывает на доске и подписывает термины. |
3 мин | "А теперь внимание — задача на скорость. Делится ли выражение (81 * 47 * 123) на 9? У вас есть 10 секунд. Начали!" Учитель наблюдает за реакцией. "Вижу, многие начали умножать в уме или на черновике. Почему возникла заминка? В чем сложность?" | Ученики пытаются считать, но не успевают. Отвечают: "Слишком большие числа", "Долго умножать, а потом делить", "Мы не знаем быстрого способа для произведения". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Действительно, считать в лоб — это долго и неудобно. Значит, наша цель на сегодня — найти правило, которое позволит определять делимость произведения мгновенно."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Открытие нового знания и работа в парах (12 мин)
Цель этапа: путем наблюдения и анализа подвести учащихся к формулировке свойства делимости произведения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Работаем в парах. У вас на столах карточки с таблицей. В левой колонке — произведения, в средней — делитель. Ваша задача: не вычисляя всё произведение, проверить, делится ли хотя бы один из множителей на этот делитель, а затем с помощью калькулятора (или быстро в уме) проверить делимость всего произведения. Сделайте вывод." Примеры в карточке: (15 * 7) на 5; (8 * 12) на 4; (21 * 10) на 7. | Ученики обсуждают в парах, заполняют таблицу. Замечают закономерность: если один множитель делится, то и всё произведение делится. |
7 мин | "Давайте обсудим ваши результаты. Какой вывод вы сделали? Попробуем сформулировать правило. 'Если один из множителей...' — продолжайте! Давайте запишем это свойство в буквенном виде. Если a : k, то (a * b) : k. Как вы думаете, а если оба множителя не делятся на число, может ли произведение делиться? Проверьте (6 * 4) на 8." | Ученики формулируют правило: "Если один из множителей делится на число, то и всё произведение делится на это число". Записывают формулу в тетрадь. Обсуждают контрпример: 6 не делится на 8, 4 не делится на 8, но 24 делится на 8. Делают уточнение правила. |
Запись в тетрадях
Свойство 1: Если хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение этих множителей делится на это число.
Если a ⋮ k, то (a · b) ⋮ k.
Если a ⋮ k, то (a · b) ⋮ k.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Отлично! Мы вывели 'золотое правило' делимости произведения. Теперь давайте немного разомнемся, чтобы наш мозг работал еще быстрее."
Этап 4. Физкультминутка (2 мин)
Цель этапа: смена деятельности и физическая разгрузка.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Встаньте, пожалуйста. Играем в 'Делится — не делится'. Я называю произведение и число. Если произведение делится на число — хлопаем над головой. Если нет — приседаем. Приготовились! (10 * 3) на 5? (Хлопок). (7 * 11) на 2? (Присед). (25 * 4) на 10? (Хлопок — тут хитрость, 25*4=100). (9 * 8) на 3? (Хлопок). Молодцы, садитесь!" | Ученики активно выполняют движения, стараясь быстро анализировать условия делимости, предложенные учителем. |
Этап 5. Первичное закрепление и межпредметные связи (8 мин)
Цель этапа: отработка навыка применения свойства в стандартных и практических ситуациях.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Вернемся к нашей задаче с шоколадом. У нас 12 коробок по 175 плиток. Нужно разделить на 3 магазина. Запишите выражение и примените свойство. Нужно ли нам знать, сколько всего плиток?" | Ученик у доски пишет: (12 * 175) : 3. Поясняет: "Так как 12 делится на 3 (будет 4), то и всё произведение делится на 3. Значит, шоколад можно распределить поровну по коробкам". |
4 мин | "Межпредметная задача (Экономика/Логистика): Строительной компании нужно перевезти 45 связок арматуры, в каждой по 22 прута. Можно ли распределить этот груз поровну между 9 грузовиками? Обоснуйте без вычислений." | Ученики записывают: (45 * 22). Рассуждают: "45 делится на 9, значит, всё произведение делится на 9. Ответ: да, можно". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы отлично справляетесь! Теперь проверим, как вы усвоили материал самостоятельно."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: индивидуальный контроль усвоения темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | "Выполните задания на карточках. Задание 1: Докажите делимость выражений (выберите 3 из 5). Задание 2: Найдите значение переменной x, при котором (x * 15) делится на 10 (повышенный уровень)." | Ученики самостоятельно решают задачи в тетрадях. |
2 мин | "Посмотрите на экран. Там представлен эталон решения. Возьмите зеленые ручки и проверьте себя. Если всё верно — поставьте '+', если есть ошибка — исправьте ее." | Ученики проводят самопроверку, фиксируют свои результаты. |
Эталон решения
1) (24 · 17) ⋮ 8, так как 24 ⋮ 8 (24 = 8 · 3).
2) (100 · 33) ⋮ 11, так как 33 ⋮ 11 (33 = 11 · 3).
3) Для (x · 15) ⋮ 10: если x = 2, то (2 · 15) = 30, 30 ⋮ 10. Или x должно быть четным, чтобы произведение x · 5 давало число, делящееся на 10.
2) (100 · 33) ⋮ 11, так как 33 ⋮ 11 (33 = 11 · 3).
3) Для (x · 15) ⋮ 10: если x = 2, то (2 · 15) = 30, 30 ⋮ 10. Или x должно быть четным, чтобы произведение x · 5 давало число, делящееся на 10.
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, самооценка результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Наш урок подходит к концу. Давайте заполним последнюю колонку нашей таблицы 'Узнал'. Что нового вы сегодня открыли? Поднимите карточку 'Светофор': Зеленый — всё понятно, могу объяснить другу; Желтый — понял, но нужно еще потренироваться; Красный — ничего не понял, нужна помощь." | Ученики формулируют итоги: "Узнали свойство делимости произведения", "Научились экономить время на счете". Поднимают карточки самооценки. |
3 мин | "Запишите домашнее задание. Обратите внимание, что оно разделено на уровни сложности. Выберите тот, который вам по силам, но я рекомендую попробовать и средний уровень." | Ученики записывают задание в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены все задания самостоятельной работы, приведено четкое обоснование свойств без вычислений.
- "4" — допущены 1-2 неточности в обосновании или одна ошибка в задании повышенного уровня.
- "3" — выполнен только базовый уровень заданий (доказательство делимости простых произведений).
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство мы сегодня 'открыли'? | Проверка усвоения ключевого понятия урока. |
В каких жизненных ситуациях нам пригодится это знание? | Осознание практической значимости математики. |
Что было самым трудным в самостоятельной работе? | Выявление индивидуальных затруднений для коррекции на следующем уроке. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы убедились, что математика — это не только цифры и скучные расчеты, но и искусство находить красивые и быстрые решения. Свойства делимости — это ваши секретные ключи к большим числам. На следующем уроке мы узнаем, как ведут себя при делении суммы и разности. Вы отлично поработали, спасибо за урок!"
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Составить и решить в тетради 5 примеров на доказательство делимости произведения (например, произведение двузначного и трехзначного числа на однозначный делитель). | Закрепление навыка применения основного свойства. |
Средний (повышающий) | Придумать текстовую задачу для одноклассников, подобную задаче о шоколадной фабрике, где нужно применить свойство делимости произведения. | Развитие функциональной грамотности и умения моделировать ситуацию. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать вопрос: верно ли свойство в обратную сторону? (Если произведение делится на число, обязательно ли хотя бы один множитель делится на него?). Привести примеры. | Подготовка к изучению простых и составных чисел, развитие критического мышления. |
Контрольный вопрос: "Если произведение трех чисел делится на 7, сколько множителей обязаны делиться на 7?"
