Признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9 и 10: закрепление навыков
Цели и задачи
- Цель: систематизировать знания о признаках делимости и научиться применять их в комплексе при решении расчетных и логических задач.
- Образовательная задача: отработать умение классифицировать числа по признакам делимости и находить неизвестные цифры в записях чисел.
- Развивающая задача: развивать логическое мышление через анализ условий задач и классификацию объектов.
- Воспитательная задача: формировать навыки самоконтроля и умение работать в сотрудничестве при обсуждении способов решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению.
- Умение ясно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
Метапредметные
- Познавательные: умение анализировать, сравнивать и классифицировать объекты по заданным критериям.
- Регулятивные: умение планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей и условиями её реализации.
- Коммуникативные: умение формулировать собственное мнение и позицию, аргументировать свой ответ.
Предметные
- Знать формулировки признаков делимости на 2, 3, 5, 9, 10.
- Уметь применять признаки делимости для отбора чисел из заданного ряда.
- Уметь восстанавливать цифры в записи числа, обеспечивая его делимость на заданный делитель.
- Владеть навыком обоснования делимости суммы или произведения чисел без выполнения вычислений.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование ответственного отношения к учению.
- Развитие навыков сотрудничества со сверстниками.
Регулятивные УУД
- Постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что предстоит усвоить.
- Оценка правильности выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки.
Познавательные УУД
- Самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели.
- Построение логической цепи рассуждений.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
- Владение монологической и диалогической формами речи.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для групповой работы «Математическое лото» (по 1 на парту, 15 шт.).
- Подготовить слайд с «облаком чисел» для этапа актуализации (числа: 124, 345, 990, 111, 234, 505, 78, 1002).
- Подготовить на доске таблицу-шпаргалку с названиями признаков для заполнения.
- Распечатать листы самооценки для каждого ученика.
- Проверить работу проектора и интерактивной доски.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать рабочую атмосферу, настроить учеников на активную практическую деятельность.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, ребята! Садитесь. Сегодня у нас необычный урок. Мы не будем открывать новые правила, мы станем мастерами применения тех знаний, которые у нас уже есть. Проверьте, лежат ли у вас на столах учебники, тетради и ручки. Улыбнитесь соседу по парте, сегодня нам предстоит много работать вместе." | Здороваются, проверяют готовность рабочих мест, настраиваются на работу. |
2 мин | "Представьте, что вы — программисты, и вам нужно написать фильтр для сортировки огромного массива данных. Чтобы фильтр работал быстро, нам не нужно делить каждое число в столбик. Нам нужны 'ключи' — признаки делимости. Сегодня мы докажем, что эти ключи помогают решать задачи любой сложности. Готовы?" | Слушают учителя, включаются в игровую ситуацию, выражают готовность к работе. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Отлично, настрой боевой. Записываем в тетрадях число и тему урока: 'Решение задач на признаки делимости'."
Этап 2. Актуализация знаний. Прием «Верно — Неверно» (5 мин)
Цель этапа: быстро освежить в памяти формулировки признаков делимости перед практикой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Сыграем в игру. Я читаю утверждение. Если оно верное — вы хлопаете один раз, если ложное — сидите тихо. 1. Число делится на 5, если оно заканчивается на 0 или 5. 2. Число делится на 3, если его последняя цифра 3. 3. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. 4. Все четные числа делятся на 10. 5. Если число делится на 9, то оно обязательно делится на 3." | Хлопают на 1, 3 и 5 утверждения. На 2 и 4 утверждения сохраняют тишину. После каждого хлопка или паузы кратко объясняют выбор. |
2 мин | "Молодцы, ловушки заметили! А теперь посмотрите на доску. Там записано число $2*5$. Какую цифру нужно поставить вместо звездочки, чтобы число делилось на 3? А на 9? Есть ли универсальная цифра для обоих случаев?" | Предлагают варианты: для делимости на 3 подходят цифры 2, 5, 8. Для делимости на 9 подходит только цифра 2. Делают вывод: цифра 2 подходит для обоих случаев. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Знания на месте, ключи в руках. Переходим к серьезной практике с учебником."
Этап 3. Практикум №1. Работа с учебником (10 мин)
Цель этапа: отработать базовые навыки классификации чисел по нескольким признакам одновременно.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Откройте учебник на теме 'Признаки делимости'. Найдите упражнение, где из списка чисел нужно выписать те, которые делятся одновременно на 2 и на 3. Давайте сначала обсудим: если число делится и на 2, и на 3, какому общему правилу оно должно подчиняться?" | Открывают учебник, находят задание. Отвечают: "Оно должно быть четным и сумма его цифр должна делиться на 3". |
6 мин | "Работаем самостоятельно в тетрадях. Выпишите из предложенного в учебнике ряда только те числа, которые делятся на 2 и на 3 одновременно. Затем подчеркните из них те, которые делятся еще и на 5. Кто первый выполнит — поднимает руку, проверим у доски." | Выполняют задание в тетрадях. Например, из ряда 12, 15, 20, 30, 42, 50, 60 выписывают: 12, 30, 42, 60. Подчеркивают: 30, 60. |
2 мин | "Давайте проверим. Дима, назови свои числа. Ребята, у кого получились другие результаты? Почему число 42 мы не подчеркнули, хотя оно делится на 2 и 3?" | Сверяют ответы. Отвечают: "Потому что 42 не заканчивается на 0 или 5, значит, на 5 не делится". |
Эталон решения
Для ряда чисел $n ∈ \{12, 15, 20, 30, 42, 50, 60\}$:
1. Делятся на 2 (четные): $12, 20, 30, 42, 50, 60$.
2. Делятся на 3 (сумма цифр $\vdots 3$): $12, 15, 30, 42, 60$.
3. Пересечение (на 2 и на 3): $12, 30, 42, 60$.
4. Из них на 5 (оканчиваются на 0): $30, 60$.
1. Делятся на 2 (четные): $12, 20, 30, 42, 50, 60$.
2. Делятся на 3 (сумма цифр $\vdots 3$): $12, 15, 30, 42, 60$.
3. Пересечение (на 2 и на 3): $12, 30, 42, 60$.
4. Из них на 5 (оканчиваются на 0): $30, 60$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что признаки могут работать в команде. Теперь усложним задачу — будем искать 'сбежавшие' цифры."
Этап 4. Практикум №2. Групповая работа «Математический детектив» (12 мин)
Цель этапа: развить навыки логического перебора и применения признаков в нестандартных ситуациях через групповое взаимодействие.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Объединитесь в группы по 4 человека. Каждая группа получает карточку с 'зашифрованными' числами. Ваша задача — вместо звездочек поставить цифры так, чтобы выполнялись условия делимости. Внимание: в некоторых случаях ответов может быть несколько! Запишите все возможные варианты." | Формируют группы, распределяют роли (кто записывает, кто проверяет, кто докладывает). |
7 мин | Учитель обходит группы, дает наводящие вопросы: "Если число $54*1$ должно делиться на 9, какая сумма цифр нам нужна? Может ли там быть цифра 0?" Контролирует, чтобы каждый участвовал в обсуждении. | Обсуждают задачи на карточках. Пример задачи: 1) $27*0 \vdots 3$ и $\vdots 5$; 2) $1*24 \vdots 9$; 3) Какую цифру приписать к числу 15 слева и справа, чтобы оно делилось на 15 (то есть на 3 и на 5)? |
3 мин | "Время вышло. Группа №1, представьте решение первого задания. Группа №3, согласны ли вы? Есть ли другие варианты?" | Представители групп выходят к доске, записывают варианты цифр. Остальные проверяют, задают вопросы «почему?». |
Эталон решения
Задача: $1*24 \vdots 9$. Сумма цифр: $1 + x + 2 + 4 = 7 + x$. Чтобы $7 + x \vdots 9$, $x$ должен быть равен 2. Ответ: 1224.
Задача: $27*0 \vdots 3$. Сумма цифр: $2 + 7 + x + 0 = 9 + x$. Чтобы $9 + x \vdots 3$, $x ∈ \{0, 3, 6, 9\}$. Ответ: 2700, 2730, 2760, 2790.
Задача: $27*0 \vdots 3$. Сумма цифр: $2 + 7 + x + 0 = 9 + x$. Чтобы $9 + x \vdots 3$, $x ∈ \{0, 3, 6, 9\}$. Ответ: 2700, 2730, 2760, 2790.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы отлично справились с ролью детективов. Самое время проверить, насколько каждый из вас лично освоил эти методы."
Этап 5. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: индивидуальный контроль усвоения темы и развитие навыка самооценки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "На экране три задания разного уровня сложности. Выберите любые два и решите их в тетради. 1 уровень: Из чисел 135, 240, 594 выберите те, что делятся на 5 и на 9. 2 уровень: Докажите, что произведение $15 × 24 × 37$ делится на 10. 3 уровень: Найдите наименьшее трехзначное число, которое делится на 2, 3 и 5 одновременно." | Выбирают задания, самостоятельно решают их в тетрадях. Применяют признаки делимости и логические рассуждения. |
3 мин | "А теперь посмотрите на эталон на экране. Проверьте свои решения. Если все верно — поставьте себе '+' на полях. Если есть ошибка — обведите её и напишите рядом правильный ответ. Кто решил задачу 3 уровня? Объясните свой выбор." | Сверяют свои решения с образцом. Оценивают свою работу. Один ученик объясняет: "Число должно оканчиваться на 0 (на 2 и 5) и сумма цифр должна быть кратна 3. Самое маленькое трехзначное на 100... 110 нет, 120 — да, $1+2+0=3$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка закончена. Поднимите руки, кто выполнил оба задания без ошибок? Молодцы!"
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: подвести итоги урока, зафиксировать достижения и определить зоны роста.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Давайте вернемся к нашей цели. Мы хотели научиться применять признаки делимости в комплексе. Какой признак сегодня был самым 'популярным'? В каких задачах вы испытали затруднение? Заполните листы самооценки, которые я раздал в начале урока." | Отвечают на вопросы учителя. Заполняют листы самооценки, отмечая, что они уже умеют хорошо, а над чем нужно еще поработать. |
3 мин | "Запишите домашнее задание. Оно будет дифференцированным, как и наша работа сегодня. Обратите внимание на таблицу на доске." | Записывают домашнее задание в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — ученик верно выполнил все задания групповой работы и самостоятельно решил задачу 2-го или 3-го уровня без ошибок.
- "4" — ученик активно работал в группе, верно выполнил задание 1-го уровня самостоятельной работы, но допустил одну неточность в обосновании.
- "3" — ученик верно применяет признаки делимости на 2, 5, 10, но испытывает трудности с признаками на 3 и 9 или ошибается в суммировании цифр.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой признак делимости кажется вам самым простым, а какой — самым коварным? | Осознание субъективной сложности материала. |
Где в реальной жизни нам может пригодиться умение быстро определять делимость числа? | Формирование функциональной грамотности и связи с жизнью. |
Сможете ли вы объяснить другу, почему число 111 делится на 3, не используя калькулятор? | Проверка усвоения ключевого алгоритма (сумма цифр). |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы проделали большую работу и доказали, что математика — это не только сухие цифры, но и логический поиск. Признаки делимости — это база, которая поможет вам в будущем легко сокращать дроби и находить общие знаменатели. Если сегодня что-то не получилось — не расстраивайтесь, домашнее задание поможет вам закрепить успех. Спасибо за урок, вы — отличная команда!"
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 5 задач на распределение чисел по группам (делится на 2, на 3, на 5, на 9, на 10). | Закрепление первичных навыков распознавания признаков. |
Средний (повышающий) | Найти и записать все цифры, которые можно подставить вместо звездочки в числах $34*2$ и $7*1$, чтобы они делились на 3. | Отработка навыка нахождения неизвестного компонента через признак делимости. |
Продвинутый (дополнительный) | Придумать и записать пятизначное число, которое делится на 2, 3, 5 и 9 одновременно. Обосновать свой выбор. | Развитие синтетического мышления и умения комбинировать все признаки сразу. |
Контрольный вопрос: "Может ли число, которое делится на 9, не делиться на 3? Почему?"
