Разложение натурального числа на простые множители. Наибольший общий делитель
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться раскладывать натуральные числа на простые множители и находить их наибольший общий делитель разложением, выполнив не менее 4 из 5 заданий самостоятельной работы.
- Образовательная задача: закрепить признаки простых и составных чисел, освоить алгоритм разложения числа на простые множители и нахождения НОД.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать разложения, сравнивать наборы простых множителей и выбирать рациональный способ решения.
- Метапредметная задача: формировать навыки планирования решения, самопроверки по образцу и аргументированного объяснения результата.
- Воспитательная задача: развивать ответственность за индивидуальный результат и готовность сотрудничать при проверке решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность разложения чисел для быстрого решения задач.
- Проявляют учебную мотивацию через выполнение заданий разного уровня сложности.
- Оценивают собственный вклад в парную и индивидуальную работу.
- Формируют ответственное отношение к записи вычислений и проверке результата.
Метапредметные
- Планируют последовательность действий при разложении числа и нахождении НОД.
- Извлекают информацию из записи разложения и используют её для сравнения чисел.
- Работают по алгоритму, обнаруживают и исправляют ошибку.
- Формулируют математическое объяснение и участвуют в взаимопроверке.
Предметные
- Знать определения простого числа, составного числа, наибольшего общего делителя и взаимно простых чисел.
- Уметь раскладывать натуральное число на простые множители.
- Уметь находить НОД двух и нескольких чисел по разложениям.
- Уметь определять, являются ли числа взаимно простыми, и обосновывать ответ.
- Уметь выполнять самостоятельную работу и проверять решение по критериям.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель на уроке: научиться находить НОД без перебора всех делителей.
- Осознают значение аккуратной математической записи.
- Проявляют настойчивость при выполнении задания повышенной сложности.
- Оценивают собственное продвижение по итогам самостоятельной работы.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют учебную цель урока.
- Планируют действия по алгоритму разложения и нахождения НОД.
- Сверяют решение с эталоном и находят место ошибки.
- Оценивают результат по предложенным критериям и намечают коррекцию.
Познавательные УУД
- Различают простые и составные числа по определению и примерам.
- Структурируют разложение числа в виде произведения простых множителей.
- Выделяют общие множители в двух разложениях.
- Моделируют решение с помощью дерева множителей и таблицы.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру последовательность своих действий.
- Задают уточняющие вопросы при проверке решения.
- Аргументируют, почему найденное число является НОД.
- Корректно принимают замечания и формулируют совет по исправлению ошибки.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с числами 18, 24, 36 и схемой дерева множителей.
- Распечатать карточки для парной работы трёх уровней: по одной карточке на пару, всего 15 комплектов.
- Подготовить листы самостоятельной работы двух вариантов — по одному на каждого ученика, всего 30 листов.
- Распечатать эталон самостоятельной работы для показа после выполнения.
- Подготовить цветные маркеры или магниты: зелёный для общих множителей, синий для множителей первого числа, красный для множителей второго числа.
- Разместить на доске алгоритм: разложить числа; выписать общие простые множители; перемножить их.
- Подготовить карточки для приёма «Светофор» по одной на каждого ученика.
- Обеспечить наличие тетрадей, ручек, доски и проектора или интерактивной панели.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и вызвать интерес к поиску общего свойства чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и линейки. Сегодня нам понадобится точная запись каждого шага, потому что в математике ответ важен, но путь к нему не менее важен." | Проверяют готовность, открывают тетради, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на доске числа 18 и 24 и говорит: "Представьте, что две команды получили наборы деталей: 18 и 24 элемента. Как узнать, какой самый большой одинаковый набор можно выделить из обоих чисел? Не перебирайте все варианты вслух, предложите способ поиска." | Высказывают предположения: "Нужно найти общие делители", "Нужно сравнить разложения", формулируют проблемный вопрос. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что общий делитель можно искать перебором, но это не всегда удобно. Сегодня мы узнаем способ, который позволяет быстро находить НОД через простые множители."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о простых и составных числах, делителях и разложении произведения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём "Математический светофор": "Поднимите зелёную карточку, если число простое, и красную, если составное. Числа: 2, 9, 13, 21, 29, 35. Обязательно объясняйте хотя бы один ответ." | Поднимают карточки, называют: "2, 13 и 29 — простые; 9, 21 и 35 — составные", приводят делители составных чисел. |
2 мин | Учитель спрашивает: "Что называется простым числом? Сколько делителей имеет простое число? Что называют разложением числа на простые множители?" Фиксирует краткие ответы на доске. | Формулируют определения: "Простое число имеет ровно два делителя: 1 и само себя"; "Разложение — представление числа в виде произведения простых множителей". |
2 мин | Учитель предлагает устно разложить 12 и 20: "Можно ли записать 12 как произведение простых чисел? Как проверить, что разложение закончено?" | Записывают: 12=2·2·3, 20=2·2·5; отвечают: "Все множители должны быть простыми". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что простые множители являются строительными элементами составного числа. Теперь выясним, как из таких элементов получить наибольший общий делитель."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при нахождении НОД и сформулировать план открытия нового способа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает: 36=2·2·3·3 и 60=2·2·3·5. Спрашивает: "Какие множители встречаются в обоих разложениях? Можно ли взять все множители первого числа? Почему?" | Выделяют общие множители 2, 2 и 3; отвечают: "Нельзя взять 3·3, потому что во втором разложении есть только один множитель 3". |
2 мин | Учитель организует приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Сформулируйте алгоритм: что нужно сделать сначала, что затем и как получить ответ?" | Сначала индивидуально формулируют шаги, затем обсуждают в парах и предлагают: разложить числа, выбрать общие множители с наименьшими количествами, перемножить их. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение найдено: важно не просто увидеть общие множители, а взять каждый из них столько раз, сколько он встречается в обоих разложениях. Проверим этот алгоритм на примерах."
Этап 4. Открытие нового знания и практическая работа (9 мин)
Цель этапа: совместно вывести и применить алгоритм нахождения НОД по разложениям.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает на доске алгоритм и объясняет: "Разложим 36 и 60 на простые множители. Получим 36=2·2·3·3, 60=2·2·3·5. Подчеркнём общие множители: два множителя 2 и один множитель 3. Перемножим их: 2·2·3=12. Значит, НОД(36;60)=12. Обратите внимание: мы выбираем общие множители с меньшими показателями." | Записывают алгоритм и решение в тетрадь, цветными карандашами выделяют общие множители, формулируют вывод: "НОД равен произведению общих простых множителей, взятых в наименьших количествах". |
3 мин | Учитель раздаёт карточки парам: "Найдите НОД(18;30) и НОД(24;40). Записывайте оба разложения полностью. Один ученик выполняет разложение, второй выделяет общие множители, затем поменяйтесь ролями." | В парах решают: 18=2·3·3, 30=2·3·5, НОД=6; 24=2·2·2·3, 40=2·2·2·5, НОД=8. Объясняют решение партнёру. |
2 мин | Учитель задаёт вопрос повышенной сложности: "Если НОД двух чисел равен 1, как называются такие числа? Проверьте на парах 14 и 25." | Разлагают 14=2·7, 25=5·5, общих множителей нет; отвечают: "Числа взаимно простые, потому что их НОД равен 1". |
Запись в тетрадях
Алгоритм: 1) разложить числа на простые множители; 2) выбрать общие простые множители, учитывая их наименьшее количество; 3) перемножить выбранные множители. Если общих простых множителей нет, числа взаимно простые, а их НОД равен 1.
Эталон решения
НОД(18;30): 18=2·3·3, 30=2·3·5. Общие множители: 2 и 3. Поэтому НОД(18;30)=2·3=6. НОД(14;25): 14=2·7, 25=5·5. Общих множителей нет, поэтому НОД(14;25)=1; числа взаимно простые.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм уже работает на простых примерах. Теперь проверим, умеете ли вы применять его самостоятельно, сначала вместе с классом, а затем без подсказки."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм нахождения НОД и научиться объяснять выбор общих множителей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует приём "Эстафета решений": "Каждая пара получает одно выражение: НОД(42;70), НОД(45;75) или НОД(32;48). Первый участник записывает разложения, второй выделяет общие множители и вычисляет НОД. Через две минуты передайте карточку соседней паре для проверки." | Решают в парах: НОД(42;70)=14, НОД(45;75)=15, НОД(32;48)=16; передают карточки соседям. |
2 мин | Учитель показывает критерии проверки: "Проверьте три элемента: оба разложения верны, общие множители выбраны без лишних, произведение посчитано правильно. Напишите рядом одну короткую рекомендацию." | Проверяют работу другой пары, ставят отметки по трём критериям, пишут рекомендацию: "Укажи разложение второго числа" или "Не забудь второй множитель 2". |
2 мин | Учитель разбирает типичную ошибку: "Ученик записал НОД(24;36)=2·3=6. Найдите ошибку и исправьте решение." | Отвечают: "В разложениях есть два общих множителя 2 и один общий множитель 3: 24=2·2·2·3, 36=2·2·3·3, поэтому НОД=2·2·3=12". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились не только получать ответ, но и проверять полноту общих множителей. Переходим к индивидуальной работе, где каждый покажет собственный результат."
Этап 6. Самостоятельная работа «Наибольший общий делитель» (11 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение разложением чисел, нахождением НОД и распознаванием взаимно простых чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт варианты и говорит: "Работаем самостоятельно. В каждом задании записывайте разложения полностью, иначе невозможно увидеть ход решения. Первые два задания обязательны, третье и четвёртое позволяют получить повышенный результат." | Получают вариант, подписывают лист, читают условия, задают уточняющий вопрос только по формату записи. |
7 мин | Учитель напоминает: "Вариант 1: разложите 84 на простые множители; найдите НОД(36;84); определите, взаимно просты ли 25 и 36; найдите НОД(48;72). Вариант 2: разложите 90 на простые множители; найдите НОД(45;90); определите, взаимно просты ли 22 и 35; найдите НОД(54;81). Проверяйте ответ умножением выбранных множителей." | Индивидуально выполняют задания. Ожидаемые ответы: вариант 1 — 84=2·2·3·7, НОД(36;84)=12, 25 и 36 взаимно простые, НОД(48;72)=24; вариант 2 — 90=2·3·3·5, НОД(45;90)=45, 22 и 35 взаимно простые, НОД(54;81)=27. |
3 мин | Учитель выводит на экран эталон: "Проверьте работу по шагам, не переписывая решение целиком. Зелёным отметьте верный шаг, знаком вопроса — место, которое нужно исправить. После проверки поставьте себе предварительный балл." | Сверяют каждое разложение и вычисление с эталоном, исправляют ошибки, подсчитывают результат по критериям. |
Эталон решения
Вариант 1: 36=2·2·3·3, 84=2·2·3·7, общие множители 2·2·3, поэтому НОД=12. 48=2·2·2·2·3, 72=2·2·2·3·3, поэтому НОД=2·2·2·3=24. Вариант 2: 45=3·3·5, 90=2·3·3·5, поэтому НОД=3·3·5=45. 54=2·3·3·3, 81=3·3·3·3, поэтому НОД=3·3·3=27.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, насколько уверенно вы владеете алгоритмом. Осталось зафиксировать, что стало понятным, а какой шаг требует дополнительной тренировки."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить результаты урока, выявить затруднения и определить дальнейшую индивидуальную работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём "Одноминутка": "Запишите продолжение трёх фраз: сегодня я научился; при нахождении НОД важно; мне нужно потренировать. Затем поднимите зелёную, жёлтую или красную карточку." | Пишут три фразы, показывают карточку: зелёная — могу объяснить алгоритм, жёлтая — нужна тренировка, красная — нужна помощь. |
1 мин | Учитель спрашивает: "Почему числа 14 и 25 являются взаимно простыми? Какой общий множитель нужно взять, если он встречается в одном разложении дважды, а в другом — один раз?" | Отвечают: "Общих простых множителей нет, НОД равен 1"; "Берём множитель один раз, то есть по меньшему количеству". |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите обязательный уровень, а затем при готовности — повышающий или дополнительный. Запишите выбор в дневник." | Записывают домашнее задание, формулируют личную цель на следующий урок. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все 4 задания самостоятельной работы, разложения записаны полностью, НОД и взаимная простота обоснованы.
- «4» — верно выполнены 3 задания из 4, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка без нарушения алгоритма.
- «3» — верно выполнены 2 задания из 4, алгоритм в основном понятен, но есть ошибки в выборе общих множителей.
- Ниже базового уровня — требуется повторить признаки простых чисел и выполнить коррекционные задания с пошаговой помощью.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о нахождении НОД по разложениям? | Выявление осознания нового алгоритма. |
Какой шаг алгоритма оказался самым сложным? | Выявление точки затруднения для коррекционной работы. |
Почему взаимно простые числа имеют НОД, равный 1? | Проверка понимания связи определения и разложения. |
Можете ли вы объяснить алгоритм однокласснику? | Субъективная оценка уровня освоения темы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились раскладывать числа на простые множители и находить НОД без полного перебора делителей. Особенно важно брать только общие множители и учитывать, сколько раз каждый из них встречается в обоих разложениях. Типичная ошибка — взять лишний множитель или забыть повторяющийся общий множитель. Дома закрепите алгоритм на выбранном уровне, а на следующем уроке мы применим его при решении задач и работе с дробями."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: разложить два натуральных числа на простые множители и найти НОД ещё для двух пар чисел по алгоритму урока. | Закрепляет последовательность действий; при проверке смотреть на полноту разложений и правильный выбор общих множителей. |
Средний (повышающий) | Выполнить 5 заданий, включая две пары взаимно простых чисел, одну пару с одинаковым НОД и две пары с повторяющимися простыми множителями. | Развивает анализ разложений и умение обосновывать взаимную простоту; проверять объяснение, а не только ответ. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить три пары натуральных чисел с заданными НОД: 6, 12 и 15, разложить все числа и доказать полученный результат. | Формирует умение создавать математические примеры и контролировать ограничения на общие множители. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какие множители называют простыми? Как найти НОД по разложениям? Почему для взаимно простых чисел НОД равен 1?»
