Разложение числа на простые множители
Цели и задачи
- Цель: научиться раскладывать составные натуральные числа на простые множители, используя алгоритм вертикальной записи.
- Образовательная задача: закрепить понятия простого и составного числа, освоить приём разложения числа через признаки делимости.
- Развивающая задача: развивать навыки логического мышления и алгоритмической культуры при работе с числами.
- Воспитательная задача: формировать интерес к изучению свойств чисел и аккуратность при ведении математических записей.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию.
- Умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
Метапредметные
- Познавательные: умение выделять существенную информацию, строить логические цепи рассуждений.
- Регулятивные: умение составлять план действий (алгоритм) и следовать ему.
- Коммуникативные: умение аргументировать свою позицию и координировать её с позициями партнёров.
Предметные
- Знать определение разложения числа на простые множители.
- Уметь применять признаки делимости для поиска простых делителей.
- Владеть навыком записи разложения числа с помощью вертикальной черты.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование ответственного отношения к учению.
- Развитие навыков сотрудничества со взрослыми и сверстниками.
Регулятивные УУД
- Проектирование маршрута преодоления затруднений в обучении.
- Оценка правильности выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки.
Познавательные УУД
- Использование знаково-символических средств (запись разложения).
- Сравнение и классификация объектов по заданным критериям.
Коммуникативные УУД
- Организация учебного взаимодействия в парах.
- Адекватное использование речевых средств для решения коммуникативных задач.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать таблицы простых чисел первой тысячи (на каждую парту).
- Подготовить слайд с «Деревом множителей» для числа 770 (по образцу со стр. 44 учебника).
- Заготовить карточки для игры «Найди пару» (составное число и его разложение).
- Проверить наличие мела/маркеров для оформления вертикальной записи на доске.
- Открыть учебник на странице 43 для демонстрации ключевых определений.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой и подготовить учеников к восприятию нового материала через аналогию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, ребята! Посмотрите на свои парты: всё ли готово к уроку? Тетради, ручки, учебники. Сегодня мы будем работать с 'атомами' математики. Вы знаете, что всё в мире состоит из молекул, а те — из атомов. В математике тоже есть свои 'атомы', из которых строятся все остальные числа." | Проверяют готовность, настраиваются на работу, слушают учителя. |
2 мин | "Вспомните, как называются числа, которые имеют только два делителя? Правильно, простые. Именно они — те самые кирпичики. А числа, которые можно собрать из этих кирпичиков, называются составными. Сегодня мы научимся разбирать любое составное число на эти первичные детали. Как вы думаете, зачем это может быть нужно?" | Отвечают: "Простые числа". Высказывают предположения о пользе разложения (для сокращения дробей, поиска общих делителей). |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Итак, наша цель сегодня — научиться разбирать числа на 'атомы', то есть раскладывать их на простые множители."
Этап 2. Актуализация опорных знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить понятия простых и составных чисел, вспомнить признаки делимости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Давайте проведем блиц-опрос. Я называю число, а вы хлопаете, если оно простое, и молчите, если составное: 2, 5, 9, 13, 15, 19, 21, 23. Молодцы! А теперь скажите, число 1 — оно какое?" | Хлопают на числах 2, 5, 13, 19, 23. На вопрос про 1 отвечают: "Ни простое, ни составное, так как у него только один делитель". |
2 мин | "Вспомните признаки делимости. Как быстро понять, делится ли число на 2? На 3? На 5? На 10? Это нам сегодня очень пригодится." | Формулируют признаки: четность (на 2), сумма цифр (на 3), окончание на 0 или 5 (на 5). |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили базу. Теперь попробуем применить эти знания для решения новой задачи."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Выявление затруднения и постановка проблемы (4 мин)
Цель этапа: столкнуть учеников с задачей, которую сложно решить устно без алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Возьмем число 90. В учебнике на странице 43 сказано, что 90 = 5 * 18. Можно ли сказать, что мы разложили его на простые множители?" | Рассматривают пример в учебнике. Отвечают: "Нет, потому что 18 — число составное, его можно разложить дальше". |
2 мин | "Верно. А теперь попробуйте разложить число 770 на множители так, чтобы ВСЕ они были простыми. С чего вы начнете? Как не запутаться и не потерять множители?" | Пробуют разные варианты (77 * 10, 7 * 11 * 2 * 5). Сталкиваются с тем, что запись в строчку становится неудобной при больших числах. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Нам нужен удобный и надежный способ записи, который позволит 'выжать' из числа все простые множители до единицы."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: изучить алгоритм разложения с использованием вертикальной черты.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Посмотрите на страницу 44. Там разобран пример числа 660. Давайте выполним его вместе на доске. Рисуем вертикальную черту. Слева пишем число 660. На какое самое маленькое простое число оно делится? На 2. Пишем 2 справа. Что получится в частном? 330. Пишем его под 660. Продолжаем процесс." | Записывают в тетрадях вслед за учителем. Диктуют шаги: "330 делится на 2 -> 165. 165 делится на 3 (сумма цифр 12) -> 55. 55 на 5 -> 11. 11 на 11 -> 1". |
5 мин | "Запомните правило: справа от черты должны стоять ТОЛЬКО простые числа. Мы делим до тех пор, пока слева не получится единица. Теперь запишем результат в строчку: 660 = 2 * 2 * 3 * 5 * 11. Обычно множители пишут в порядке возрастания. А если множители повторяются, как мы можем это записать короче?" | Записывают итоговую строку. Предлагают использовать степени: "2 в квадрате умножить на 3, на 5 и на 11". |
Запись в тетрадях
Разложение числа на простые множители — это представление числа в виде произведения простых чисел.
660 | 2
330 | 2
165 | 3
55 | 5
11 | 11
1 |
660 = 2² · 3 · 5 · 11
660 | 2
330 | 2
165 | 3
55 | 5
11 | 11
1 |
660 = 2² · 3 · 5 · 11
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Этот способ называется 'вертикальная запись'. Он помогает нам действовать по порядку и ничего не забыть."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать навык на типовых заданиях из учебника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Давайте выполним задание № 2.14 (а) на странице 45. Разложите числа 108 и 225. К доске пойдут два человека." | Двое учеников работают у доски, остальные в тетрадях. Проговаривают признаки делимости вслух. |
3 мин | "Сравните свои результаты с эталоном на доске. У кого получились другие множители? Помните, что порядок может быть разным, но набор простых чисел всегда один и тот же!" | Сверяют записи. Исправляют ошибки, если они возникли при делении. |
Эталон решения
108 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 = 2² · 3³
225 = 3 · 3 · 5 · 5 = 3² · 5²
225 = 3 · 3 · 5 · 5 = 3² · 5²
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы отлично справились. Теперь проверим, сможете ли вы сделать это самостоятельно в режиме соревнования."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Предлагаю вам математический квест. На карточках даны три числа: 90, 180 и 210. Разложите их на простые множители. Кто закончит первым — поднимает руку." | Самостоятельно выполняют разложение в тетрадях. |
2 мин | "Открываю ответы на слайде. Поставьте себе '+' за каждое верное разложение. Если есть ошибка — обведите её и попробуйте найти причину: это ошибка в делении или в знании признаков?" | Проверяют работы, проводят самоанализ ошибок. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самоконтроль — это важный навык. Теперь мы готовы подвести итоги урока."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: оценить уровень понимания и зафиксировать домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Ребята, давайте вернемся к нашей аналогии. Удалось ли нам сегодня стать 'физиками-ядерщиками' в математике? Что было самым трудным в разложении чисел?" | Отвечают на вопросы. Делятся впечатлениями (кому-то было трудно делить на 3, кому-то — оформлять запись). |
2 мин | "Запишите домашнее задание. Оно дифференцированное: выберите тот уровень, который вам по силам. И не забудьте повторить таблицу простых чисел!" | Записывают задание в дневники. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — все разложения выполнены верно, использован алгоритм вертикальной черты, множители записаны в порядке возрастания.
- "4" — алгоритм соблюден, но допущена одна вычислительная ошибка при делении.
- "3" — разложение выполнено частично, или в качестве множителей справа от черты использованы составные числа.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое простое число является единственным четным? | Проверка базовых знаний о простых числах (число 2). |
Можно ли при разложении писать справа число 4 или 9? | Выявление понимания сути метода (только простые множители). |
В каком случае мы прекращаем процесс деления в столбик? | Проверка знания алгоритма (появление 1 в левой колонке). |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились видеть внутреннюю структуру чисел. Это умение — ключ ко многим темам в будущем: от сокращения дробей до работы с огромными данными. Помните, что любое составное число — это уникальный код из простых множителей. На следующем уроке мы научимся использовать эти коды для поиска НОД и НОК. Спасибо за работу!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый | № 2.14 (б), № 2.8 (а) | Разложить 5 чисел на простые множители по алгоритму. |
Средний | № 2.14 (в), № 2.15 | Разложить большие числа и найти двузначные числа с заданными свойствами. |
Продвинутый | № 2.50 | Задача на логику: найти измерения параллелепипеда через разложение объема 1001. |
