Разложение натуральных чисел на простые множители: обобщение и закрепление
Цели и задачи
- Цель: к концу урока каждый ученик сможет разложить натуральное число на простые множители, проверить результат умножением и применить разложение при решении практической задачи.
- Образовательная задача: повторить признаки простых и составных чисел и алгоритм разложения натурального числа на простые множители.
- Образовательная задача: закрепить запись разложения в виде произведения простых множителей, включая повторяющиеся множители.
- Развивающая задача: развивать умение выбирать способ проверки, обнаруживать и исправлять ошибки в вычислениях.
- Воспитательная задача: формировать ответственность за общий результат, уважительное обсуждение решений в паре и уверенность в самостоятельной работе.
Планируемые результаты
Личностные
- Ученик проявляет заинтересованность в поиске нескольких способов проверить математический результат.
- Ученик осознаёт ценность точных вычислений при распределении предметов и составлении наборов.
- Ученик доброжелательно относится к мнению партнёра и корректно обсуждает найденную ошибку.
- Ученик оценивает собственный прогресс и обозначает, какой шаг алгоритма требует дополнительной тренировки.
Метапредметные
- Ученик извлекает данные из условия практической задачи и переводит их на язык математической модели.
- Ученик планирует последовательность делений на простые числа и сверяет её с условием задачи.
- Ученик сравнивает два решения, находит расхождение и объясняет, как его исправить.
- Ученик формулирует вывод устно и письменно, используя математические термины и аргументы.
- Ученик взаимодействует с партнёром и использует интерактивную визуализацию как средство самопроверки, а не как замену вычислений.
Предметные
- Ученик различает простые и составные натуральные числа и приводит примеры каждого вида.
- Ученик раскладывает натуральное число на простые множители последовательным делением на простые числа.
- Ученик записывает разложение произведением простых множителей, сохраняя повторяющиеся множители.
- Ученик проверяет разложение умножением множителей и оценивает правдоподобие результата.
- Ученик применяет разложение на простые множители для определения возможного размера равных наборов без остатка.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Ученик соотносит личную цель с задачей урока — уверенно выполнять и проверять разложение числа.
- Ученик проявляет настойчивость при поиске причины ошибки в цепочке делений.
- Ученик осознаёт смысл точного математического расчёта на примере равных наборов предметов.
- Ученик принимает конструктивную обратную связь от одноклассника и использует её для коррекции решения.
Регулятивные УУД
- Ученик формулирует цель работы и удерживает последовательность шагов алгоритма.
- Ученик распределяет время на вычисление и проверку в парном и индивидуальном задании.
- Ученик сверяет вычисления с произведением простых множителей и исправляет обнаруженную неточность.
- Ученик оценивает результат по заданным критериям и отмечает степень самостоятельности.
Познавательные УУД
- Ученик применяет признаки делимости и таблицу простых чисел для выбора делителя.
- Ученик представляет вычислительную цепочку в виде последовательных частных и произведения множителей.
- Ученик анализирует неверное решение, выделяет первый ошибочный шаг и объясняет его последствия.
- Ученик использует умножение как обратную операцию для проверки разложения.
- Ученик моделирует практическую ситуацию с помощью разложения числа на простые множители.
Коммуникативные УУД
- Ученик договаривается с партнёром о распределении действий: один выполняет деление, другой проверяет запись.
- Ученик задаёт уточняющие вопросы о выборе простого делителя и порядке вычислений.
- Ученик аргументирует ответ, называя множители и показывая их произведение.
- Ученик корректно предлагает исправление, не подменяя обсуждение оценкой личности одноклассника.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с кратким алгоритмом разложения, примерами правильной и ошибочной записи, а также практической задачей о комплектовании наборов.
- Проверить, что на компьютере открывается интерактивная доска или презентация с пошаговым раскрытием делителей; подготовить резервный вариант — алгоритм на обычной доске.
- Распечатать по одной карточке на пару с двумя заданиями на разложение и одним примером для поиска ошибки; подготовить 15 карточек для класса из 30 учеников.
- Распечатать индивидуальную карточку с двумя заданиями трёх уровней — по одной на ученика; предусмотреть возможность выбрать базовый или повышенный вариант.
- Подготовить карточки со словами «простое», «составное», «делитель», «частное» для быстрой командной разминки — один комплект на класс.
- Заранее записать на доске тему урока, критерии самопроверки и пустую схему деления: исходное число → простые делители → произведение → проверка.
- Подготовить проектор, компьютер и интерактивную доску; проверить отображение чисел и возможность закрывать части решения для поэтапной демонстрации.
- Подготовить таймер на экране и карточки светофора трёх цветов — по одной карточке на ученика.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: настроить учеников на совместную работу и включить их в решение практической задачи, для которой пригодится разложение числа на простые множители.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, что на парте есть тетрадь, ручка и карточка для работы в паре. Сегодня мы не будем открывать новую тему, а соберём уже знакомые знания в удобный способ решения. На экране появится задача о подготовке одинаковых наборов для школьной ярмарки; сначала попробуем понять, какое математическое умение поможет нам не ошибиться». Учитель выводит на экран условие: «Есть 60 карандашей. Их нужно разложить поровну в одинаковые наборы, не оставив карандашей. Как понять, на какие равные группы можно разделить запас?» | Готовят тетради и ручки, читают условие на экране, называют варианты: «Можно разделить на 2, 3, 4, 5 или 6 наборов», «Нужно узнать делители числа 60». |
2 мин | «Приём “Подумай — обсуди в паре — поделись”: сначала 30 секунд подумайте самостоятельно, затем минуту обсудите с соседом, как систематизировать возможные делители. Важно не просто назвать число, а объяснить, как проверить, что наборы будут одинаковыми. После обсуждения я попрошу несколько пар поделиться идеями; на доске отмечу слова, которые помогут сформулировать цель урока». | Самостоятельно обдумывают условие 30 секунд, затем обсуждают в паре 1 минуту; две пары сообщают: «Можно разложить 60 на простые множители», «Произведением простых чисел удобно проверить, из чего составлено число». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы предложили использовать разложение числа на простые множители. Давайте выясним, какие знания об этом способе у нас уже есть и что нужно освежить перед практикой».
Этап 2. Актуализация знаний: математическая разминка (6 мин)
Цель этапа: восстановить понятия простого и составного числа и признаки делимости, необходимые для выбора делителей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Начинаем командную разминку “Верно — неверно”. Я покажу на экране четыре утверждения по одному, а вы за 20 секунд обсудите каждое с соседом и поднимете большой палец вверх, если согласны, или вниз, если не согласны. Первое: “Простое число имеет ровно два натуральных делителя”. Второе: “Число 1 является простым”. Третье: “Любое чётное число делится на 2”. Четвёртое: “Составное число можно представить произведением двух натуральных чисел, больших 1”. После каждого ответа попрошу одну пару обосновать выбор». | Обсуждают каждое утверждение с партнёром, показывают знак согласия или несогласия и объясняют: «Первое верно», «Второе неверно: у единицы только один делитель», «Третье верно», «Четвёртое верно». |
3 мин | «Теперь разложите устно несколько небольших чисел на множители, но остановитесь, когда все множители станут простыми. На экране: 12, 18, 25. Подумайте, какое число удобно взять первым делителем. Напомню: начинать можно с 2, затем проверять делимость на 3, 5 и другие простые числа. Кто объяснит, почему запись 12 = 2 · 6 ещё не является окончательным разложением?» | Называют: «12 = 2 · 2 · 3», «18 = 2 · 3 · 3», «25 = 5 · 5»; поясняют: «Шесть — составное число, его нужно разложить дальше». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что разложение заканчивается только тогда, когда все множители простые. Теперь проверим, одинаково ли уверенно мы умеем выполнять каждый шаг алгоритма и где чаще всего возникает ошибка».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: определить типичные затруднения и совместно сформулировать цель обобщающей практики.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Посмотрите на экран. Здесь записано решение: 84 = 2 · 42 = 2 · 2 · 21 = 2 · 2 · 3 · 7. Проверьте его: все ли числа в последнем произведении простые и действительно ли их произведение равно 84? Затем найдите, чем эта запись отличается от такой: 84 = 2 · 42 = 2 · 2 · 21, и можно ли считать её завершённой. Не спешите отвечать: сначала проверьте множители по очереди». | Проверяют обе записи, указывают, что в первой все множители простые и их произведение равно 84; во второй запись не закончена, так как 21 — составное число. |
2 мин | «Какой вывод можно сделать о двух обязательных проверках? Что делать, если в произведении ещё осталось составное число? Сформулируйте в паре цель на сегодняшний урок одним предложением. Я запишу общий вариант на доске и добавлю к нему критерий успеха: уметь объяснить ход разложения и проверить результат умножением». | Обсуждают в паре и формулируют цель: «Повторить алгоритм и правильно раскладывать числа на простые множители»; называют проверки: «Все множители простые» и «Их произведение равно исходному числу». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель ясна: выполнить разложение без пропуска составного множителя и обязательно проверить произведение. Сейчас соберём алгоритм в одну схему и применим его к числу, которое удобно делится на несколько простых множителей».
Этап 4. Обобщение алгоритма и межпредметная практическая задача (8 мин)
Цель этапа: обобщить алгоритм разложения и применить его к задаче о комплектовании одинаковых наборов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Посмотрите на доску: я записываю схему “выбрать простой делитель — разделить — продолжить деление, пока не получим простое частное — записать произведение — проверить умножением”. Разберём число 180 вместе. На какое простое число его удобно разделить сначала? Почему? После каждого деления я буду закрывать следующий шаг, чтобы вы сначала предложили его сами. Какое частное получится после деления 180 на 2?» | Предлагают начать с 2, потому что 180 — чётное; называют частные по цепочке: 90, 45, 15, 5, 1, или записывают столбиком деления до простых множителей. |
3 мин | «Переходим к задаче из жизни: для школьной ярмарки приготовили 180 небольших сувениров. Организаторы хотят собрать их в одинаковые наборы без остатка и выяснить, из каких простых чисел складывается запас. Разложите 180 на простые множители, затем проверьте полученное произведение. Обратите внимание: сегодня мы не перечисляем все возможные способы фасовки, а используем разложение как способ увидеть структуру числа». | Записывают и решают задачу: «180 = 2 · 90 = 2 · 2 · 45 = 2 · 2 · 3 · 15 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5»; проверяют произведение умножением. |
2 мин | «Обсудите в паре, какую роль играет простое разложение, если нужно подобрать равные наборы. Уточню: произведение простых множителей описывает состав числа, а делимость позволяет выбирать подходящее количество наборов. Назовите один реальный критерий хорошего решения: что должно быть одинаковым и что нельзя допустить?» | Обмениваются объяснениями и формулируют: «В каждом наборе одинаковое число сувениров», «Нельзя допустить остатка»; отмечают, что проверка произведением подтверждает точность разложения. |
Эталон решения
180 = 2 · 90 = 2 · 2 · 45 = 2 · 2 · 3 · 15 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2² · 3² · 5. Проверка: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 4 · 9 · 5 = 180. Все множители 2, 3 и 5 — простые.
Запись в тетрадях: ученики фиксируют схему алгоритма: 1) выбрать простой делитель; 2) делить последовательно, пока не останутся простые множители; 3) записать произведение; 4) проверить умножением.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы применили алгоритм к практической задаче и проверили результат обратным действием. Теперь потренируемся находить и объяснять ошибку, потому что именно такой анализ помогает не повторять её в самостоятельной работе».
Этап 5. Первичное закрепление в парах: найди ошибку (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм через совместный анализ ошибочного решения и взаимную проверку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Объединитесь в пары. На карточке записано решение числа 126: “126 = 2 · 63 = 2 · 3 · 21 = 2 · 3 · 7”. Ваша задача — не просто переписать ответ, а найти первый шаг, который нужно проверить, исправить запись полностью и подтвердить результат умножением. Один участник пары будет объяснять ход деления, второй — отмечать, остались ли составные множители». | Распределяют роли в паре, читают карточку и подчёркивают последний множитель 21 как число, которое нужно проверить на простоту. |
4 мин | «У вас четыре минуты; на экране включён таймер. Проверяйте каждый множитель, а не только исходное число. Спросите партнёра: “Почему 21 нельзя оставить в конце?” и “Как докажем, что полученное произведение равно 126?” Через две минуты поменяйтесь ролями: второй ученик проговаривает исправленное решение, первый проверяет вычисления. Если возникло расхождение, восстановите цепочку делений от начала». | В паре находят ошибку: 21 составное число; продолжают разложение: 21 = 3 · 7. Записывают результат 126 = 2 · 3 · 3 · 7 и проверяют умножением; затем меняются ролями и объясняют решение друг другу. |
2 мин | «Сверим общий эталон. Кто назовёт первый неверный вывод в карточке? Какой множитель пропущен в окончательной записи? Поднимите руку, если смогли сами объяснить партнёру, почему разложение должно завершаться только простыми числами. Я вывожу на экран исправленную запись и критерий: составные множители не оставлены, произведение совпадает с исходным числом». | Один ученик объясняет классу, что 21 нужно разложить на 3 и 7; пары сверяют запись с эталоном и отмечают, выполнены ли оба условия проверки. |
Эталон решения
126 = 2 · 63 = 2 · 3 · 21 = 2 · 3 · 3 · 7 = 2 · 3² · 7. Проверка: 2 · 3 · 3 · 7 = 6 · 21 = 126. В исходной карточке пропущено разложение составного множителя 21.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы увидели, что правильное произведение ещё нужно проверить на полноту: нельзя оставить составной множитель. Теперь каждый выполнит короткую самостоятельную работу и оценит, насколько уверенно применяет алгоритм без помощи партнёра».
Этап 6. Самостоятельная работа и самопроверка (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом и обеспечить самостоятельную коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «На карточке три уровня заданий. Обязательное задание выполняют все: разложить 72 и 105 на простые множители и проверить каждое произведение. Если закончите раньше, выберите повышенный пункт: объяснить, где ошибка в записи 150 = 2 · 3 · 25. Работайте самостоятельно; сначала покажите цепочку делений, потом запишите произведение. На выполнение восемь минут, таймер будет виден на экране». | Получают индивидуальные карточки, выбирают порядок выполнения и приступают к разложению 72 и 105; ученики, завершившие обязательные задания, переходят к анализу ошибочной записи. |
5 мин | «Пока вы считаете, я подойду к тем, кто поднял жёлтую карточку, и помогу проверить первый делитель. Не торопитесь сокращать запись, пока не убедились, что каждый множитель простой. Если сомневаетесь, запишите последовательные частные — так легче увидеть пропущенный шаг. В последние две минуты на экране появятся ответы для проверки; исправление выполняйте другим цветом». | Индивидуально выполняют задания и записывают ход решения; при затруднении отмечают проблемный шаг. После появления эталона сверяют результаты, исправляют ошибки другим цветом и подчёркивают произведение, которым проверили ответ. |
2 мин | «Сверьте решения на экране: для 72 должно получиться 2 · 2 · 2 · 3 · 3, для 105 — 3 · 5 · 7. Проверьте произведения, а затем определите свою готовность: зелёная карточка — могу объяснить весь алгоритм, жёлтая — нужна тренировка одного шага, красная — нужна помощь с выбором делителя или проверкой. Покажите карточку так, чтобы я увидел ваш сигнал». | Сверяют ответы, вычисляют произведения 8 · 9 = 72 и 3 · 5 · 7 = 105, исправляют неточности и поднимают карточку выбранного цвета. |
Эталон решения
72 = 2 · 36 = 2 · 2 · 18 = 2 · 2 · 2 · 9 = 2³ · 3²; проверка: 8 · 9 = 72. 105 = 3 · 35 = 3 · 5 · 7; проверка: 3 · 5 · 7 = 105. В дополнительной записи 150 = 2 · 3 · 25 множитель 25 требуется разложить: 150 = 2 · 3 · 5 · 5.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы проверили себя самостоятельно и отметили, какой шаг уже получается уверенно. Перед заключительной рефлексией сделаем короткую двигательную паузу, чтобы восстановить внимание и закрепить простые числа в движении».
Этап 7. Физкультминутка «Простое или составное?» (2 мин)
Цель этапа: снять зрительное и статическое напряжение и поддержать внимание через короткую двигательную математическую разминку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Встаём рядом с партой, оставляя проход свободным. Я называю число: если оно простое, вытяните руки вверх; если составное — мягко хлопните один раз; если число 1 — положите руки на плечи, потому что единица не относится ни к простым, ни к составным. Проверим числа 2, 9, 11, 15 и 1. Движения выполняем спокойно, не задевая соседей; после последнего числа садимся». | Встают и выполняют движения: на 2 поднимают руки, на 9 хлопают, на 11 поднимают руки, на 15 хлопают, на 1 кладут руки на плечи; затем спокойно садятся. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы размялись и ещё раз различили простые числа, составные числа и единицу. Осталось оценить, что каждый из вас теперь умеет делать и какой вопрос стоит взять с собой на следующий урок».
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осмыслить достигнутые результаты, получить обратную связь и объяснить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Заполните короткий билет на выход в тетради: закончите две фразы — “При разложении я обязательно проверяю…” и “Сегодня мне стало понятнее…”. Затем оцените свою работу по листу самооценки: могу выбрать простой делитель, могу довести разложение до простых множителей, могу проверить произведение. Отметьте “да”, “пока с помощью” или “нужно повторить”. Это не соревнование оценок, а способ понять, что уже освоено и чему уделим внимание дальше». | Пишут ответы в билете на выход и отмечают пункты самооценки; приводят ответы: «Проверяю, что все множители простые и произведение равно исходному числу», «Мне стало понятнее, как продолжать разложение составного частного». |
4 мин | «Запишите домашнее задание с доски и выберите уровень по сегодняшней работе. Базовый уровень обязателен для всех; средний поможет увереннее решать задачи с несколькими шагами; продвинутый можно выбрать дополнительно. Перед выходом ответьте устно на контрольные вопросы: “Можно ли оставить в конце множитель 21?” и “Каким действием проверяется разложение?” Я выслушаю несколько ответов и помогу тем, кто отметил, что ему нужна тренировка». | Записывают домашнее задание, объясняют: «21 оставлять нельзя, потому что это составное число», «Разложение проверяется умножением простых множителей»; при необходимости задают уточняющий вопрос. |
